1、第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1正弦定理在 中，若角 A，B ，C 对应的三边分别是 a，b，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即_正弦定理对任意三角形都成立2解三角形一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的_已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_K 知识参考答案：1 2元素 解三角形sinisinabc=ABCK重点 正弦定理的变形和推广、正弦定理在解三角形中的应用K难点 三角形解的个数的探究、三角形形状的判断K易错 解三角形时要明确角的取值范围，同时注意对角的讨论正弦定理的常见变形及推广（1 ）sinsisin,s
2、iin,siin,sinAaCcBbaAaCcAbcBBb（2 ）sinisinisisisisiaABC（3 ） :sin:siabcABC（4 ）正弦定理的推广： ，其中 为 外接圆的半径2iinsiabcRABC（1）已知 ABC 中， ，则 =_； i:i=1:3ABCa:bc（2 ）已知 ABC 中， A ， ，则 =_ =603a+sinsin【答案】（1） ；（2）2:3【解析】（1）根据正弦定理的变形，可得 =si:si=1:23:bcABC（2 ） 方法 1：设 ，则有 =sinabAB(0)sinckCinisinakbckC， ， ，从而 ，又 ，所以isick2s60A
3、=2niabABC方法 2：根据正弦定理的变形，可得 2sinsinabcaABC=【名师点睛】熟记正弦定理的变形，可使解题过程更加简捷，从而达到事半功倍的效果在 中，求证： ABC 22sisisiabab【答案】证明见解析【解析】设 外接圆的半径为 R，则 于是in,2i,ARB2222sinsi(sin)(s)8coi)iissin,abBRABACab所以 22iinBAab【解题技巧】 的两种变形的应用：=2sinisicRC（1） （边化角） ；2,n,siabBC（2） （角化边） sin,si,i2cARR正弦定理在解三角形中的应用、三角形解的个数的探究1正弦定理可以用来解决下
4、列两类解三角形的问题：（1 ）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2 ）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角2三角形解的个数的探究（以已知 和 解三角形为例）ab， A（1 ）从代数角度来看若 ，则满足条件的三角形的个数为 0，即无解；sini1bAB=a若 ，则满足条件的三角形的个数为 1；isi若 ，则满足条件的三角形的个数为 1 或 2ini1bAB=a注：对于（3） ，由 可知 B 可能为锐角，也可能为钝角，此时应sin0i1bABa由“大边对大角” 、 “三角形内角和等于 180”等进行讨论（2 ）从几何角度来看当 A 为锐角时：一解 一解 两解 无解当 A 为钝角或直角时：一
5、解 一解 无解 无解（1）已知在 中， ，则ABC 10,45,30cAC_， _， _；ab（2 ）已知在 中， ，则 3,6,c_， _， _；AC（3 ）已知在 中， ，求 和 B ,45,2cAab,BC【答案】（1） ， ， ；（2 ） ， ， ；（3）见解析102561090【解析】（1） ，,38()15cCAQ，由 得siniaAC， sinsi45102Aa，由 得 iibcB， i10i652sns34Bb（2 ） ，iin01,isini 2cCb， 为锐角， ， ,60,bcBQ3,9CA22cba（3 ） ，sin6si45,isini 2acAa或 ，,60ccC1
6、2当 时， ，60sin6si7575, 310cBBb当 时， 120Csin6si1515, 30cBBbC或 3,7,60b3,2C【解题技巧】（1）已知三角形的两角与一边解三角形时，由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，由正弦定理可计算出三角形的另两边（2 ）已知两边和其中一边的对角解三角形时，先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中“大边对大角”看能否判断所求这个角是锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角；当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦
7、定理求出第三条边三角形形状的判断判断三角形形状的常用方法边化角，已知条件中同时包含边角关系，判断三角形形状时，将边化为角，从三角变换的角度来研究角的关系和特征，进而判断三角形的形状一般来说，这种方法能够判断的三角形都是特殊的三角形，如直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形在 中，已知 ，且 ，ABCsinabBAcos()cs1os2BC则 是A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形【答案】B【解析】设 的外接圆半径为 ，由正弦定理的推广，得 ，A Rsin2aAR，sin2bR代入sinaB，可得 ，即 ab2ba因为 ，所以 ，co()c1os2AC2co
