1、9.1 直线的方程1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角 .当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.倾斜角的范围为0，180).(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 ktan_，倾斜角是 90的直线斜率不存在.过两点的直线的斜率公式经过两点 P1(x1，y 1)，P 2(x2， y2) (x1x 2)的直线的斜率公式为 k .y2 y1x2 x12.直线方程的五种形式名称 方程 适用范围点
2、斜式 y y0k(xx 0) 不含垂直于 x 轴的直线斜截式 y kxb 不含垂直于 x 轴的直线两点式 y y1y2 y1 x x1x2 x1 不含直线 xx 1 (x1x 2)和直线 yy 1 (y1y 2)截距式 1xa yb 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC 0(A 2 B20)平面直角坐标系内的直线都适用3.过 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)的直线方程(1)若 x1x 2，且 y1y 2 时，直线垂直于 x 轴，方程为 xx 1；(2)若 x1x 2，且 y1y 2 时，直线垂直于 y 轴，方程为 yy 1；(3)若 x1x 20，且 y1y 2 时，直线
3、即为 y 轴，方程为 x0；(4)若 x1x 2，且 y1y 20 时，直线即为 x 轴，方程为 y0.4.线段的中点坐标公式若点 P1、P 2 的坐标分别为( x1，y 1)、( x2，y 2)，且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x ，y)，则Error!，此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置. ( )(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率. ( )(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大. ( )(4)直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为 . ( )(5)斜率相等的两直线的倾斜角
4、不一定相等. ( )(6)经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 ykxb 表示. ( )(7)不经过原点的直线都可以用 1 表示. ( )xa yb(8)经过任意两个不同的点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)的直线都可以用方程(y y 1)(x2x 1)(xx 1)(y2y 1)表示.( )2.如果 AC0，在 y 轴上的截距 0，故直CA CB线经过一、二、四象限，不经过第三象限.3.若直线斜率的绝对值等于 1，则直线的倾斜角为_.答案 45或 135解析 由|k| |tan |1，知：ktan 1 或 ktan 1.又倾斜角 0 ，180)，45或 135.4.直线 l 经
5、过 A(2,1)，B(1，m 2)(mR )两点.则直线 l 的倾斜角的取值范围为_.答案 0，4 (2，)解析 直线 l 的斜率 k 1m 21.m2 11 2若 l 的倾斜角为 ，则 tan 1.又0 ，)， .0，4 (2，)5.过点 M(3，4) ，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_.答案 xy10 或 4x3y0解析 若直线过原点，则 k ，43y x，即 4x3y 0.43若直线不过原点.设 1，即 xya.xa yaa3(4)1，xy10.题型一 直线的倾斜角与斜率例 1 经过 P(0，1) 作直线 l，若直线 l 与连接 A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线
6、 l 的斜率 k 和倾斜角 的取值范围分别为_，_.思维启迪 本题考查斜率求解公式以及 k 与 的函数关系，解题关键是在求倾斜角时要对其分锐角、钝角的讨论.答案 1,1 0， ，)4 34解析 如图所示，结合图形：为 使 l 与线段 AB 总有公共点，则 kPAkk PB，而 kPB0，kPA0 时， 为锐角.又 kPA 1， 2 11 0kPB 1，1k1. 1 10 2又当 0k1 时，0 ；4当1k0 ，b0)，xa yb点 P(3,2)代入得 12 ，得 ab24，3a 2b 6ab从而 SAOB ab12，当且仅当 时等号成立， 这时 k ，从而所求直线方程12 3a 2b ba 2
