1、1.1.2 余弦定理1余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 ， ，22cosabA2_b2_.c2余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论，22cosbcaA_；B_cosC3余弦定理与勾股定理从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是_；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是_；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是_ 从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广4正弦定理与余弦定理的关系（1 ）正弦定理和余弦定理都从不同的角度刻画了三角形边角之间的数量关系，它们是解决斜三角形
2、问题的两个最重要的定理 （2 ）在同一个三角形中，正弦定理和余弦定理又是等价的，即由正弦定理可以推出余弦定理，由余弦定理同样也可以推出正弦定理（同学们可以自己尝试证明一下） 因此，在解三角形时，凡是能用正弦定理求解的三角形，必能用余弦定理求解，反之亦然我们把正弦定理和余弦定理结合起来应用，就能很好地解决三角形的问题K 知识参考答案：1 2cosaB2cosabC2 2cab22cab3 直角 钝角 锐角K重点 利用余弦定理解三角形K难点 综合运用正、余弦定理解三角形及三角形形状的判断K易错 解三角形时，除了保证三边长均为正数，还应判断三边能否构成三角形解三角形问题的常见类型与解法正弦定理、余弦
3、定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素（三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素） ，如果其中三个元素是已知的（至少要有一个元素是边），那么这个三角形一定可解斜三角形的解法可以归纳为以下四种类型：1已知两角及其中一角的对边，如已知 【一解】 （上节内容，此处不再赘述）,ABa2已知两边及其夹角，如已知 【一解】,abC在 中，角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 5， 4 ， 120 ， bC则 _cosA【答案】1362【解析】由余弦定理，得 = ，故22coscabC254cos1206+-=，61c所以 2224615361osbcA【解题技巧】已
4、知两边及其夹角的解题步骤：（1 ）由 求 ；（2 ）由 求 ；（3）由22coscabC22cosbcaAA求 180BACB【名师点睛】求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便，应用正弦定理求角时，为了避开讨论（因为正弦函数在区间 上是不单调的） ，应先求较小边所(0,)对的角，因为它必是锐角3已知三边【一解】在 中，已知 ， ， ，则 _ABC a13b2cA【答案】 105【解析】由余弦定理的推论，得 所2222(13)(3cosaBc=，以 ，30B由余弦定理的推论，得 所以 ，2222(13)(cos =，abcC45C所以 180105AB【解题技巧】此类问题可以连
5、续用余弦定理的推论求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由 求第三个角；或者由余弦定理的推论求出一个角后，也可以8C根据正弦定理求出第二个角，但应先求较小边所对的角（因为较小的角必定为锐角） 4已知两边及其中一边的对角，如已知 【两解、一解或无解 】,abB已知 中，角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， ， 8,760B则 _c【答案】 或35【解析】方法 1： 利用正弦定理求解，此处不再赘述方法 2：由余弦定理 ，得 ，22cosbaB2278cos60=c整理得 解得 或 850,c35【解题技巧】此类问题的求解步骤：方法 1：根据正弦定理经讨论求 ；求出 后，
6、由 求 ；由A180ABC求 ；siniacAC方法 2：可以根据余弦定理，列出以边 为未知数的一元二次方程c，根据一元二次方程的解法求边 ，然后应用正弦定理或2(co)()0Babc余弦定理求其他元素判断三角形的形状判断三角形的形状有以下几种思路：（1 ）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边” ；（2 ）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角 ”在 中，角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c，若 ，则 2osaBc是ABCA直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形【答案】B【解析】方法 1（化角为边）： 由余弦定理可得 ，即 22ac
7、b2,.ab故 为等腰三角形故选 BAC方法 2（化边为角）：由正弦定理可得 ，2sincosiABC又 ，所以 ，180Bsi (180)sin()AB化简可得 即 ，sinco0,ABsi()由 ，可得 ，即 ，故 为等腰三角形故选 BABC忽略三边不能构成三角形导致错误已知 是钝角三角形的三边，求实数 的取值范围,21aa【错解】因为 是三角形的三边，所以 ，,012,2即所以 是三角形的最大边，设其所对的角为 （钝角），21a则 ，化简得 ，解得 22()(1)cos 0a280a8a又 ，所以 故实数 的取值范围为 12a8(1,)【错因分析】错解中 只能保证 都是正数，而要表示三角
