1、 2.9 函数模型及其应用A 组 基础题组1.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后来为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除 A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除 B.故选 C.2.某工厂 6 年来生产某种产品的情况是:前 3 年年产量的增长速度越来越快,后 3 年的年产量保持不变,将该厂 6 年来这种产品的总产量C 与时间 t(年)的函数关系用图象表示,正确的是( )答案 A 依题意,前 3 年年产量的增长速度越来越快,
2、说明总产量C 的增长速度越来越快,只有选项 A 中的图象符合要求,故选 A.3.(2018 临沂模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为 60(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为 9 平方米,且3 高度不低于米.记防洪3堤横断面的腰长为 x 米,外周长(梯形 的上底线段BC 与两腰长的和)为 y 米.要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5米,则其腰长 x 的范围为( )A.2,4 B.3,4 C.2,5 D.3,5答案 B 根据题意知,9 = (AD+BC)h,其中312AD=BC+2 =BC+x,h= x,所以 9 = (2BC+x)
3、x,得 BC= - ,由2 32 312 32 182得 2x0, 1832+ 10.5,解得 3x4.因为3,42,6), 所以腰长 x 的范围是18323,4.4.加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率 p 与加工时间 t(单位:分钟)满足函数关系 p=at2+bt+c(a,b,c 是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )A.3.50 分钟 B.3.75 分钟C.4.00 分钟 D.4.25 分钟答案 B 由已知得 解得9+3+=0.7,16+4+=0.8,25+5+=0.5, =-0.
4、2,=1.5,=-2,p=-0.2t 2+1.5t-2=- + ,15(-154)21316当 t= =3.75 时 p 最大,154即最佳加工时间为 3.75 分钟.故选 B.5.某校甲、乙两食堂某年 1 月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知该年 9 月份两食堂的营业额又相等,则该年 5月份( )A.甲食堂的营业额较高B.乙食堂的营业额较高C.甲、乙两食堂的营业额相同D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案 A 设甲、乙两食堂 1 月份的营业额均为 m,甲食堂的营业额每月增加 a(a0),乙食堂的营业额每月增
5、加的百分率为 x(x0),由题意可得,m+8a=m(1+x) 8,则 5 月份甲食堂的营业额 y1=m+4a,乙食堂的营业额 y2=m(1+x)4= ,因为 - =(m+4a)2-m(m+8a)(+8) 2122=16a20,所以 y1y2,故 5 月份甲食堂的营业额较高.6.调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的重要原因,交通法规规定,驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过 0.2 mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量将上升到 3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小时 50%的速度减少,则至少经过 小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时) 答案 4解析 设 n 小时后他可以驾驶
6、机动车,由题意得 3(1-0.5)n0.2,即 2n15,故至少经过 4 小时他才可以驾驶机动车.7.A、B 两艘船分别从东西方向上相距 145 km 的甲、乙两地开出.A船从甲地自东向西行驶,B 船从乙地自北向南行驶,A 船的速度是 40 km/h,B 船的速度是 16 km/h,经过 h,A、B 两艘船之间的距离最短. 答案 258解析 设经过 x h,A、B 两艘船之间的距离为 y km,由题意可得 y= ,易知当 x=-(145-40)2+(16)2 29(642-400+725)= 时 ,y 取得最小值,即 A、B 两艘船之间的距离最短.-4002642588.(2018 杭州八校联
7、考)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度 v 的平方成正比,且比例系数为 k,除燃料费外其他费用为每小时 96 元.当速度为 10 海里/时时,每小时的燃料费是 6 元.若匀速行驶 10 海里,则当这艘轮船的速度为 海里/时时,总费用最小. 答案 40解析 设每小时的总费用为 y 元,行驶 10 海里的总费用为 W 元,则y=kv2+96,又当 v=10 时,k10 2=6,解得 k=0.06,所以 y=0.06v2+96,又匀速行驶 10 海里所用的时间为 小时,故 W= y= (0.06v2+96)10 10 10=0.6v+ 2 =48,当且仅当 0.6v= ,即 v=40 时等
