1、10.2 双曲线及其性质挖命题【考情探究】5年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度双曲线的定义和标准方程1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、掌握双曲线的几何图形、标准方程.2016浙江,7双曲线的标准方程椭圆、离心率 2018浙江,2双曲线的焦点坐标2016浙江,7,文 13 双曲线的离心率椭圆、双曲线的定义和标准方程2015浙江,9 双曲线的渐近线双曲线的定义和标准方程双曲线的几何性质1.理解双曲线的简单几何性质.2.理解数形结合的数学思想.2014浙江,16双曲线的渐近线、离心率直线与双曲线的位置关系分析解读 1
2、.考查双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质,一般以选择题、填空题的形式出现,难度不大.2.重点考查双曲线的渐近线、离心率以及解双曲线上一点与两焦点构成的三角形.3.预计 2020年高考试题中,对双曲线的考查仍会以选择题、填空题的形式出现,难度适中.破考点【考点集训】考点一 双曲线的定义和标准方程1.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,8)已知 F1,F2分别是双曲线 - =1(a0,b0)的左,右焦点,点 P是双2222曲线右支上一点,O 为坐标原点.若|PF 2|,|PO|,|PF1|成等比数列,则双曲线的离心率为( ) A. B.2 3C.2 D. 5答案 A 2.(2018浙江宁波高三
3、期末,15)已知双曲线 C的渐近线方程是 y=2 x,右焦点 F(3,0),则双曲线 C的方2程为 ,若点 N的坐标为(0,6),M 是双曲线 C左支上的一点,则FMN 周长的最小值为 .答案 x 2- =1;6 +228 5考点二 双曲线的几何性质1.(2018浙江重点中学 12月联考,2)双曲线 - =1的离心率是( )2924A. B. C. D.52 53 132 133答案 D 2.(2018浙江名校协作体期初联考,2)双曲线 - =1的渐近线方程是( )2924A.y=x B.y=xC.y=x D.y=x答案 C 炼技法【方法集训】方法 求双曲线离心率(范围)的常用方法1.(201
4、8浙江金华十校模拟(4 月),2)双曲线 -y2=1的离心率为( ) 24A. B. C. D.5 352 32答案 C 2.(2018浙江萧山九中 12月月考,9)已知双曲线 - =1(a0,b0)的左,右焦点分别为 F1,F2,渐近线分别2222为 l1,l2,位于第一象限的点 P在 l1上,若 l2PF 1,l2PF 2,则双曲线的离心率是( )A. B. C.2 D.5 3 2答案 C 过专题【五年高考】A 组 自主命题浙江卷题组考点一 双曲线的定义和标准方程 (2016 浙江文,13,4 分)设双曲线 x2- =1的左、右焦点分别为 F1,F2.若点 P在双曲线上,且F 1PF2为锐
5、23角三角形,则|PF 1|+|PF2|的取值范围是 . 答案 (2 ,8)7考点二 双曲线的几何性质1.(2018浙江,2,4 分)双曲线 -y2=1的焦点坐标是( )23A.(- ,0),( ,0) B.(-2,0),(2,0)2 2C.(0,- ),(0, ) D.(0,-2),(0,2)2 2答案 B 2.(2016浙江,7,5 分)已知椭圆 C1: +y2=1(m1)与双曲线 C2: -y2=1(n0)的焦点重合,e 1,e2分别为2222C1,C2的离心率,则( )A.mn且 e1e21 B.mn且 e1e21 D.m0,b0)的两条渐近线分别交于点 A,B.2222若点 P(m,
6、0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 . 答案 52B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 双曲线的定义和标准方程1.(2018天津文,7,5 分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x轴的直线与双曲2222线交于 A,B两点.设 A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线的方程为( ) A. - =1B. - =12329 2923C. - =1D. - =124212 21224答案 A 2.(2017天津文,5,5 分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点为 F,点 A在双曲线的渐近线上,OA
7、F 是边2222长为 2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为( )A. - =1B. - =124212 21224C. -y2=1 D.x2- =123 23答案 D 3.(2017天津理,5,5 分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的左焦点为 F,离心率为 .若经过 F和 P(0,4)两点2222 2的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )A. - =1B. - =12424 2828C. - =1D. - =12428 2824答案 B 4.(2016课标全国,5,5 分)已知方程 - =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则22+232-n的取值范围是
