1、2018-2019 学年度第一学期高三期末调研考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足 ，则 （ ）z2=5+12i z=A. 或 B. 或 C. 或 D. 3+2i 32i 32i 3+2i 1+2i 12i 13【答案】A【解析】【分析】设 za+bi（a，bR） ，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得 a，b，则答案可求【详解】设 za+ bi（a，bR） ，由 z25+12i，得 a2b 2+2abi5+12i， ，解得 或 a2-b2=52ab=12
2、a=3b=2 a=-3b=-2 z3+2i 或 z 32i故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题2.函数 的零点所在的区间是（ ）y=x4(12)xA. B. C. D. (0,1) (1,2) (2,3) (3,4)【答案】B【解析】【分析】由于连续函数 f（x ）满足 f（1）0，f （2）0，从而得到函数 yx4（ ） x的零点所12在区间【详解】yx 4（ ） x为 R 上的连续函数，12且 f（1）120，f（2）210，f（1）f（2）0，故函数 yx4（ ） x的零点所在区间为：（ 1，2） ，12故选：B【点睛】本题主要考查函数的零点的定义
3、，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题3.已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则 的一个充分条件是（ ）a,b , a/bA. ， B. ， ，a/ b/ a/ b/ /C. ， ， D. ， ，a b / a b/【答案】C【解析】【分析】在 A 中，a 与 b 相交、平行或异面；在 C 中，由线面垂直的性质可得 ab；在 B、 D 中，均可得 a 与 b 相交、平行或异面；【详解】由 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，在 A 中， ， ，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 A 错误；a/ b/在 B 中， ， ， ，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 B 错误
4、；a/ b/ /在 C 中，由 a ， ，则 ，又 ，由线面垂直的性质可知 ，故 C 正确； / a b a/b在 D 中， ， ， ，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 D 错误 a b/故选：C【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题4.定义运算 ，则函数 的图像是（ ）ab=b,aba,ab f(x)=1log2xA. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据新定义可得函数 1log 2x 就是取 1 与 log2x 中较大的一个即可判断【详解】从定义运算 ab 上看，对于任意的 a
5、、b，ab 实质上是求 a 与 b 中=b(ab)a(a b) 最大的，1log 2x 就是取 1 与 log2x 中较大的一个，对于对数函数 ylog 2x，当 x2，log 2x1，当 0x 2 时，f （x）1故选：C【点睛】本题主要考查新定义，求函数的最大值，属于基础题5. 的展开式中， 的系数是（ ）(12x)5(2+x) x3A. -160 B. -120 C. 40 D. 200【答案】B【解析】【分析】将问题转化为二项式（12x ）5 的展开式的系数问题，求出（1 2x）5 展开式的通项，分别令r2，3 求出（1 2x）5（2+x）的展开式中 x3 项的系数【详解】 （12x）
6、5（2+x）的展开式中 x3 项的系数是（12x） 5 展开式中 x3 项的系数的 2 倍与（12x） 5 展开式中 x2 项的系数的和（12x）5 展开式的通项为 Tr+1（2） rC5rxr令 r3 得到 x3 项的系数为8C 5380令 r2 得到 x2 项的系数为 4C5240所以（12x） 5（2+x）的展开式中 x3 项的系数是802+40 120故答案为：B【点睛】解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项 .可依据条件写出第 项，r+1再由特定项的特点求出值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项
