1、河北省唐山市 2018-2019学年高三上学期期末考试 A卷数学（理）试题第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线 的焦点到准线的距离等于（ ）y2=8xA. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的标准方程得 ，求出 ，即得结论2p=8 p【详解】抛物线 中 ，即 ， 所以焦点到准线的距离是 故选 By2=8x 2p=8 p=4 p=4【点睛】本题考查抛物线的标准方程，抛物线 的准线方程是 ，焦点坐标是y2=2px x=p2焦点到准线的距离为 本题属于基础题(p2
2、,0) p2.命题“ ， ”的否定是（ ）x0 x2x+10A. ， B. ，x00 x02x0+10 x0 x2x+10C. ， D. ，x00 x02x0+10 x0 x2x+10【答案】A【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“ ， ”的否定是： ， x0 x2-x+10 x00 x02-x0+10故选：A【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题3.若双曲线 的两条渐近线斜率分别为 ，则 （ ）x2y23=1 k1,k2 k1k2=A. B. -1
3、C. -3 D. -913【答案】C【解析】【分析】由双曲线方程写出两条渐近线方程即可得到斜率，从而得到答案.【详解】双曲线 的渐近线方程为 y= ,x2-y23=1 3x则斜率 ，则k1= 3,k2=- 3 k1k2=-3故选：C【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，属于简单题.4.“ ”是“ ”的（ ）(x1)(x3)0 x0成立，若 x1，则 x1 或 x3 成立，即必要性成立，故“ ”是“ ”的必要不充分条件，(x-1)(x-3)0 xb0) F1,F2 P,Q， 在第一、三象限的交点，若四边形 是矩形，则椭圆 的离心率为（ ）C1 C2 PF1QF2 C2A. B. C. D. 3
4、4 32 47 277【答案】D【解析】【分析】设|PF 1| x，|PF2|y ，由椭圆定义和双曲线定义和勾股定理得到 x 和 y 的等量关系，化简整理即可得到答案.【详解】设|PF 1|x，|PF 2|y，点 P 为椭圆 上的点，C2:x2a2+y2b2=1|PF1|+|PF2| 2a=x+y；又四边形 PF1QF2 为矩形， 即 x2+y2（2c） 2=4 ，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2 c2设双曲线 C1 的实轴长为 2m，焦距为 2c，且 =2cm则 2m|PF 1|PF2|x-y，2+2 可得 x2+y22 =4 (m2+a2) c2将 代入中 ,m=c2 a2=74
5、c2椭圆 C2 的离心率 e=ca=277故选：D【点睛】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，利用圆锥曲线定义是关键，考查分析与运算能力，属于中档题12.设 是同一球面上的四点， 是边长为 6的等边三角形，若三棱锥 体积的A,B,C,D ABC DABC最大值为 ，则该球的表面积为（ ）183A. B. C. D. 64 52 48 36【答案】A【解析】【分析】作出图形由图知，当点 D 与球心 O 以及ABC 外接圆圆心三点共线且 D 与ABC 外接圆圆心位于球心的异侧时，三棱锥 DABC 的体积取得最大值，结合三棱锥的体积求出棱锥的h，然后利用勾股定理求球 O 的半径 R，最后利用表面积公式可
6、求出答案【详解】如图所示，由题意可知，设点 M 为ABC 外接圆的圆心，当点 D、O、M 三点共线时，且 D、M 分别位于点 O 的异侧时，三棱锥 DABC 的体积取得最大值，ABC 的面积为 ，1266sin3=93由于三棱锥 DABC 的体积的最大值为 ，得 DM6，1393DM=183易知 DM平面 ABC，则三棱锥 DABC 为正三棱锥，ABC 的外接圆直径为2AM= ，AM=2 ，设球 O 的半径为为 R，在直角三角形 AOM 中，6sin3 3由勾股定理得 ,即 ,解得 R=4 或 R=6(舍去)AO2=OM2+AM2 R2=(6-R)2+(23)2因此，球 O 的表面积为 4R2
7、=64故选：A【点睛】本题考查球体的表面积，解决这类问题的关键找出合适的模型求出球体的半径，考查计算能力，属于中档题第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.若直线 与直线 垂直，则 _axy2=0 2x(a1)y+1=0 a=【答案】13【解析】【分析】利用两条直线互相垂直的充要条件即可得出【详解】直线 与直线 垂直，ax-y-2=0 2x-(a-1)y+1=0 2a+(a-1)=0 a=13故答案为：13【点睛】本题考查了两条直线互相垂直的充要条件，属于基础题14.圆锥高为 3，体积为 ，则该圆锥的侧面积为_3【答案】 6【解析】【分析】利用圆锥体积
8、求出底面半径，从而得到母线长，进而得到圆锥的侧面积.【详解】设圆锥的底面半径为 r，又圆锥高为 3，体积为 ，3 ，3=133r2 r= 3圆锥的母线长为 3+9=23圆锥的侧面积为：122323=6故答案为： 6【点睛】本题考查圆锥的侧面积与体积公式，考查空间想象力与计算能力，是基础题15.在三棱锥 中， 平面 ， ， ，则直线 与平面 所成PABC PA ABC ACBC PA=AC=BC=2 AB PBC角的大小为_【答案】 30【解析】【分析】作 ADPC，连接 BD，证明 AD平面 PBC，可得ABD 为 AB 与平面 PBC 所成角，在直角PAC 中，由等面积可得 AD，从而可求
9、AB 与平面 PBC 所成角【详解】作 ADPC，连接 BD， PA平面 ABC，BC平面 ABC，PABC，ACBC，PAACA， BC平面 PAC，AD平面 PAC，BCAD，ADPC，BCPCC， AD 平面 PBC，ABD 为 AB 与平面 PBC 所成角，在直角PAC 中，由等面积可得 AD ，2222 2在直角ADB 中，sin ABD = ，ABD=ADAB 22212 30AB 与平面 PBC 所成的角为 ，30故答案为： 30【点睛】本题考查线面角的求法，考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正