8、s()cs()sinABC即 2sinsiB由正弦定理的推广可得 ，所以 ，2()2abcR2abc由 2ba及 可得 ，所以 是直角三角形c22ABC故选 B【名师点睛】注意到 a，b ，c 在条件式中是齐次线性关系，因此可以考虑利用正弦定理将边化为角通过角的特征或者关系来判断三角形的形状忽略角的取值范围而出错在 中，若 ，求 的取值范围ABC 3cb【错解】由正弦定理，可得，22sini3sin2cos2in= cos4cos1ic BBb，20o1,413Q由 ，可得 ,bc0cb故 的取值范围为 (,3)【错因分析】错解中没有考虑角 的取值范围，误认为角 的取值范围为 BB(0,18)
9、【正解】由正弦定理可得，22sini3sin2cos2in= cos4cosicC BbB，180,45,1ABBQ，即 ，24cos33cb故 的取值范围为 b(1,)【名师点睛】解三角形时要注意三角形的内角为正角且必须满足三角形内角和定理，这是解题中的隐含条件，应特别注意忽略对角的讨论而出错已知在 中， 求角 和边 ABC 4,2,30,abB,ACc【错解】由正弦定理 可得 ，sinisiniA， 2sin,45， ，18034510C6,i105icbCBQsin2bcB【错因分析】错解中由正弦定理求出角 A 的正弦值后误认为角 A 是锐角，从而导致错误【正解】由正弦定理,siniab
10、B得42sini30，2sin,或 ,45abAQ13当 时， ，80451C62sin,sin1,23sincbbCcBB；当 时， ，135A8035162sin,sin1,23sin4cbbcCQ综上， 或 45,0,3Ac15,2ACc【名师点睛】在 中，已知两边和其中一边的对角解三角形时，可先用正弦定理求B出另一边的对角，此时解的个数可能不确定，应注意讨论，避免漏解导致错误1在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，则ABC Cabc83,60bAsinA B23 3C D2 382在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，AB Cabc2a， ，则 452bA 或 B
11、301 30C D 453在 中，若A60，B 45，BC ，则 AC 2A B4 2C D334在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A:B:C1:2:3，则 a:b:cA1: 2:3 B1:2: 3C 1: :2 D2: :135在 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c， ， ， ，则324tan2aA B10 26C D6在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，则 oscsinCaA的形状为A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定7在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ，则此三角 15,8,30bA形解的个数为A B0C D
12、不能确定28已知 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cosA:cosBb:a，则AB是A等腰三角形 B直角三角形C 等腰直角三角形 D等腰或直角三角形9在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ， ， ，则 8a6075C_b10在 中，角 A，C 的对边分别为 a，c ，其中 ， ，则角 13cA_C11在 B 中，若 B30，AB 2 ，AC2，则 BC 的周长为3_12 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，己知 =90， + = ，求 Aac2bC13在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若a b，A2B，则 cosB=5A B3
13、54C D5 614在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ，则,3,2AabBA B6 4C D3 215在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ，则角3,6,3abAB 等于A B4 4C 或 D以上都不正确316在 中，角 A，B，C 的对边为 a，b，c，若 ，则 cos(2)cosabA是A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形17在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，则oscosACab是A有一内角是 30的三角形 B等边三角形C等腰直角三角形 D有一内角是 30的等腰三角形18在 中，已知 ，则边长AB 31
14、,6,15bcBaA 或 B312 31C 2 D 219在 中，已知 ， ，则 _B 2AC30BA20如图所示，在一个坡度一定的山坡 的顶上有一高度为 25 的建筑物 为了测mC量该山坡相对于水平地面的坡角 ，在山坡的 处测得 ，沿山坡前进1550 到达 处，又测得 根据以上数据计算可得mB45DBC_cos21如图，在 中，点 在 边上，ABC D72cos4210AB， ，（1 ）求 的值；sin（2 ）若 ，求 的长5BD22 （ 2017 山东理）在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a， b， c若 为锐 ABC角三角形，且满足 ，则下列等式成立sin(12cos)incossi