7、的系数 .可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出值，最后求出其参数.r+16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 36 B. 32 C. 30 D. 27【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图，判断该几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个以 3 为边长的长方形，高为 4，分别求出棱锥各个面的面积，进而可得答案【详解】由已知中的该几何体是一个四棱锥的几何体，四棱锥的底面为边长为 3 和 3 的正方形，高为 4，故 S 四棱锥 43+ 53 53=SABE+SCBE+SCDE+SADE+S四 边 形 ABCD=12 12 +1243+3336+12故选：A【点
8、睛】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图判断出几何体的形状，并找出各个面的棱长、高等关键的数据是解答本题的关键7.若双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则双曲线 的离心率为（ C:x2my23=1 y2=8x C）A. 4 B. 3 C. 2 D. 32【答案】C【解析】【分析】先求出抛物线 y28x 的焦点坐标，由此得到双曲线 C： 1 的一个焦点，从而求出 ax2m-y23=的值，进而得到该双曲线的离心率【详解】抛物线 y28x 的焦点是（2，0） ，双曲线 C： 1 的一个焦点与抛物线 y28x 的焦点重合，x2m-y23=c2，b 23，m 1，e 2=ca=21=故
9、选：C【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解8.在 中，若 ， （ ） ，则当 最小时， （ ）ABC AB=(1,2) AC=(x,2x) x0 BC ACB=A. B. C. D. 900 600 450 300【答案】A【解析】【分析】由已知 可求 的坐标，然后结合向量数量积的坐标表示及二次函数的性质可BC=AC- AB BC求 BC 最小时的 x，结合向量数量积的性质即可求解【详解】 （1，2） ， （x ，2x） （x0） ，AB= AC= （x1，2x2） ，BC=AC- AB=| |BC= (-x-1)2+(2x-2)2= 5x2-6x+5令 y5x 2
10、6x+5 ，x0根据二次函数的性质可知，当 x ，y min ，此时 BC 最小，=35 =165 ， （ ， ） ，CA=(35，-65) CB= 85 450，CA CB=3585-6545= ，即 C90，CACB故选：A【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查了二次函数的性质的简单应用，考查运算求解能力，是基础题9.已知函数 ，且图像在点 处的切线的倾斜角为 ，则f(x)=x3+2x2f(1)+2 x=2 的值为（ ）sin(2+)cos(32)A. B. C. D. 316 316 417 417【答案】D【解析】【分析】先对函数进行求导，求出 f （1） ，然后根据导数的几何意义
11、求出切线斜率kf（2） tan，然后根据诱导公式及同角基本关系可得 sin（ ）cos（ ）2+ 32-cossin ，代入可求=-sincossin2+cos2=- -tan1+tan2【详解】f（x ）x 3+2x2f（1）+2，f（x）3 x2+4xf（1） ，f（1）3+4f（1） ，即 f（1）1，f（x）3x 24x ，图象在点 x2 处的切线的斜率 kf （2）4tan，则 sin（ ）cos（ ）2+ 32-cossin=-sincossin2+cos2=-tan1+tan2，=-417故选：D【点睛】本题综合考查了导数的几何意义的应用，诱导公式及同角基本关系的综合应用，属于基
12、础知识的综合应用10.已知 是 所在平面内一点， ，现将一粒红豆随机撒在 内，P ABC 2PB+3PC+PA=0 ABC记红豆落在 内的概率为 ，落在 内的概率为 ， ，则PBC PPBC PAC PPAC（ ）PPBCPPBAPPAC=A. B. C. D. 16 112 518 136【答案】D【解析】【分析】根据 2 3 ，计算出PAB ，PAC，PBC 面积的关系，求出概率，作积PB+ PC+PA=0得答案【详解】如图，令 ， ， PB1=2PB PC1=3PC PA1=PA则 P 为A 1B1C1 的重心， ，SPA1B1=SPA1C1=SPB1C1而 ， ， SPAB=12SPA
