1、考点规范练 57 分类加法计数原理与分步乘法计数原理考点规范练 A 册第 41 页 基础巩固1.(2018 山东春季高考)景区中有一座山,山的南面有 2 条道路 ,山的北面有 3 条道路,均可用于游客上山或下山,假设没有其他道路,某游客计划从山的一面走到山顶后,接着从另一面下山,则不同走法的种数是( )A.6 B.10C.12 D.20答案 C解析 先确定从哪一面上山,有两种选择,再选择上山与下山道路,可得不同走法的种数是 223=12.故选 C.2.现有四种不同的颜色,要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有 ( )A.24 种 B.30 种
2、C.36 种 D.48 种答案 D解析 按 ABCD 顺序分四步涂色,共有 4322=48(种).3.有 a,b,c,d,e 共 5 个人,从中选 1 名组长和 1 名副组长,但 a 不能当副组长,不同选法的种数是( )A.20 B.16C.10 D.6答案 B解析 当 a 当组长时,则共有 14=4(种) 选法; 当 a 不当组长时,又因为 a 也不能当副组长,则共有43=12(种)选法.因此共有 4+12=16(种) 选法.4.我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2 013 是“六合数”),则首位为 2 的“六合数”的个数为( )A.18 B.15C.12 D.9答案 B
3、解析 由题意知,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为 4.由 4,0,0 组成 3 个数,分别为400,040,004;由 3,1,0 组成 6 个数 ,分别为 310,301,130,103,013,031;由 2,2,0 组成 3 个数,分别为220,202,022;由 2,1,1 组成 3 个数 ,分别为 211,121,112,共有 3+6+3+3=15(个).5.将 3 张不同的电影票分给 10 名同学中的 3 人,每人 1 张,则不同分法的种数是( )A.2 160 B.720C.240 D.120答案 B解析 分步来完成此事.第 1 张电影票有 10 种分法;第 2 张电影票
4、有 9 种分法; 第 3 张电影票有 8 种分法,共有 1098=720(种)分法.6.已知集合 M=1,-1,2,N=-3,4,6,-8,从两个集合中各取一个元素作为点的坐标 ,则在平面直角坐标系中位于第一、第二象限内的不同点的个数为( )A.18 B.16C.14 D.12答案 C解析 分两类:第一类,M 中的元素作为点的横坐标,N 中的元素作为点的纵坐标,在第一象限内的点共有 22=4(个),在第二象限内的点共有 12=2(个);第二类,M 中的元素作为点的纵坐标,N 中的元素作为点的横坐标,在第一象限内的点共有 22=4(个),在第二象限内的点共有 22=4(个).故所求不同点的个数为
5、 4+2+4+4=14.7.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 名朋友,每名朋友 1 本,则不同的赠送方法共有( )A.4 种 B.10 种C.18 种 D.20 种答案 B解析 分两类:第一类赠送 1 本画册 ,3 本集邮册,需从 4 人中选取一人赠送画册,其余送集邮册,有 种14方法.第二类赠送 2 本画册,2 本集邮册,只需从 4 人中选出 2 人送画册,其余 2 人送集邮册,有 种方法.24由分类加法计数原理,不同的赠送方法有 =10(种).14+248.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践,但去哪个工厂可自由选择,甲工厂必须有
6、班级要去,则不同的分配方案有( )A.16 种 B.18 种C.37 种 D.48 种答案 C解析 三个班去四个工厂,不同的分配方案共 43 种,甲工厂没有班级去的分配方案共 33 种,因此满足条件的不同的分配方案共有 43-33=37(种) .9.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法共有 种. 答案 24解析 分步完成,首先甲、乙两人从 4 门课程中同选 1 门,有 4 种方法,其次甲从剩下的 3 门课程中任选1 门,有 3 种方法,最后乙从剩下的 2 门课程中任选 1 门,有 2 种方法,故甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法共有 432
7、=24(种).10.三边长均为正整数,且最大边长为 11 的三角形的个数是 . 答案 36解析 另两边长用 x,y(x,yN *)表示,且不妨设 1xy11,要构成三角形,必须 x+y12.当 y 取 11 时,x 可取 1,2,3,11,有 11 个三角形; 当 y 取 10 时,x 可取 2,3,10,有 9 个三角形;当 y 取 6 时,x 只能取 6,只有 1 个三角形.所以所求三角形的个数为 11+9+7+5+3+1=36.11.在数字 0,1,2,3,4,5,6 中,任取 3 个不同的数字为系数 a,b,c 组成二次函数 y=ax2+bx+c,则一共可以组成 个不同的解析式. 答案