8、形的三边，12a,2a还需满足三角形的隐含条件“两边之和大于等三边” 【正解】因为 是三角形的三边，所以 ，即 ，,21a021a12a所以 是三角形的最大边，设其所对的角为 （钝角），则 ，化简得 ，解得 222()()cos 01a280a8a要使 构成三角形，需满足 ，即 ,21a122a综合 ，可得 故实数 的取值范围为 8aa(,8)【名师点睛】在利用余弦定理求三角形的三边时，除了要保证三边长均为正数，还要判断一下三边能否构成三角形1在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A ，a ，b1，则23cA 1 B3C 2 D12在 中，已知 ， ， ，则 a 等于 AB4
9、3b2c0AA B61C 或 6 D 21533在 中，若 AB ，AC5，且 cosC ，则 BC 的长为 B910A4 B5C4 或 5 D34在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则3cos()1,23bA B310C D2 55在 中， ，则B,2,34ACBCAA B 5C D3 36边长为 3、7、8 的三角形中，最大角与最小角之和为A90 B120C 135 D1507在 中，若 ，则最大角的余弦值是B137,8cos4abCA B15 16C D7 88在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，则 120,CcaA Bab bC D 与 的大小关系不能
10、确ab ab定9已知 中， ，则 _AB =3130BCA， ， =C10在 中， ， ， ，则 的外接圆的直径为 a452cB_11若钝角三角形 的三边长分别是 ，则 _ABC,1()aNa12在 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，22)tn3cbBac则 _13在 中，C2A， ac 5，cos A ，求 b 的值3414在 中，角 A，B，C 的对边为 a，b，c，且 2coscosAaC（1）求角 A 的大小；（2）若 ， ，求 bc 的值7a4bc15在 中，B ，AB ，BC3，则 sin A AC42A B10 105C D310 516 的三个内角满足： ，
11、则ABsiniBAcCabA B6 3C D 或23 217在 中，如果 ，那么 等于B sin:si2:34ABCcosCA B23 13C D14 218在 中，三边上的高依次为 ，则 为AB1,35ABCA锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不存在这样的三角形19在 中，已知 (角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c) ，则B2cosbc是_三角形A20如图，在三角形 中， ， ，以 为直角顶点向外作等腰直角三C13角形 ，当 变化时，线段 的长度的最大值为 _DBBD21如图所示，在 中， ，点 在线段 上，且ABC3sin,22ABDAC， ，则 _2ADC43BcosACB2
12、2 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asinAsin Bbcos 2A aB（1）求 的值；ba（2）若 c2b 2 a2，求 B323在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知ABC Cabcsini2siniacabB（1 ）求角 的大小；（2 ）若角 ， ，求 的值75A24 （ 2018 新课标全国理）在 中， ， ， ，则ABC5cos21BC5ABA B42 30C D9 525 （ 2018 浙江）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 若 ，ABC Cabc7a， ，则 _， _2b60sinc26 （ 2018 新课标全国理）在平面四边形 中，
13、， ，AB9045A， 2AB5D（1 ）求 ；cos（2 ）若 ，求 CB27 （ 2018 天津文理）在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b ，c 已知sincos()6bAa（1 ）求角 B 的大小；（2 ）设 ， ，求 和 的值3bsin(2)AB28 （ 2017 天津文）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 已知ABC BCabc， sin4iab225()acbc（1 ）求 的值；co（2 ）求 的值si()BA29 （ 2017 天津理）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 已知ABC BCabc， ， ab5,6c3sin5（1 ）求 和 的值；i（
14、2 ）求 的值sin()4A30 （ 2017 江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为 32cm，容器的底面对角线 AC 的长为 10 cm，容器的两底面对角线 ，7EG的长分别为 14cm 和 62cm分别在容器和容器中注入水，水深均为1EG12cm现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将 放在容器中， 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 上，求 没入水中l 1Cl部分的长度；（2）将 放在容器中， 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 上，求 没入水中ll 1Gl部分的长度1 【 答案】D【解析】由余弦定理可得 ，