13、1B1 SPAC=13SPA1C1 SPBC=16SPB1C12S PAB 3S PAC 6S PBC ， ， ， PPAB=12 PPAC=13 PPBC=16则 PPBC PPBA PPAC =121316=136故选：D【点睛】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档11.数列 1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2， ，其相邻的两个 1 被 2 隔开，第 对 1 之 n间有 个 2，则数列的前 209 项的和为（ ）nA. 279 B. 289 C. 399 D. 409【答案】C【解析】【分析】根
14、据题意，根据数列的性质，先把数列分组，每组中，第一个数为 1，其他均为 2，且第 n组中，有 n+1 个数；得到 209 是前 19 行的和，进而得到所有项的和.【详解】根据题意，先把数列分组，第一组为 1，2，有 2 个数，第二组为 1，2，2，有 3 个数，第三组为 1，2，2，2，有 4 个数，第 n 组中，第一个数为 1，其他均为 2，有 n+1 个数，即每组中，第一个数为 1，其他均为2，则前 n 组共有 个数，n(n+3)2当 n=19 时，恰好前 19 行有 209 个数，前 19 行有 19 个 1，有 209-19=190 个 2，则这些数的和为：19+ 1902=399.故
15、答案为 C【点睛】本题考查数列的求和，注意要先根据数列的规律进行分组，综合运用等差数列前n 项和公式与分组求和的方法，进行求和12.已知 且 ，则下列结论正确的是（ ）,4,4 | cos| cos|0A. B. C. D. | |【答案】A【解析】【分析】将式子变形得到 ，因为余弦函数是偶函数，故 ，构造函数|cos|cos |cos|cos|，通过求导得到函数的单调性，进而得到结果.f(x)=|x|cos|x|【详解】 等价于 ,即 ，因为余弦函数是偶函数，故|cos|-| cos|0 | cos| cos| |cos|cos，构造函数 ，根据偶函数的定义 f(x)=f(-x)得到函数是偶
16、函数，|cos|cos| f(x)=|x|cos|x|而 f(x)在 上， ，故函数单调增，又因为 ，故得(0，4) f(x)=xcosx,f(x)=cosxxsinx0 f(|)f(|)到 .|故答案为：A.【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用，以及函数的单调性的应用，通过研究函数的这些性质来比较函数的大小；比较大小常用的方法，除构造函数，研究函数性质得到结果，常用的有：做差和 0 比，做商和 1 比，不等式性质的应用等.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知集合 ， ，则 _ （用区间表示）M=x|1b0) P(x0,y0) l:x0xa2+y0yb2=
17、1 x,y于 两点，则当 最小时， _ （ 为坐标原点）A,B |AB| |OP|= O【答案】 a2+b2-ab【解析】【分析】利用切线求得 A、B 两点坐标，表示出 ，再利用 ，结合基本不等式求得|AB|2x02a2+y02b2=1，再利用 最小时的条件求得 ， ，即可求解.|AB|2(a+b)2 |AB| x02=a3a+b y02=b3a+b【详解】因为点 的切线方程为 ，若分别交 轴于 两点，所以P(x0,y0) l:x0xa2+y0yb2=1 x,y A,BA（ ，0） ，B（0， ） ， = = ，a2x b2y0 |AB|2|OA|2+|OB|2a4x02+b4y02又 点 P
18、 在椭圆 上， 有 ， (x0,y0)x2a2+y2b2=1(ab0) x02a2+y02b2=1= + ) ，当且仅|AB|2a4x02+b4y02=(a4x02+b4y02)(x02a2+y02b2)=(a2+b2+b4x02y02a2a4y02x02b2(a2+b2+2ab)=(a+b)2当 = 时等号成立， ，b4x02y02a2a4y02x02b2 b4x02y02a2=a4y02x02b2a4x02+b4y02=(a+b)2 解得 ， ， = = ，x02=a3a+b y02=b3a+b x02+y02=a3a+b+b3a+ba3+b3a+b a2+b2-ab= .|OP|= x0