8、( )A.(-1,3) B.(-1, )C.(0,3) D.(0, )3 3答案 A 5.(2015天津,6,5 分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线过点(2, ),且双曲线的一个焦点在抛2222 3物线 y2=4 x的准线上,则双曲线的方程为( )7A. - =1 B. - =1 C. - =1D. - =1221228 228221 2324 2423答案 D 6.(2016江苏,3,5 分)在平面直角坐标系 xOy中,双曲线 - =1的焦距是 . 2723答案 2 10考点二 双曲线的几何性质1.(2018课标全国文,10,5 分)已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的
9、离心率为 ,则点(4,0)到 C的渐近线2222 2的距离为( )A. B.2 C. D.223222答案 D 2.(2018课标全国理,11,5 分)设 F1,F2是双曲线 C: - =1(a0,b0)的左,右焦点,O 是坐标原点.过 F22222作 C的一条渐近线的垂线,垂足为 P.若|PF 1|= |OP|,则 C的离心率为( )6A. B.2 C. D.5 3 2答案 C 3.(2018课标全国理,11,5 分)已知双曲线 C: -y2=1,O为坐标原点 ,F为 C的右焦点,过 F的直线与 C的23两条渐近线的交点分别为 M,N.若OMN 为直角三角形,则|MN|=( )A. B.3
10、C.2 D.43答案 B 4.(2015课标,5,5 分)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y2=1上的一点 ,F1,F2是 C的两个焦点.22若 0,b0)的右焦点 F(c,0)到一条渐近2222线的距离为 c,则其离心率的值是 . 32答案 26.(2017课标全国理,15,5 分)已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的右顶点为 A,以 A为圆心,b 为半径作圆2222A,圆 A与双曲线 C的一条渐近线交于 M,N两点.若MAN=60,则 C的离心率为 . 答案 233C 组 教师专用题组考点一 双曲线的定义和标准方程1.(2017课标全国理, 5,5 分)已知双曲线 C: -
11、=1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y= x,且与椭圆2222 52+ =1有公共焦点,则 C的方程为 ( ) 21223A. - =1B. - =128210 2425C. - =1D. - =12524 2423答案 B 2.(2015广东,7,5 分)已知双曲线 C: - =1的离心率 e=,且其右焦点为 F2(5,0),则双曲线 C的方程为( )2222A. - =1B. - =12423 29216C. - =1D. - =121629 2324答案 C 3.(2015福建,3,5 分)若双曲线 E: - =1的左、右焦点分别为 F1、F 2,点 P在双曲线 E上,且|PF 1|=
12、3,则29 216|PF2|等于( )A.11 B.9 C.5 D.3答案 B 4.(2014湖北,8,5 分)设 a,b是关于 t的方程 t2cos +tsin =0 的两个不等实根,则过 A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线 - =1的公共点的个数为( )2222A.0 B.1 C.2 D.3答案 A 5.(2014天津,6,5 分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦2222点在直线 l上,则双曲线的方程为( ) A. - =1B. - =125220 22025C. - =1 D. - =1322532100 3210
13、03225答案 A 6.(2014大纲全国,9,5 分)已知双曲线 C的离心率为 2,焦点为 F1、F 2,点 A在 C上.若|F 1A|=2|F2A|,则cosAF 2F1=( )A. B. C. D.24 23答案 A 考点二 双曲线的几何性质1.(2018课标全国理,5,5 分)双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 ,则其渐近线方程为( )2222 3A.y= xB.y= xC.y= xD.y= x2 322 32答案 A 2.(2017课标全国文,5,5 分)已知 F是双曲线 C:x2- =1的右焦点,P 是 C上一点,且 PF与 x轴垂直,点 A23的坐标是(1,3),则APF
14、的面积为( )A. B.C. D.答案 D 3.(2017课标全国理,9,5 分)若双曲线 C: - =1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2) 2+y2=4所截得的弦2222长为 2,则 C的离心率为( )A.2 B. C. D.3 2233答案 A 4.(2016天津,6,5 分)已知双曲线 - =1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线2422的两条渐近线相交于 A,B,C,D四点,四边形 ABCD的面积为 2b,则双曲线的方程为( )A. - =1 B. - =124324 24423C. - =1D. - =12424 24212答案 D 5.(2016课标全