15、， 故选22cosbcaA213c1D2 【答案】A【解析】由余弦定理得 48 122 ( )22cosabA432184，所以 故选 A13 【答案】C【解析】设 BCx ，由余弦定理可得 即 解2955,10xx20,x得 ，所以 BC 的长为 4 或 5故选 C45或4 【 答案】A【解析】 ， ，则3cos()1B1cos4A， 故选 A224923abA0a7 【答案】C【解析】由余弦定理得 ，解得 ，可知角 最大，cosC2278134ccB则 故选 C227381cosB8 【 答案】A【解析】由余弦定理知 ，则 ，即22coscabC22aba，则 ，所以 ，所以 ，故选 A2
16、ab()105111 【 答案 】2【解析】设边长为 的边所对的角为 ，则2aC222(1)()cosaa，0， ，又 ，所以 ，所以 ，又23a13(1)a3，所以 N12 【 答案 】 或【解析】因为 ，所以 ，即22()tan3cbBc2costan3Bc，所以 或 3sinB13 【答案】 52b【解析】由正弦定理，得 ， sini2coscCAa32a又 ac5，a2，c 3由余弦定理 a2b 2c 22bc cosA，得 ， b2 或 2910b5当 b2 时，a2，AB又 C2A，且 ABC ， ，与已知 矛盾，不合题意，舍去4A3cos4A当 b 时，满足题意 5252b14
17、【答案】 （1）60；（2）3【解析】 （1）因为 ，coscosAaC所以根据正弦定理可得 iniB，cosinsis()AC因为 ，所以 ，又 00，故 cosB ， B45223 【 答案 】 （1） ；（2 ） 4531a【解析】 （1）因为 ，sini2siniAcCbB所以由正弦定理可得 ，即 ，2a22ac结合余弦定理可得 ，又 ，所以 cosB018B45（2 ）因为 ，所以75A，26sin(304)sin3co45s3in4故由正弦定理可得 1ibaB24 【 答案 】A【解析】设角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，因为Cabc，所以2253cos1()1C，所以 ，故选
18、 A2cos()25ab42c26 【 答案 】 （1） ；（2 ） 35【解析】 （1）在 中，由正弦定理得 ABD siniBDA由题设知 ，所以 5sin4i25由题设知， ，所以 90AB3cos1AB（2 ）由题设及（1）知 2cossin5BDCA在 中，由余弦定理得BCD，所22cos25825以 527 【 答案 】 （1） ；（2） ， 37b3in()14AB【解析】 （1）在 中，由正弦定理 可得 ，ABC siinabsiinAaB又由 可得 ，即 ，sincos()6bainco()6Bico()6化简可得 又 ，所以 t3B(0,)328 【 答案 】 （1） ；（
19、2 ） 55【思路分析】 （1）首先根据正弦定理 得到 ，再根据余弦定理即siniabAB2ab可求得 的值；（2）根据（ 1）的结论和条件，由 求得 ，然后根据cosAcosAin求得 ，再求 ，然后由二倍角公式求 ，最in4iabBsicos ,cos2B后代入 的展开式即可s()【解析】 （1）由 及 ，得 sin4iaAbsiniabAB2ab由 及余弦定理，得 225()acbc225cosbcaA（2 ）由（1 ）可得 ，代入 ，5sinAsin4iaB得 isin4aBb由（1）知 A 为钝角，所以 25cos1inB于是 ， ，4sin2i5B23siB故 4525i()sic
20、os2in()AA【名师点睛】 （1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值；（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题29 【 答案 】 （1） ， ；（2 ） 3b13sinA76（2 ）由（1 ）及 ，得 ，ac213osA所以 ， sin2iA25csin13A故 7i()sios2i444630 【 答案 】 （1）16；（2）20【解析】 （1）由正棱柱的定义， 平面 ，所以平面 平面1C AB
21、D1AC， ABCD记玻璃棒的另一端落在 上点 处1M因为 ，所以 ，从而107,4A2240(17)30C，3sinMC如图，记 与水面的交点为 ，过 作 P1Q1AC，Q 1 为垂足，1则 P1Q1平面 ABCD，故 P1Q1=12，从而 AP1= 16sinPMACQ答：玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 16cm(如果将“没入水中部分”理解为 “水面以上部分” ，则结果为 24cm)（2 ）如图，O，O 1 是正棱台的两底面中心由正棱台的定义，OO 1平面 EFGH，所以平面 E1EGG1平面 EFGH，O 1OEG同理，平面 E1EGG1平面 E1F1G1H1，O 1OE 1G1记玻璃
22、棒的另一端落在 GG1 上点 N 处，过 G 作 GKE 1G1，K 为垂足，则 GK =OO1=32因为 EG = 14，E 1G1= 62，所以 KG1= ，624从而 2230设 则 1,EGN 114sini()cos25KG 因为 ，所以 23co5在 中，由正弦定理可得 ，解得 ENG401sini7sin25因为 ，所以 022co5于是 4273sinsi()sin()sicosin()55NEG记 EN 与水面的交点为 P2，过 P2 作 P2Q2EG ，Q 2 为垂足，则 P2Q2平面 EFGH，故 P2Q2=12，从而 EP2= 20sinNEG答：玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20cm(如果将“没入水中部分”理解为 “水面以上部分” ，则结果为 20cm)The End 下 节 见