19、2+y02 a2+b2-ab故答案为 .a2+b2-ab【点睛】本题以过椭圆上点的切线为载体，考查了利用基本不等式求最值及等号成立的条件，考查了逻辑推理及运算能力，属于难题三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在 中， 分别是内角 的对边，且 .ABC a,b,c A,B,C sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC（1）求 ；A（2）若 ， ，求 的面积.a=3 b=2 ABC【答案】 （1） （2）23 32- 32【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a 2b 2+c2+bc由余弦定理可得：cosA ，结合范
20、围=-12A（0，） ，可求 A =23（2）由已知利用余弦定理 c2+2c50，解得 c 的值，利用三角形面积公式即可计算得解【详解】 （1）因为 ，sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC由正弦定理得 . a2=b2+c2+bc再由余弦定理得 ，cosA=b2+c2-a22bc =-12又因为 ，所以 A(0,) A=23（2）因为 a=3， ，b=2 A=23代入 得 ,a2=b2+c2+bc c2+2c-5=0解得 . c= 6-1故 ABC 的面积 .S=12bcsinA=32- 32【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计
21、算能力和转化思想，属于基础题18.设 ， ， ，数列 的前 项和 ，点 （ ）均在函a=(x2,2) b=(3,x) f(x)=ab an n Sn (n,Sn) nN*数 的图像上 .y=f(x)（1）求数列 的通项公式；an（2）设 ， 是数列 的前 项和，求满足 （ ）的最大正整数 .bn=3anan+1 Tn bn n Tnm21nN* m【答案】 （1）a n6n5 （ ） （2）8nN【解析】【分析】（1）根据 f（x ）3x 22x，由（n，S n）在 y3x 22x 上，知 Sn3n 22n由此能求出数列a n的通项公式（2）由 ，知 Tnbn=3anan+1= 3(6n-5)
22、(6n+1)=12( 16n-5- 16n+1)（1 ） ，根据 （ ）对=12(1-17+17-113+113-119+ 16n-5- 16n+1)=12 16n+1 12（1 16n+1）m21nN*恒成立,当且仅当 ，由此能求出所有 nN*都成立的 m 的范围nN*37m21【详解】 （1）因为 3x22x. f(x)=ab又因为点 均在函数 的图像上，所以 3n 22n. (n,Sn)(nN*) y=f(x) Sn当 n2 时，a nS nS n1 （3n 22n） 6n5. 3(n-1)2-2(n-1)当 n1 时，a 1S 131 221，所以，a n6n5 （ ）. nN*（2）
23、由（1）得知 ，bn=3anan+1 12( 16n-5- 16n+1)故 Tn ni=1bi 12(1-17)+(17-113)+.+( 16n-5- 16n+1) （1 ） ，且 Tn随着 n 的增大而增大12 16n+1因此，要使 （1 ） （ ）对 恒成立,当且仅当 n=1 时 T1= ，12 16n+1 m21nN* nN* 37m21即 m|=| -321+344+34|= 23197=2399133【点睛】这个题目考查了面面垂直的证明，以及线面角的求法，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向
24、向量和面的法向量，再求线面角即可。20.为了积极支持雄安新区建设，某投资公司计划明年投资 1000 万元给雄安新区甲、乙两家科技企业，以支持其创新研发计划，经有关部门测算，若不受中美贸易战影响的话，每投入 100 万元资金，在甲企业可获利 150 万元，若遭受贸易战影响的话，则将损失 50 万元；同样的情况，在乙企业可获利 100 万元，否则将损失 20 万元，假设甲、乙两企业遭受贸易战影响的概率分别为 0.6 和 0.5.（1）若在甲、乙两企业分别投资 500 万元，求获利 1250 万元的概率；（2）若在两企业的投资额相差不超过 300 万元，求该投资公司明年获利约在什么范围内？【答案】
25、（1）0.2 （2）其获利区间范围为 335 与 365 万元之间【解析】【分析】（1）由已知条件可知，在甲、乙两公司分别投资 500 万元的情况下欲获利 1250 万元，须且必须两公司均不遭受贸易战的影响，故可列出式子即可；（ 2）先求得投资 100 万元在甲公司获利的期望 30 万，乙为 40 万，设在甲、乙两公司的投资分别为 x,(1000x)万元，则平均获利 z=0.3x+0.4(1000x) 4000.1x 万元，根据 x 的范围可得到 z 的范围.【详解】 （1）由已知条件可知，在甲、乙两公司分别投资 500 万元的情况下欲获利 1250 万元，须且必须两公司均不遭受贸易战的影响.