8、 180解析 分三步完成,第一步任取一个数为 a,由于 a 不为零有 6 种方法;第二步从剩余的 6 个数中任取一个数为 b 有 6 种方法;第三步从剩余的 5 个数中任取一个数为 c 有 5 种取法,由分步乘法计数原理得,共有 665=180(个)不同的解析式.12.我们把中间位上的数字最大,而两边依次减小的多位数称为“凸数”.如 132,341 等,则由 1,2,3,4,5 可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是 . 答案 20解析 根据“凸数” 的特点,中间的数字只能是 3,4,5,故分三类,第一类,当中间数字为“3”时,此时有 2 种(132,231);第二类,当中间数字为“4”时,
9、从 1,2,3 中任取两个放在 4 的两边 ,故有 =6 种;23第三类,当中间数字为“5”时,从 1,2,3,4 中任取两个放在 5 的两边 ,故有 =12 种;24根据分类加法计数原理,得到由 1,2,3,4,5 可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是2+6+12=20.能力提升13.某校开设 8 门课程供学生选修,其中 A,B,C 三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定:每名同学选修三门,则每名同学不同的选修方案种数为( )A.30 B.40C.90 D.140答案 B解析 因为 A,B,C 三门由于上课时间相同,至多选一门,所以可分两类,第一类,A,B,C 三门课都不选,有 =1
10、0(种)方案;35第二类,A,B,C 中选一门,剩余 5 门课中选 2 门,有 =30(种)方案.1325故根据分类计数原理知共有 10+30=40(种)方案.14.某体育彩票规定:从 01 至 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注,每注 2 元.某人想从 01 至 10 中选 3个连续的号,从 11 至 20 中选 2 个连续的号,从 21 至 30 中选 1 个号,从 31 至 36 中选 1 个号组成一注,则这人把这种特殊要求的号买全,至少要花( )A.3 360 元B.6 720 元C.4 320 元D.8 640 元答案 D解析 从 01 至 10 中选 3 个连续的号共有 8
11、 种选法;从 11 至 20 中选 2 个连续的号共有 9 种选法; 从 21至 30 中选 1 个号有 10 种选法;从 31 至 36 中选 1 个号有 6 种选法,由分步乘法计数原理知共有89106=4 320(种)选法,故至少需花 4 3202=8 640(元) .15.把 2 支相同的签字笔、3 支相同的钢笔全部分给 4 名优秀学生,每名学生至少 1 支,则不同的分法有( )A.24 种B.28 种C.32 种D.36 种答案 B解析 第一类,有一个人分到一支钢笔和一支签字笔,这种情况的分法有:先将一支钢笔和一支签字笔分到一个人手上,有 4 种分法,再将剩余的 2 支钢笔、1 支签字
12、笔分给剩余的 3 名学生,有 3 种分法,共有34=12(种);第二类,有一个人分到两支签字笔,这种情况的分法有:先将两支签字笔分到一个人手上,有 4 种情况,再将剩余的 3 支钢笔分给剩余 3 个人,只有 1 种分法,共有 41=4(种);第三类,有一个人分到两支钢笔,这种情况的分法有:先将两支钢笔分到一个人手上,有 4 种情况,再将剩余的两支签字笔和一支钢笔分给剩余的 3 个人,有 3 种分法,共有 34=12(种).综上所述,总共有 12+4+12=28(种)分法.16.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如 22,121,3443,94249 等.显然两位回文数有 9 个:
13、11,22,33,99;三位回文数有 90 个:101,111,121,191,202,999,则五位回文数有 个. 答案 900解析 第一步,选左边第一个数字和右边第一个数字相同,有 9 种选法;第二步,选左边第二个数字和右边第二个数字相同,有 10 种选法;第三步,选左边第三个数字就是右边第三个数字,有 10 种选法.故五位回文数有 91010=900(个).17.已知集合 M=1,2,3,4,集合 A,B 为集合 M 的非空子集,若对xA,yB,xy 恒成立,则称( A,B)为集合 M 的一个“子集对”,则集合 M 的“子集对”共有 个. 答案 17解析 当 A=1时 ,B 有 23-1
14、=7(种)情况;当 A=2时,B 有 22-1=3(种)情况;当 A=3时,B 有 1 种情况;当 A=1,2时,B 有 22-1=3(种 )情况;当 A=1,3,2,3,1,2,3时,B 均有 1 种情况.故满足题意的“子集对” 共有 7+3+1+3+3=17(个).高考预测18.从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为( )A.24 B.18 C.12 D.6答案 B解析 三位数可分成两类,第一类是奇偶奇,其中个位有 3 种选择,十位有 2 种选择,百位有 2 种选择,共有 322=12(个);第二类是偶奇奇,个位有 3 种选择,十位有 2 种选择,百位有 1 种选择,共有321=6 个.故由分类加法计数原理,可知共有 12+6=18(个).故选 B.