10、弦值；或者根据线面角的定义做出这个角，放到三角形中去求解. 还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。16.椭圆 的左、右焦点分别为 ， 为 上的动点，点 在线段 的延长线上，C:x24+y23=1 F1,F2 A C P F1A且 ，则 到 轴距离的最大值为_(AP+AF2)F2P=0 P y【答案】5【解析】【分析】取 P 的中点 Q，利用向量中点公式将条件化简得到 从而得到|AP|=|A ，利用F2 AQF2P=0， F2|椭圆的定义可得点 P 的轨迹，从而可确定最大值.【详解】取 P 的中点 Q，连接 AQ, =2 ,则 ，可知|AP|=|A ,F2 A
11、P+AF2 AQ AQF2P=0 F2|由椭圆定义可知|A ,则点 P 的轨迹是以 为圆心，以 4 为半径F1|+|AF2|=|AF1|+|AP|=|F1P|=4 F1的圆，由图可知当点 和点 M重合时，到 轴距离最大值为 5.P y故答案为：5【点睛】本题考查椭圆定义和向量加减法的应用，考查分析推理能力，属于中档题.三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. ：直线 的斜率大于 3， ：方程 表示焦点在 轴上的双曲p (m25m)x2y+1=0 q x25my2m+3=1 x线.若 为真命题，求实数 的取值范围.(p)q m【答案】 1,5
12、)【解析】【分析】由 为真命题，可知 为假命题， 为真命题分别求出 m的范围，最后取交集即可.(p)q p q【详解】解：因为 为真命题，所以 为假命题， 为真命题 (p)q p q：直线 的斜率 ，得 p (m2-5m)x-2y+1=0 k=m2-5m2 3 -1m6因为方程 表示焦点在 轴上的双曲线，所以x25-m- y2m+3=1 x 5-m0,m+30, 解得， -3|=|A1Cn|A1C|n|=23535即直线 与平面 所成角的正弦值为 .A1C BA1C123535【点睛】本题考查面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理的应用，考查利用空间向量的方法求解线面角问题,考查空间想象能力和
13、计算能力.20.已知抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点 在 轴上，且过点 .C O F x M(1,2)（1）求抛物线 的方程；C（2）若倾斜角为 的直线交抛物线 于 两点，且 斜率之积为-2，求 的面积.45 C A,B OA,OB AOB【答案】 （1） （2）y2=4x 43【解析】【分析】(1) 设抛物线方程为 ,将点 代入方程即可得到结果；（2）设直线 l的方y2=2px(p0) M(1,2)程，将直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，由 斜率之积为2 可求出直线方OA,OB程，代入面积公式即可得到结果.【详解】解：（1）由题意设抛物线 的方程为： C y2=2px(p0)抛物线 过
14、点 ， C M(1,2)，2p=4抛物线 的方程为 C y2=4x（2）设直线的方程为 ， ， ，y=x+b A(x1,y1) B(x2,y2)由 得， ， y=x+b,y2=4x y2-4y+4b=0因为 ，所以 =16-16b0 b=mn|m|n|=63因为二面角 为锐二面角，E-BD-C所以二面角 的余弦值为 .E-BD-C63【点睛】利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足
15、为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小22.已知椭圆 的右焦点 ，点 与短轴的两个端点围成直角三角形. C:x2a2+y2b2=1(ab0) F(1,0) F（1）求椭圆 的方程；C（2）设 ，经过点 且斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ， （ 异于点P(0,1) F k(k0) C M,N M,N） ，求直线 与 斜率之差的绝对值的取值范围.P PM PN【答案】 （1） （2）x22+y2=1 (1, 2)【解析】【分析】（1）由焦点坐标得 c=1,由点 与短轴的两个顶点围成直角三角形可得 b=c=1,从而可得椭圆F方程；(2)设直线 l方程，将直线方程与椭圆方程联
16、立，利用韦达定理和斜率公式化简整理即可得答案.【详解】解：（1）因为椭圆 的右焦点 ，点 与短轴的两个顶点围成x2a2+y2b2=1(ab0) F(1,0) F直角三角形，所以 ， .c=b=1 a2=2所以椭圆 的方程为 .Cx22+y2=1（2）设直线的方程 ，代入椭圆方程 并整理，y=k(x-1)x22+y2=1得 ，(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0设 ， ，M(x1,y1) N(x2,y2)则有 ，=16k4-4(1+2k2)(2k2-2)=8k2+80， ， ，x1,2=2k22k2+21+2k2 |x1-x2|=22k2+21+2k2 x1x2=2k2-21+2k2又因为 且 ，k0 k1所以 |kPM-kPN|=|y1+1x1-y2+1x2|=|kx1-k+1x1 -kx2-k+1x2 |.=|(k-1)(x1-x2)|x1x2| =2k2+1|k+1| = 2 k2+1(k+1)2= 21- 2k+1k+2(1, 2)故直线 与 斜率差的绝对值的取值范围是 .PM PN (1, 2)【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查韦达定理和斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题.
