1、第九讲 空间几何体的三视图、表面积与体积1.(2018 甘肃第二次诊断检测)如图所示,四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用),则四面体 ABCD 的正视图、侧视图、俯视图是(用代表图形)( )A. B. C. D.2.已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是( )3.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD平面 CBD,形成的三棱锥C-ABD 的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为( )A. B.12 22C. D.24 144.(2018 河北唐山五校联考)如图是一个空间几何体的正视
2、图和俯视图,则它的侧视图为( )5.(2018 重庆六校联考) 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )A. B. C.1 D.13 12 326.(2018 安徽合肥质量检测)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.5+18 B.6+18C.8+6 D.10+67.(2018 云南昆明调研) 古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳,获得可供食用的大米,用于舂米的“臼”多用石头或木头制成.一个“臼”的三视图如图所示,则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为( )A.63 B.72C.79 D.998.在长方体 ABCD-A1
3、B1C1D1中,AB=AD=2,AA 1=1,则点 B 到平面 D1AC 的距离等于( )A. B.33 63C.1 D. 29.(2018 课标全国,10,5 分)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC 1与平面 BB1C1C 所成的角为 30,则该长方体的体积为 ( )A.8 B.6 2C.8 D.82 310.(2018 山西太原模拟) 某几何体的三视图如图所示,则该几何体中最长的棱的长为( )A.3 B.23 6C. D.221 511.(2018 湖北武汉调研) 已知底面半径为 1,高为 的圆锥的顶点和底面圆周都在球 O 的球3面上,则球 O 的表面积为( )A
4、. B.432327C. D.1216312.(2018 吉林长春监测) 已知矩形 ABCD 的顶点都在球心为 O,半径为 R 的球面上,AB=6,BC=2 ,且四棱锥 O-ABCD 的体积为 8 ,则 R 等于( )3 3A.4 B.2 3C. D.479 1313.(2018 江苏,10,5 分) 如图所示,正方体的棱长为 2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 14.(2018 河北石家庄质量检测)直三棱柱 ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=3,AC=5,BC=7,AA1=2,则此球的表面积为 . 15.(2018 辽宁沈阳质量监测)已知在正四棱锥 S-ABCD
5、 中,SA=6 ,那么当该棱锥的体积最3大时,它的高为 . 16.(2018 福建福州模拟) 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 . 答案精解精析1.B 正视图应为相邻边长为 3 和 4 的长方形,且正视图中从右上到左下的对角线应为实线,故正视图为;侧视图应为相邻边长为 4 和 5 的长方形,且侧视图中从左上到右下的对角线应为实线,故侧视图为;俯视图应为相邻边长为 3 和 5 的长方形,且俯视图中从左上到右下的对角线应为实线,故俯视图为,故选 B.2.C 由题意知,四棱锥的直观图以及三视图的可能情况为下列四种之一.显然只有选项 C 的图形与图
6、(4)一致.3.D 由三棱锥 C-ABD 的正视图、俯视图得三棱锥 C-ABD 的侧视图为直角边长是 的等22腰直角三角形,如图所示,所以三棱锥 C-ABD 的侧视图的面积为 ,故选 D.144.A 由正视图和俯视图可知,该几何体是由一个圆柱挖去一个等底等高的圆锥构成的 ,结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为 A,故选 A.5.A 将题中三视图还原成直观图,为如图所示的三棱锥 A-BCD,且 CD=1,BC=2,CDBC,三棱锥的高 h=1,则 SBCD = 12=1,VA-BCD= SBCD h= 11= .故选 A.12 13 13 136.C 由三视图可知,该几何体由一个半圆柱与两
7、个半球构成,故其表面积为412+ 213+2 12+32=8+6.故选 C.12 127.A 由三视图得,凿去部分是一个半球与一个圆柱的组合体 ,其中半球半径为 3,体积为 33=18,圆柱的底面半径为 3,高为 5,体积为 325=45.所以凿去部分的体积为124318+45=63.故选 A.8.B 如图 ,连接 BD1,易知 D1D 就是三棱锥 D1-ABC 的高,AD 1=CD1= ,取 AC 的中点 O,连5接 D1O,则 D1OAC,所以 D1O= = .212 3设点 B 到平面 D1AC 的距离为 h,因为 = ,即 h= SABC D1D,又11131 13= 2 = ,SAB
8、C = ABBC= 22=2,所以 h= .故选 B.112 3 2 6 12 12 639.C 如图 ,连接 BC1,由长方体的性质可得 AB平面 BCC1B1,BC1为直线 AC1在平面BCC1B1内的射影,AC 1B 为直线 AC1与平面 BCC1B1所成的角,即AC 1B=30.在 Rt ABC1中,AB=2,AC 1B=30,BC1=2 ,3在 Rt BCC1中,CC 1= = =2 ,212 (23)222 2该长方体的体积 V=222 =8 ,故选 C.2 210.B 由三视图得,该几何体是四棱锥 P-ABCD,如图所示,ABCD 为矩形,AB=2,BC=3, 平面PAD平面 A
9、BCD,过点 P 作 PEAD 交 AD 于 E,则 PE=4,DE=2,所以 CE=2 ,所以最长的2棱 PC= =2 ,故选 B.2+2 611.C 如图,ABC 为圆锥的轴截面 ,O 为其外接球的球心,设外接球的半径为 R,连接OB,OA,并延长 AO 交 BC 于点 D,则 ADBC, 由题意知 ,AO=BO=R,BD=1,AD= ,则在 Rt3BOD 中,有 R2=( -R)2+12,解得 R= ,所以球 O 的表面积 S=4R2= ,故选 C.3233 16312.A 设球心 O 到平面 ABCD 的距离为 h,由题意可知 VO-ABCD= S 矩形13ABCDh= 62 h=8
10、,解得 h=2,又矩形 ABCD 所在的截面圆 的半径为 =13 3 3 122+2=2 ,从而球的半径 R= =4.故选 A.1262+(23)2 3 22+(23)213.答案 43解析 多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成,其中正四棱锥的底面边长为 ,高为 1,2其体积为 ( )21= ,多面体的体积为 .13 2 23 4314.答案 2083解析 在ABC 中,由余弦定理 ,知 cosCAB= =- ,所以 sinCAB= .设ABC 外52+3272253 12 32接圆的半径为 r,则由正弦定理知,2r= = ,所以 r= ,设球的半径为 R,则732 733R= = ,所以此
11、球的表面积 S=4R2= .2+(12)2 523 208315.答案 6解析 设正四棱锥的底面正方形的边长为 a,高为 h,因为在正四棱锥 S-ABCD 中,SA=6 ,所3以 +h2=108,即 a2=216-2h2,所以正四棱锥的体积 VS-ABCD= a2h=72h- h3,令 y=72h- h3,则22 13 23 23y=72-2h2,令 y0,得 06,所以当该棱锥的体积最大时,它的高为 6.16.答案 2+4 +22 3解析 由三视图知该几何体为三棱锥,记为三棱锥 P-ABC,将其放在棱长为 2 的正方体中,如图所示,其中 ACBC,PAAC,PBBC,PAB 是边长为 2 的等边三角形,故所求表面积2为 SABC +S PAC+SPBC +SPAB = 22+ 222 + (2 )2=2+4 +2 .12 12 2 34 2 2 3