15、n的是A 2ab B 2baC DB A23 （ 2017 新课标全国文）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知，a=2，c= ，则 C=sin(sico)0A2A B12 6C D4 324 （ 2017 新课标全国文） 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b ，c ，若，则 _2coscosbBa25 （ 2017 新课标全国文） 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b ，c 已知 C=60，b= ，c=3 ，则 A=_626 （ 2018 北京理）在 中， ， ， BC7a8b1cos7B（1 ）求 ；（2 ）求 边上的高A1 【 答案】D【解析】 ，由 得 故选
16、D83,60abAsiniabBsin3i.8bAa2 【 答案】B【解析】在 中，由 得 ，由于C siniab21sinisin45aAb，所以 ，所以 ，故选 BabA303 【答案】B【解析】由正弦定理得 ，所以 AC 故选 B2sin60i45AC23sin452.604 【答案】C【解析】因为在 AB 中，ABC ，且 A:B:C1:2:3 ，所以 A ，B= ，C=63，由正弦定理的变形，得 a:b:csin A:sinB:sinC 1: :2故选 C2 13=2： ：6 【 答案】B【解析】由已知可得 ， ，2sincosinsiBCA2sin()siBCA， ，三角形为直角三
17、角形故选 Bsin1A27 【 答案】C【解析】由正弦定理可得 ，因为 ，所以sin18i30i5bABaba，所以角 可能是锐角，也可能是钝角，所以此三角形有两解，故选30BAC8 【答案】D【解析】由正弦定理可得 ，即 sinAcosAsinBcosB，所以cosinAbBasin2Asin2 B，即 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB ，故 C 是等腰或2直角三角形故选 D9 【 答案】 46【解析】 ， ， ， ， ，0B75C4AsiniabAB823b46b10 【 答案 】【解析】由正弦定理可得 ，即 ，所以 或31siniC213sinC6C，又 ，所以 56ac612
18、 【 答案 】 o=15C【解析】由正弦定理可得 ，又由于sin2sinACB，oo90=18()ACBAC，故 ，csin2sio2sin(90)2cosC即 2oco,o45因为 ，所以 ，即 o09C2=113 【答案】B【解析】由正弦定理，得 ，所以 a b 可化为 sinaAbB52sinAB52又 A2B ，所以 ，所以 cosB 故选 Bsi25414 【 答案 】D【解析】在 中，由正弦定理可得 ，又C2sinisin13bAa，所以 ，故选 D0B215 【 答案 】A【解析】在 中， ，BC3,6,3abA36sinisiniabBB，又 ， ， ，故选 A2sin0B41
19、6 【 答案 】D【解析】由正弦定理和已知条件可得 ，sincos2incosicsCAB所以 即sin()sico2sisi,ABB，co0所以 或 ，即 或 故 是等腰三角形或sisnA90=AC直角三角形故选 D18 【 答案 】A【解析】由正弦定理可得， ，sin6si153i 2cBCb在 中， ， 或 BC cb6012当 时， ， ；6015Asinsi05316cAa当 时， ，此时 2C4iin42sC综上，可得 或 故选 A31a219 【 答案 】 或05【解析】由正弦定理得 ，得 ，siniBCsin2sisi30BCA由 ，得 ，所以 或 ，从而 或 AB451315
20、21 【 答案 】 （1） ；（2） 45【解析】 （1）因为 ，所以 2cos10ADB72sin10ADB又 ，所以 ，4CAD4ADB所以 7224sini()sincossin444105ADB（2 ）在 中，由 ，可得 ACD siniCsi2nC22 【 答案 】A【解析】由题意知 ，si()2sico2sicosiBA所以 ，故选 A2sincocnBAba23 【 答案 】B【解析】由 可得si()si(cos)0CC，即sinconAAin，所以 (s)2is()434A由正弦定理 可得 ，即 ，因为 ，所以siniacAC23insiC1si2ca，C所以 ，故选 B624
21、 【 答案 】 3【解析】由正弦定理可得 12sincosicsincosi()sincos2BACACB3B25 【 答案 】 75【解析】由正弦定理 ，可得 ，结合sinibcBC36sin2ibCBc可得 ，则 .bc4518075A26 【 答案 】 （1） ；（2 ）AC 边上的高为 332【解析】 （1）在 中，因为 ，所以 ，所以 ABC1cos7B(,)243sincos7由正弦定理 ，所以 sinsinabAB84373sin2A因为 ，所以 ，所以 (,)2B(0,)2（2 ）在 中， C3143sini()sincosic()271ABBA如图所示，在 中， ，所以 ， Cihsin2C所以 边上的高为 A32The End 下 节 见