15、国,11,5 分)已知 F1,F2是双曲线 E: - =1的左,右焦点,点 M在 E上,MF 1与 x轴垂直,2222sinMF 2F1=,则 E的离心率为( )A. B. C. D.22 3答案 A 6.(2015安徽,4,5 分)下列双曲线中,焦点在 y轴上且渐近线方程为 y=2x的是( )A.x2- =1 B. -y2=1 C. -x2=1 D.y2- =124 24 24 24答案 C 7.(2015课标,11,5 分)已知 A,B为双曲线 E的左,右顶点,点 M在 E上,ABM 为等腰三角形,且顶角为120,则 E的离心率为( )A. B.2 C. D.5 3 2答案 D 8.(20
16、15重庆,10,5 分)设双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点为 F,右顶点为 A,过 F作 AF的垂线与双曲线交2222于 B,C两点,过 B,C分别作 AC,AB的垂线,两垂线交于点 D.若 D到直线 BC的距离小于 a+ ,则该双曲2+2线的渐近线斜率的取值范围是( )A.(-1,0)(0,1) B.(-,-1)(1,+)C.(- ,0)(0, ) D.(-,- )( ,+)2 2 2 2答案 A 9.(2015四川,5,5 分)过双曲线 x2- =1的右焦点且与 x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于 A,B两23点,则|AB|=( )A. B.24333C.6 D.4 3答案 D
17、 10.(2015湖北,8,5 分)将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a和虚半轴长 b(ab)同时增加 m(m0)个单位长度,得到离心率为 e2的双曲线 C2,则( )A.对任意的 a,b,e1e2B.当 ab时,e 1e2;当 ab时,e 1e2答案 D 11.(2014广东,4,5 分)若实数 k满足 00)的一个焦点,则点 F到 C的一条渐近线的距离为( )A. B.3 C. m D.3m3 3答案 A 13.(2014山东,10,5 分)已知 ab0,椭圆 C1的方程为 + =1,双曲线 C2的方程为 - =1,C1与 C2的离心22222222率之积为 ,则 C2的渐近线方程
18、为( )32A.x y=0 B. xy=02 2C.x2y=0D.2xy=0答案 A 14.(2014重庆,8,5 分)设 F1、F 2分别为双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P使得2222|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.3答案 B 15.(2018北京文,12,5 分)若双曲线 - =1(a0)的离心率为 ,则 a= . 2224 52答案 416.(2017北京文,10,5 分)若双曲线 x2- =1的离心率为 ,则实数 m= . 2 3答案 217.(2017课标全国文,14,5 分)双曲
19、线 - =1(a0)的一条渐近线方程为 y=x,则 a= . 2229答案 518.(2016北京,13,5 分)双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线为正方形 OABC的边 OA,OC所在的直线,点 B为2222该双曲线的焦点.若正方形 OABC的边长为 2,则 a= . 答案 219.(2015北京,10,5 分)已知双曲线 -y2=1(a0)的一条渐近线为 x+y=0,则 a= . 22 3答案 3320.(2015湖南,13,5 分)设 F是双曲线 C: - =1的一个焦点.若 C上存在点 P,使线段 PF的中点恰为其虚2222轴的一个端点,则 C的离心率为 . 答案 521.(201
20、5山东,15,5 分)平面直角坐标系 xOy中,双曲线 C1: - =1(a0,b0)的渐近线与抛物线2222C2:x2=2py(p0)交于点 O,A,B.若OAB 的垂心为 C2的焦点,则 C1的离心率为 . 答案 22.(2014北京,11,5 分)设双曲线 C经过点(2,2),且与 -x2=1具有相同渐近线,则 C的方程为 ;渐24近线方程为 . 答案 - =1;y=2x2321223.(2014江西,20,13 分)如图,已知双曲线 C: -y2=1(a0)的右焦点为 F,点 A,B分别在 C的两条渐近线上,22AFx 轴,ABOB,BFOA(O 为坐标原点).(1)求双曲线 C的方程
21、;(2)过 C上一点 P(x0,y0)(y00)的直线 l: -y0y=1与直线 AF相交于点 M,与直线 x=相交于点 N.02证明:当点 P在 C上移动时, 恒为定值,并求此定值.|解析 (1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c= ,2+1直线 OB的方程为 y=-x,直线 BF的方程为 y= (x-c),解得 B .(2,- 2)又直线 OA的方程为 y=x,则 A ,kAB= =.又因为 ABOB,所以 =-1,解得 a2=3,(,)-(- 2)-2 (-1)故双曲线 C的方程为 -y2=1.23(2)由(1)知 a= ,则直线 l的方程为 -y0y=1(y00),303即 y=
