1、考点规范练 6 函数的单调性与最值考点规范练 B 册第 4 页 基础巩固1.下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是 ( )A.y=2-x B.y=x C.y=log2x D.y=-1答案 B解析 由题知,只有 y=2-x 与 y=x 的定义域为 R,且只有 y=x 在 R 上是增函数.2.若函数 y=ax 与 y=- 在区间(0, +)内都是减函数,则 y=ax2+bx 在区间(0,+ )内( )A.单调递增 B.单调递减C.先增后减 D.先减后增答案 B解析 因为函数 y=ax 与 y=- 在区间(0, +)内都是减函数,所以 a1,(4-2)+2,1A.(1,+) B.4,8) C.(4
2、,8) D.(1,8)答案 B解析 由 f(x)在 R 上是增函数, 则有1,4-20,(4-2)+2,解得 4af(1)f(-3). f(2)f(1)f(3).7.已知函数 f(x)=log2x+ ,若 x1(1,2),x 2(2,+),则 ( )11-A.f(x1)0C.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0答案 B解析 当 x(1, +)时,y=log 2x 与 y= 均为增函数,故 f(x)=log2x+ 在(1, +)上为增函数,且 f(2)=0,11- 11- 当 x1(1,2)时,f(x 1)f(2)=0.8.已知函数 f(x)=lo (x2-ax+3a)在区间1, +)内单调
3、递减,则实数 a 的取值范围是( )13A.(-,2 B.2,+)C. D.-12,2 (-12,2答案 D解析 设 y=f(x),令 x2-ax+3a=t. y=f(x)在区间1,+)内单调递减, t=x2-ax+3a 在区间1,+)内单调递增,且满足 t0. 21,12-1+30,解得- . (1)若 a=0,则 f(x)的最大值为 ; (2)若 f(x)无最大值 ,则实数 a 的取值范围是 . 答案 (1)2 (2)(-,-1)解析 令 g(x)=x3-3x,(x)=-2x.由 g(x)=3x2-3=0,得 x=1.可判断当 x=1 时,函数 g(x)的极小值为- 2;当 x=-1 时,
4、函数 g(x)的极大值为 2,且 g(x)与 x 轴的交点为(- ,0),(0,0),( ,0).3 3又 g(x)与 (x)图象的交点为 A(-1,2),O(0,0),B(1,-2),故可作出函数 g(x)与 (x)的大致图象如图所示.(1)当 a=0 时,f(x )= 可知 f(x)的最大值是 f(-1)=2.3-3,0,-2,0, (2)由图象知,当 a-1 时,f(x )有最大值 f(-1)=2;当 ax- (x0).(12)令 f(x)=x- ,函数 f(x)在(0,+)内为增函数,可知 f(x)的值域为(-1,+ ),故存在正数 x 使原不等式(12)成立时,a-1.13.(201
5、8 陕西榆林月考)如果函数 y=f(x)在区间 I 上是增函数 ,且函数 y= 在区间 I 上是减函数,那么()称函数 y=f(x)是区间 I 上的“缓增函数”,区间 I 叫作“缓增区间 ”.若函数 f(x)= x2-x+ 是区间 I 上的“ 缓12 32增函数”,则“缓增区间” I 为( )A.1,+) B.0, C.0,1 D.1, 3 3答案 D解析 因为函数 f(x)= x2-x+ 的对称轴为 x=1,所以函数 y=f(x)在区间1,+ )上是增函数.12 32又当 x1 时, x-1+ ,()=12 32令 g(x)= x-1+ (x1),12 32则 g(x)= .12322=2-
6、322由 g(x)0 得 1x ,即函数 x-1+ 在区间1, 上单调递减,3()=12 32 3故“缓增区间”I 为1, .314.已知函数 f(x)= 若函数 y=f(x)在区间( a,a+1)内单调递增,则实数 a 的取值范围是 .-2+4,4,2,4, 答案 (-,14,+)解析 画出 f(x)= 的图象如图所示,因为函数 y=f(x)在区间( a,a+1)内单调递增,则-2+4,4,2,4 a+12 或 a4,解得 a1 或 a4.故实数 a 的取值范围是(- ,14, +).15.已知 f(x)= (xa).-(1)若 a=-2,试证明 f(x)在( -,-2)内单调递增;(2)若
7、 a0,且 f(x)在(1,+) 内单调递减 ,求 a 的取值范围.(1)证明 当 a=-2 时,f(x)= (x-2).+2设任意的 x1,x2(-,- 2),且 x10,x1-x20,x2-x10, 要使 f(x1)-f(x2)0,只需(x 1-a)(x2-a)0 在(1,+) 内恒成立 , a1.综上所述,a 的取值范围是(0,1.高考预测16.已知函数 f(x)=x+ ,g(x)=2x+a,若x 1 ,x22,3使得 f(x1)g( x2),则实数 a 的取值范围是( )4 12,3A.a1 B.a1 C.a0 D.a0答案 C解析 当 x 时,f(x )2 =4,当且仅当 x=2 时,f(x) min=4,当 x2,3时,g( x)为增函数,故 g(x)12,3 4min=22+a=4+a.依题意可得 f(x)ming(x) min,解得 a0.