7、3为 2x3y120.方法二 依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k0；当 k0 时，直 线为 y1，符合 题意，故 k0.(3)解 由 l 的方程，得 A ，B(0,12k).( 1 2kk ，0)依题意得Error!解得 k0.S |OA|OB| |12k |12 12|1 2kk | 121 2k2k 12(4k 1k 4) (224)4，12“”成立的条件是 k0 且 4k ，即 k ，1k 12S min4，此时直线 l 的方程为 x2y40.分类讨论思想在求直线方程中的应用典例：(5 分) 与点 M(4,3)的距离为 5，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_.思维启迪 解答本
8、题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等，分类设出直线的方程求解.解析 当截距不为 0 时，设所求直 线方程为 1，xa ya即 xya0，点 M(4,3)与所求直 线的距离 为 5， 5 ，|4 3 a|2a75 .2所求直线方程为 xy 75 20 或 xy75 0.2当截距为 0 时，设所求直线方程 为 ykx，即 kxy0.同理可得 5，k .|4k 3|1 k2 43所求直线方程为 y x，即 4x3y0.43综上所述，所求直线方程为xy75 0 或 xy 7 5 0 或 4x3y0.2 2答案 xy75 0 或 xy75 0 或 4x3y02 2温馨提醒 在选用直线方程时常易忽视的情况有
9、(1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；(2)选用截距式时，忽视截距为零的情况；(3)选用两点式时忽视与坐标轴垂直的情况.方法与技巧1.要正确理解倾斜角的定义，明确 倾斜角的取值范围，熟 记 斜率公式：k ，该公式与两y2 y1x2 x1点顺序无关，已知两点坐标( x1x 2)时，根据 该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x1x 2，y1y 2时，直线的斜率不存在，此 时直线的倾斜角为 90.2.求斜率可用 ktan (90)，其中 为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90是分界，遇到斜率要 谨记，存在与否需讨论”.3.求直线方程中一种重要的方法就是
10、先设直线方程，再求直线方程中的系数， 这种方法叫待定系数法.失误与防范1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.2.根据斜率求倾斜角，一是要注意 倾斜角的范围；二是要考 虑正切函数的单调性.3.利用一般式方程 AxBy C0 求它的方向向量为(B ，A)不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的.A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)一、选择题1.如图中的直线 l1、l 2、l 3 的斜率分别为 k1、k 2、k 3，则( )A.k13，所以 01 或者 0.12综上可知，实数 a 的取值范围 是(， )(0，).128.若 ab0，且 A(a,
11、0)、B(0 ，b) 、C (2，2)三点共线，则 ab 的最小值为_.答案 16解析 根据 A(a,0)、B(0，b)确定直线的方程为 1，又 C(2， 2)在该直线上，故 xa yb 2a1，所以2(ab)ab.又 ab0，故 a0 ，b0)，xa yb将(1,4)代入得 1，1a 4bab(ab)( )5( )9，1a 4b ba 4ab当且仅当 b2a，即 a3，b6 时，截距之和最小，直线方程为 1，即 2xy60.x3 y64.已知 A(3,0)，B(0,4) ，直线 AB 上一动点 P(x，y)，则 xy 的最大值是_.答案 3解析 直线 AB 的方程为 1，x3 y4设 P(x
12、，y)，则 x3 y，34xy3y y2 (y 24y )34 34 (y2) 243.34即当 P 点坐标为 时，xy 取最大值 3.(32，2)5.设点 A(1,0)，B(1,0)，直线 2xy b0 与线段 AB 相交，则 b 的取值范围是_.答案 2,2解析 b 为直线 y2x b 在 y 轴上的截距，如图，当直线 y2xb 过点 A(1,0) 和点 B(1,0)时 b 分别取得最小值和最大值.b 的取值范围是2,2.6.直线 l 过点 P(1,4)，分别交 x 轴的正方向和 y 轴的正方向于 A、B 两点.(1)当|PA|PB|最小时，求 l 的方程；(2)当|OA|OB|最小时，求 l 的方程.解 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负.设 l：y4k(x1)( k0).令 y0，可得 A(1 ，0)；令 x0，可得 B(0,4k).4k(1)|PA|PB| 4k2 16 1 k2 (1k 2)4( k )8.(注意 k0)4k 1k当且仅当 k 且 k0 即 k 1 时，1k|PA|PB|取最小 值.这时 l 的方程为 xy50.(2)|OA|OB| (1 )(4k)5(k )9.4k 4k当且仅当 k 且 k0，即 k2 时，4k|OA|OB|取最小值.这时 l 的方程为 2xy60.