22、 .0-330因为直线 AF的方程为 x=2,所以直线 l与 AF的交点为 M ;(2,20-330)直线 l与直线 x=的交点为 N ,(32,320-330)则 = =|2|2(20-3)2(30)214+(320-3)2(30)2(20-3)29204+94(0-2)2= .(20-3)2320+3(0-2)2因为 P(x0,y0)是 C上一点,则 - =1,代入上式得20320= = =,|2|2(20-3)220-3+3(0-2)2(20-3)2420-120+9所求定值为 = = .| 23233评析 本题考查双曲线的标准方程、直线方程、直线与双曲线的综合问题,考查考生综合应用能力
23、、整体代换思想以及转化与化归思想的应用,准确表示出点 M与点 N的坐标是解决本题的前提,注意点 P(x0,y0)与双曲线的关系是化简的关键.考查运算求解能力及推理论证能力.【三年模拟】一、选择题(每小题 4分,共 40分)1.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,4)双曲线 9y2-4x2=1的渐近线方程为( ) A.y=x B.y=xC.y=x D.y=x答案 C 2.(2019届浙江嘉兴 9月基础测试,9)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离小于2222它的实轴长,则该双曲线离心离 e的取值范围是( )A.1 D.e2 5答案 B 3.(2018浙江稽阳联谊学校
24、高三联考(4 月),2)若 y= x是曲线 C: - =1(a,b0)的一条渐近线,则 C的离22222心率为( ) A.3 B. C. D.362答案 B 4.(2018浙江诸暨高三期末,8)已知双曲线的标准方程为 - =1(a0,b0),F1,F2为其左,右焦点,若 P是2222双曲线右支上的一点,且 tanPF 1F2=,tanPF 2F1=2,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.552 3553答案 A 5.(2018浙江高考模拟卷,5)已知 F1,F2是双曲线 - =1(a0,b0)的两焦点,以线段 F1F2为边作正三角形2222MF1F2,若边 MF1的中点 P在双曲线
25、上,则双曲线的离心率是( )A. +1 B. -13 3C.2 D.3+12答案 A 6.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),8)已知双曲线右支上存在点 P使得PAF= ,PA=AF,其中 A是双23曲线的右顶点,F 是左焦点,则双曲线的离心率为( )A. B. C.2 -2 D. +12 3 3 3答案 C 7.(2018浙江教育绿色评价联盟适应性试卷(5 月),8)已知 F1,F2是双曲线 - =1(a0,b0)的左,右焦点,2222P是双曲线上的一点,且 PF1PF 2,若PF 1F2的内切圆半径为,则该双曲线的离心率为( )A. -1 B. C. D. +163+12 6+126
26、答案 C 8.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,7)已知 F是双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点,以坐标原点 O为圆心,2222|OF|为半径的圆与该双曲线的渐近线在 y轴右侧的两个交点记为 A,B,且AFB=120,则双曲线的离心率为( ) A. B. C.2 D.2 3 5答案 C 9.(2018浙江绍兴高三适应性模拟,7)如图,已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的左焦点为 F,A为虚轴的一端2222点.若以 A为圆心的圆与 C的一条渐近线相切于点 B,且 =t (tR),则该双曲线的离心率为( )A.2 B. 5C. D.1+ 32 1+ 52答案 D 10.(2018浙江诸
27、暨高三适应性考试,7)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线截椭圆 +y2=1所得的2222 24弦长为 ,则此双曲线的离心率为( )433A. B. C. D.2 3626答案 B 二、填空题(单空题 4分,多空题 6分,共 14分)11.(2018浙江嵊州高三期末质检,12)已知双曲线 C: - =1(t0)的其中一条渐近线经过点(1,1),则该双222曲线的右顶点的坐标为 ,渐近线方程为 . 答案 ( ,0);y=x212.(2018浙江名校协作体联考,16)已知双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点为 F,过 F的直线 l与双曲线的2222渐近线交于 A,B两点,且与其中一条渐近线垂直,若 =3 ,则此双曲线的离心率为 . 答案 6213.(2017浙江名校协作体联考,16)设双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点为 F,过点 F作与 x轴垂直的直线2222交两渐近线于 A,B两点,且与双曲线在第一象限的交点为 P,设 O为坐标原点,若= + ,= (,R),则双曲线的离心率 e为 . 425答案
