1、考点规范练 51 抛物线考点规范练 A 册第 35 页 基础巩固1.(2018 吉林省吉林市调研)以抛物线 y2=8x 上的任意一点为圆心作圆与直线 x=-2 相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是( )A.(0,2) B.(2,0) C.(4,0) D.(0,4)答案 B解析 由题意得,抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=-2,因为动圆的圆心在抛物线 y2=8x 上,且动圆与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0),选 B.2.抛物线 y=-4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( )A.- B.- C. D.1716 1516 1716 15
2、16答案 B解析 抛物线方程可化为 x2=- ,其准线方程为 y= .4 116设 M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知 -y0=1,y0=- .116 15163.(2018 北京朝阳一模)已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,若|AB|=8,则线段 AB 的中点 M 到直线 x+1=0 的距离为( )A.2 B.4 C.8 D.16答案 B解析 如图,抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1,即 x+1=0,分别过 A,B 作准线的垂线,垂足为 C,D,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD
3、|=8,过 AB 的中点 M 作准线的垂线,垂足为 N,则 MN 为直角梯形 ABDC 的中位线,则|MN|= (|AC|+|BD|)=4,即 M 到直线 x+1=0 的距离为 4.故选 B.124.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,若|AB|=6,则线段 AB 的中点M 的横坐标为( )A.2 B.4 C.5 D.6答案 A解析 抛物线 y2=4x, p=2.设 A,B 两点的横坐标分别为 x1,x2,利用抛物线定义,AB 中点横坐标为 x0=(x1+x2)= (|AB|-p)=2,故选 A.12 125.(2018 山东菏泽期末)已知等边
4、三角形 AOB(O 为坐标原点) 的三个顶点在抛物线 :y2=2px(p0)上,且AOB 的面积为 9 ,则 p=( )3A. B.3 C. D.332 332答案 C解析 根据抛物线和等边三角形的对称性可知 A,B 两点关于 x 轴对称,不妨设直线 OB:y= x,与 y2=2px33联立得 B(6p,2 p),因为AOB 的面积为 9 ,所以 (4 p)2=9 ,解得 p= .故选 C.3 334 3 3 326.已知直线 y=k(x+2)(k0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A,B 两点,F 为抛物线 C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则点 A 到抛物线的准线的距离为( )A.6
5、B.5 C.4 D.3答案 A解析 抛物线 C:y2=8x 的准线为 l:x=-2,直线 y=k(x+2)恒过定点 P(-2,0),如图,过点 A,B 分别作 AMl 于点 M,BNl 于点 N,由|FA|= 2|FB|,则|AM|=2|BN|,点 B 为 AP 的中点.连接 OB,则|OB|= |AF|,12 |OB|=|BF|,点 B 的横坐标为 1, |BN|=3, |AM|=6,故选 A.7.若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离是 . 答案 9解析 设点 M 坐标为(x M,yM).抛物线 y2=4x 的准线为 x=-1,由抛物线的定义知 x
6、M+1=10,即 xM=9.8.已知 F 是抛物线 C:y2=8x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N,若 M 为 FN 的中点,则|FN|= . 答案 6解析 设 N(0,a),由题意可知 F(2,0).又 M 为 FN 的中点,则 M .(1,2)因为点 M 在抛物线 C 上,所以 =8,24即 a2=32,即 a=4 .2所以 N(0,4 ).2所以|FN|= =6.(2-0)2+(042)29.已知过抛物线 y2=2px(p0)的焦点,斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x10),化简得 y2=4x(x0).(-1)2+2(2)设
7、过点 M(m,0)(m0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2).设 l 的方程为 x=ty+m.由 得 y2-4ty-4m=0,=+,2=4, =16(t2+m)0,于是 1+2=4,12=-4. 因为 =(x1-1,y1),=(x2-1,y2),所以 =(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.又 0)的焦点为 F,A(x1,2),B(x2,8)是 C 上两点,且 x2x10,若|BF|=3|AF|,则 x1+x2=( )A.3 B.6 C.6 D.82 2答案 C解析 3|FA|=|FB|, 根据抛物线的定义,可得 3 =8
8、+ ,解得 p=2,(2+2) 2 抛物线方程为 x2=4y,将 y1=2,y2=8 代入方程,得 x1=2 ,x2=4 ,2 2 x1+x2=6 .故选 C.213.已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,以抛物线 C 上的点 M(x0,2 为圆心的圆与 y 轴相2)(02)切,与线段 MF 相交于点 A,且被直线 x= 截得的弦长为 |MA|,若 =2,则|AF|= . 2 3 |答案 1解析 由抛物线的定义得|MF|=x 0+ .2 圆与 y 轴相切, |MA|=x0. 圆被直线 x= 截得的弦长为 |MA|,圆心到直线 x= 的距离为 |MA|,2 3 2 |2-(32|)2
9、=12 |MA|=2 ,(0-2) 2 =x0,解得 x0=p.(0-2) M(p,2 ),2 2p2=8, p=2. =2,| |AF|= |MA|= p=1.12 1214.设动点 P(x,y)(x0) 到定点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离大 1,记点 P 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程;(2)设 D(x0,2)是曲线 C 上一点,与两坐标轴都不平行的直线 l1,l2过点 D,且它们的倾斜角互补.若直线l1,l2与曲线 C 的另一交点分别是 M,N,证明直线 MN 的斜率为定值.(1)解 由题意知,点 P 的轨迹方程是以 F(1,0)为焦点,以 x=-1 为准线的抛物
10、线,故曲线 C 的方程为y2=4x.(2)证明 由 D(x0,2)在曲线 C 上,得 4=4x0,则 x0=1,从而 D(1,2).设 M(x1,y1),N(x2,y2),直线 l1:y=k(x-1)+2,则 l2:y=-k(x-1)+2,由 =(-1)+2,2=4 得 k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0, x11= ,(-2)22=2-4+42同理 x2= .2+4+42 x1+x2= ,x1-x2=- .22+82 8 y1-y2=k(x1+x2)-2k= .8 kMN= =-1,直线 MN 的斜率为定值-1.1-21-2=8-8高考预测15.已知点 F 是抛物线 y2=2px(p0)(O 为坐标原点)的焦点,倾斜角为 的直线 l 过焦点 F 且与抛物线3在第一象限交于点 A,当|AF|=2 时,抛物线方程为( )A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x答案 B解析 过点 A 作 ABx 轴于点 B,则 RtABF 中,AFB=60,|AF|= 2,所以|BF|=|AF|cos AFB= |AF|=1,|AB|=|AF|sinAFB= .12 3设点 A 的坐标为(x 0, ,3)(02)由 解得 p=1.0+2=2,3=20,所以抛物线的方程为 y2=2x.故选 B.
