1、第一节 导数的概念及运算课时作业练1.(2019南京高三模拟)如图,直线 l经过点(0,1),且与曲线 y=f(x)相切于点(a,3),若 f (a)= ,23则实数 a的值是 . 答案 3解析 由题意知,(a,3)为切点,所以该切线的斜率为 f (a)= ,又 k= ,所以 = ,解得 a=3.23 3-1 2232.(2018南通调研)若曲线 y=xln x在 x=1处与 x=t处的切线互相垂直,则正数 t的值为 .答案 e -2解析 因为 y=xln x,所以 y =ln x+1,所以有(ln 1+1)(ln t+1)=-1,所以 ln t=-2,t=e-2.3.(2019南京师大附中模
2、拟)若直线 y=2x+b是曲线 y=ex-2的一条切线,则实数 b= . 答案 -2ln 2解析 设切点坐标为(x 0, -2),则 解得 x0=ln 2,b=-2ln 2.0 0-2=20+,0=2, 4.(2017兴化第一中学高三月考)设函数 f(x)=g(x)x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线的斜率为 . 答案 8解析 由题意可得 g(1)=3,g(1)=2,又 f (x)=g(x)x2+g(x)2x,所以f (1)=g(1)+g(1)2=2+6=8,即曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线的斜
3、率为 8.5.(2018江苏丹阳高级中学期中)已知函数 f(x)=x3.设曲线 y=f(x)在点 P(x1, f(x1)处的切线与该曲线交于另一点 Q(x2, f(x2),记 f (x)为 f(x)的导函数,则 的值为 . (1) (2)答案 14解析 f (x)=3x 2,曲线 y=f(x)在点 P(x1, f(x1)处的切线方程为 y- =3 (x-x1),与 y=x3联立31 21得 x3-3 x+2 = (x+2x1)=0,则 x2=-2x1,则 f (x2)=3 =12 ,则 = = .21 31(-1)2 22 21 (1) (2)321322146.(2018江苏无锡第一次月考)
4、已知函数 f(x)= x2+4ln x,若存在满足 1x 03 的实数 x0,使得曲12线 y=f(x)在点(x 0, f(x0)处的切线与直线 x+my-10=0垂直,则实数 m的取值范围是 . 答案 4,5解析 由 f(x)= x2+4ln x得 f (x)=x+ ,则当 1x 03 时,k=f (x 0)=x0+ .由切线与直线 x+my-12 4 4010=0垂直,得 m=x0+ 4,5.407.已知函数 f(x)= x3-x2+ax-1的图象上存在两条斜率为 3的切线,且切点的横坐标都大于零,则23实数 a的取值范围是 . 答案 (3,72)解析 f (x)=2x 2-2x+a,由函
5、数 f(x)= x3-x2+ax-1的图象上存在两条斜率为 3的切线,且切点的23横坐标都大于零,可得 f (x)=2x2-2x+a=3在 x(0,+)上有两个不相等的实数根,设这两个实数根分别为 x1,x2,则 即 解得 30,1+20,120, 4-42(-3)0,10,-30, 728.(2018江苏南通高考数学冲刺小练)已知函数 f(x)=x3对应的曲线在点(a k, f(ak)(kN *)处的切线与 x轴的交点为(a k+1,0),且 a1=1,则 = . (31)+(32)+(310)1-(23)10答案 3解析 f (x)=3x 2,则曲线在点(a k, f(ak)(kN *)处
6、的切线方程为 y- =3 (x-ak),令 y=0,得32ak+1= ak,则数列a k是等比数列,则 ak= ,23 (23)-1则 =(31)+(32)+(310)1-(23)101+2+101-(23)10= =3.1-(23)101-(23)10(1-23)9.(2018江苏如东高级中学期中)已知 a,b为正实数,直线 y=x-a与曲线 y=ln(x+b)相切,则 的22+取值范围是 . 答案 (0,12)解析 由题意知 y= =1,则 x=1-b,则切点坐标是(1-b,0),代入直线 y=x-a得 a+b=1,则 =1+ 22+,a(0,1),令 f(a)= ,a(0,1),则 f
7、(a)= 0,则 f(a)在(0,1)上单调递增,所以23- 23- (6-)(3-)2 .22+(0,12)10.已知函数 f(x)=x3-3x及曲线 y=f(x)上一点 P(1,-2),过点 P作直线 l.(1)求与曲线 y=f(x)相切且以 P为切点的直线 l的方程;(2)求与曲线 y=f(x)相切且切点异于 P的直线 l的方程.解析 (1)f (x)=3x 2-3,f (1)=0,以 P为切点的切线方程为 y=-2.(2)设切点为 Q(x0, -3x0),则切线的斜率是 3 -3,30 20切线 l的方程为 y-( -3x0)=(3 -3)(x-x0),30 20即 y=(3 -3)x
8、-2 .直线 l过点 P,-2=3 -3-2 ,20 30 20 30即 2 -3 +1=0,解得 x0=- 或 x0=1(舍),30 20 12切点异于 P并过点 P的直线 l的方程是 y=- x+ .94 1411.已知函数 f(x)= x3-2x2+3x(xR)的图象为曲线 C.13(1)求过曲线 C上任意一点的切线的斜率的取值范围;(2)若在曲线 C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线 C的交点的横坐标的取值范围.解析 (1)由题意得 f (x)=x2-4x+3,则 f (x)=(x-2)2-1-1,即过曲线 C上任意一点的切线的斜率的取值范围是-1,+).(2)设曲线 C的
9、其中一条切线的斜率为 k(k0),由(2)中的条件及(1)中的结论可知, -1,-1-1,又 k0,所以-1k0,故函数 h(x)在(3,+)上单调递增.若使函数 h(x)的图象在(0,+)内与 x轴有两个不同的交点,则需 -90,(3)=-9-y,则-xy2.在命题pq;pq;p( q);( p)q 中,真命题的序号是 . 答案 解析 由不等式的性质可知命题 p是真命题,所以p 是假命题;10,- 12 -2 140,146.已知函数 f(x)= 若 f(f(-2)f(x),则实数 x的取值范围是 . (12),1,数 y=f(x)-c的图象与 x轴恰有两个交点,则实数 c的取值范围是 .
10、答案 c-2 或-132,的图象与 x轴恰有两个交点,即 y=f(x)与 y=c的图象恰有两个公共点,作出函数 y=f(x)的图象如图,由图象可知实数 c的取值范围是 c-2 或-14. (1)若要该厂不亏本,产量 x应控制在什么范围内?(2)该厂年产多少百台时,可使利润最大?解析 设利润为 L(x)万元.由题意得,C(x)=2+x,从而L(x)=R(x)-C(x)=3-0.52-2.5,0 4,5.5-,4. (1)要使该厂不亏本,只需 L(x)0,当 0x4 时,L(x)03x-0.5x 2-2.50 1x4,当 x4时,L(x)05.5-x0 44时,L(x)1.52.综上,当年产 3百台时,可使利润最大.