8、号成立.故960 0.6960 960总费用最小时轮船的速度为 40 海里/时.9.某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:)满足函数关系 y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在0 的保鲜时间是 192 小时,在 22 的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 的保鲜时间是 小时. 答案 24解析 依题意有 192=eb,48=e22k+b=e22keb,所以 e22k= = = ,所以 e11k= 或- (舍去),于是该食品在 33 的保484819214 12 12鲜时间是 e33k+b=(e11k)3eb= 192=24(小时).(
9、12)310.某地上年度电价为 0.8 元,年用电量为 1 亿千瓦时.本年度计划将电价调至 0.55 元0.75 元之间(包含 0.55 元和 0.75 元),经测算,若电价调至 x 元,则本年度新增用电量 y(亿千瓦时)与(x-0.4)(元)成反比.又当 x=0.65 时,y=0.8.(1)求 y 与 x 之间的函数关系式;(2)若每千瓦时电的成本为 0.3 元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年增加 20%?收益=用电量(实际电价-成本价)解析 (1)因为 y 与(x-0.4)成反比,所以可设 y= (k0),-0.4把 x=0.65,y=0.8 代入上式得 0.8= ,0.6
10、5-0.4解得 k=0.2,所以 y= = ,0.2-0.4 15-2则 y 与 x 之间的函数关系式为 y= (0.55x0.75).15-2(2)根据题意,得 (x-0.3)=1(0.8-0.3)(1+20%),整理(1+15-2)得 x2-1.1x+0.3=0.解得 x1=0.5,x2=0.6,因为 x 的取值范围是0.55,0.75,所以 x=0.5 不符合题意,舍去,则 x=0.6,所以当电价调至 0.6 元时,本年度电力部门的收益将比上年增加 20%.11.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂
11、直的公路为 l1,l2,山区边界曲线为 C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N 为 C 的两个端点,测得点 M 到 l1,l2的距离分别为 5 千米和 40 千米,点 N 到 l1,l2的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 l2,l1所在的直线分别为 x,y 轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线 C 符合函数 y= (其中 a,b 为常数)模型.2+(1)求 a,b 的值;(2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t.请写出公路 l 长度的函数解析式 f(t),并写出其定义域;当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度.解析 (1)由题意知,点 M,N
12、 的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入 y= ,得2+ 25+=40,400+=2.5,解得 =1 000,=0. (2)由(1)知,y= (5x20),1 0002则点 P 的坐标为 ,y=- ,(,1 0002) 2 0003设在点 P 处的切线 l 交 x,y 轴分别于 A,B 点,l 的方程为 y- =- (x-t),1 0002 2 0003由此得 A ,B .(32,0) (0,3 0002)故 f(t)= = ,t5,20.(32)2+(3 0002)2322+41064设 g(t)=t2+ ,41064则 g(t)=2t- .161065令 g(t)=0,解
13、得 t=10 .2当 t(5,10 )时,g(t)0,g(t)是增函数 .2从而,当 t=10 时,函数 g(t)有极小值,也是最小值 ,2所以 g(t)min=300,此时 f(t)min=15 .3答:当 t=10 时,公路 l 的长度最短,最短长度为 15 千米.2 3B 组 提升题组1.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p,第二年的增长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A. B.+2 (+1)(+1)-12C. D. -1 (+1)(+1)答案 D 设两年前的年底该市的生产总值为 a,则第二年年底的生产总值为 a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年
14、平均增长率为 x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以 x0,所以 x=-1,故选 D.(1+)(1+)2.某乡镇现在人均一年占有粮食 360 千克,如果该乡镇人口平均每年增长 1.2%,粮食总产量平均每年增长 4%,那么 x 年后若人均一年占有y 千克粮食,则 y 关于 x 的解析式为( )A.y=360 B.y=3601.04x(1.041.012)-1C.y= D.y=3603601.041.012 (1.041.012)答案 D 设该乡镇现在人口总量为 M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为 360M 千克,1 年后,该乡镇粮食总产量为 360M(1+4%)
15、千克,人口总量为 M(1+1.2%),则人均占有粮食 千克,2 年后,人均360(1+4%)(1+1.2%)占有粮食 千克,x 年后,人均占有粮食 千克,即360(1+4%)2(1+1.2%)2 360(1+4%)(1+1.2%)所求解析式为 y=360 .(1.041.012)3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以 80 km/h 的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油D.某城市机
16、动车最高限速 80 km/h.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案 D 对于 A 选项:由题图可知,当乙车速度大于 40 km/h 时,乙车每消耗 1 升汽油,行驶里程都超过 5 km,则 A 错;对于 B 选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则 B 错;对于 C 选项:甲车以 80 km/h 的速度行驶时,燃油效率为 10 km/L,则行驶 1 小时,消耗了汽油 80110=8(L),则 C 错;对于 D 选项:当行驶速度小于 80 km/h 时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则 D 对.综上,
17、选 D.4.某公司为了实现 1 000 万元销售利润的目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到 10 万元时,按照销售利润进行奖励,且奖金 y(单位:万元)随销售利润 x(单位:万元)的增加而增加,但奖金不超过 5 万元,同时奖金不超过销售利润的 25%,则下列函数最符合要求的是( )A.y= xB.y=lg x+114C.y= D.y=(32) 答案 B 由题意知,x10,1 000,符合公司要求的模型需同时满足:函数为增函数;函数的最大值不超过 5;yx25%.对于 y=x,易知满足,但当 x20 时,y5,不满足要求;对于 y= ,易知满14 (32)足,因为 5,故当
18、x4 时,不满足要求;对于 y= ,易知满足,(32)4 但当 x25 时,y5,不满足要求;对于 y=lg x+1,易知满足,当x10,1 000时,2y4,满足,再证明 lg x+1x25%,即 4lg x+4-x0,设 F(x)=4lg x+4-x,则 F(x)= -10,x10,1 000,410所以 F(x)为减函数, f(x) max=F(10)=4lg 10+4-10=-20,满足,故选 B.5.(2019 汤溪中学月考)某远程教育网推出两种上网学习卡收取佣金的方案:A 方案是先收取 20 元学习佣金,再按上网学习的累计时间收取佣金,B方案是直接按上网学习的累计时间收取佣金.已知
19、一个月的学习累计时间 t(小时)与上网费用 s(元)的函数关系如图所示,则当累计学习 150 小时时,这两种方案收取的佣金相差 元. 答案 10解析 设 A 方案对应的函数解析式为 s1=k1t+20,B 方案对应的函数解析式为 s2=k2t,当 t=100 时,100k 1+20=100k2,k 2-k1= ,当 t=150 时,15150k2-150k1-20=150 -20=10.156.(2018 辽宁抚顺模拟)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入 200 万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大
20、棚,每个大棚至少要投入 20 万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入 P(单位:万元)、种黄瓜的年收入 Q(单位:万元)与投入 a(单位:万元)满足P=80+4 ,Q= a+120,设甲大棚的投入为 x(单位:万元),每年两个大214棚的总收益为 f(x)(单位:万元).(1)求 f(50)的值;(2)如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益 f(x)最大?解析 (1)甲大棚投入了 50 万元,乙大棚投入了 150 万元,f(50)=80+4 + 150+120=277.5.25014(2)f(x)=80+4 + (200-x)+120=- x+4 +250,214 14 2依题意得 20x180, 20,200- 20故 f(x)=- x+4 +250(20x180).14 2令 t= ,则 t2 ,6 , 5 5f(t)=- t2+4 t+250=- (t-8 )2+282,14 2 14 2当 t=8 ,即 x=128 时, f(x) max=282.2所以甲大棚投入 128 万元,乙大棚投入 72 万元时,总收益最大,且最大收益为 282 万元.