26、故所求的概率为 P=（10.6）（10.5）0.2. （2）设投资 100 万元在甲公司获利万元，则的可能取值为 150 和50 万元.又甲公司遭受贸易战影响的概率为 0.6故投资 100 万元在甲公司获利的期望为 1500.4（50）0.630 万元. 同理在乙公司获利的期望为 1000.5（20）0.540 万元. 设在甲、乙两公司的投资分别为 x,(1000x)万元，则平均获利z=0.3x+0.4(1000x)4000.1x 万元（其中 ）.350x650由于上述函数为减函数，所以其获利区间范围为 335 与 365 万元之间.【点睛】这个题目考查了互相独立事件的概率的求法，以及离散型随
27、机变量的均值的求法，即期望的求法；其中互相独立事件 A 和 B，P(AB)=P(A)P(B).21.设点 在以 ， 为焦点的椭圆 上.P(52,32) F1(2,0) F2(2,0) C:x2a2+y2b2=1(ab0)（1）求椭圆 的方程；C（2）经过 作直线 交 于两点 ，交 轴于 点，若 ， ，且F2 m C A,B y M MA=1AF2 MB=2BF2，求 与 .12=1 1 2【答案】 （1） （2）x210+y26=1 1=-3，2=-13，或 1=-13，2=-3【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义得到 2a 值，由题干得到 c=2,进而得到方程；（2）设出 A、B、M 点的坐
28、标 ，根据向量关系得到 A 点坐标 ， ，代入椭圆方程得到关于 的方程，同理得x1=211+1y1= y01+1 1到关于 的方程，进而抽出 、 是方程 的两个根，解出即可得到2 12 182+60+30-5y02=0与 .1 2【详解】 （1）因为点 P 在以 为焦点的椭圆 C 上，所（52，32） F1(-2,0),F2(2,0) :x2a2+y2b2=1(ab0)以 2a= (52-2)2+94+ (52+2)2+94=210所以 . a= 10又因为 c=2，所以 b= 6所以椭圆 C 的方程为 x210+y26=1（2）设 A、 B、 M 点的坐标分别为 A（ ， ） ， B（ ，
29、） ， M（0， ） x1 y1 x2 y2 y0 2， （ ， ）MA=1AF x1 y1-y0 =1 ( 2-x1 , -y1 ) ， x1=211+1 y1= y01+1将 A 点坐标代入到椭圆方程中，得 110 ( 211+1 )2+16( y01+1 )2=1去分母整理得 ： 1812+601+30-5y02=0同理，由 2可得：MB=2BF 1822+602+30-5y02=0 、 是方程 的两个根， 1 2 182+60+30-5y02=0 ，又1+2=-103 12=1二者联立解得 1=-3，2=-13，或 1=-13，2=-3或所以 又 ，所以12=30-5y0218 12=
30、1 5y02=12所以上述方程即为 32+10+3=0所以 1=-3，2=-13，或 1=-13，2=-3【点睛】这个题目考查了椭圆的方程的求法，还考查了向量在圆锥曲线中的应用，一般采用的是向量坐标化，得到点坐标间的关系，再通过题干列出相应的方程进行分析即可.22.已知函数 .f(x)=x3+(k1)x2+(k+5)x+d（1）若 ，求函数 的单调区间；k=1 f(x)（2）若函数 在区间 上不单调，求实数 的取值范围；f(x) (0,3) k（3）求证： 或 是函数 在 上有三个不同零点的必要不充分条件.k7 f(x) R【答案】 （1）函数 的单调递增区间为 ，没有单调递减区间. （2）
31、f(x) (,+) k(5,2)（3）见解析【解析】【分析】(1)将参数值 k 代入解析式，对函数求导，得到导函数大于 0，进而得到函数只有增区间没有减区间；（2）对函数求导， 在区间 上不单调所以 在 上有实数解，且无重f(x) (0,3) f(x)=0 (0,3)根，变量分离即方程 有解，通过换元得到新函数的单k=-(3x2-2x+5)2x+1 =-34(2x+1)+ 92x+1-103调性，对方程的根进行讨论即可;(3)证明： 或 则函数 在 上不能有三个不同k7 f(x) R零点，证明，函数有 3 个不同零点则 或 即可.k7【详解】 （1）若 k=-1，则 ，所以f(x)=x3-2x
32、2+4x+d f(x)=3x2-4x+4由于=16-480所以函数 的单调递增区间为 ，没有单调递减区间. f(x) (-,+)（2）因 f(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x+d，因 在区间 上不单调，f(x)=3x2+2(k-1)x+k+5 f(x) (0,3)所以 在 上有实数解，且无重根， f(x)=0 (0,3)由 得f(x)=0 k(2x+1)=-(3x2-2x+5),k=-(3x2-2x+5)2x+1 =-34(2x+1)+ 92x+1-103令 有 ，记 则 ，t=2x+1, t(1,7) h(t)=t+9t, h(t)=1-9t2所以在 上，h(t)单调递减，在 上,
33、h(t)单调递增，t(1,3 t3,7)所以有 ，于是得h(t)6,10) k(-5,-2而当 时有 在 上有两个相等的实根 ，故舍去k=-2 f(x)=0 (0,3) x=1所以 . k(-5,-2)（3）因为 f(x)=3x2+2(k-1)x+k+5所以，当= ，即 时4(k-1)2-12(k+5)=4(k2-5k-14)0 -2k7函数 在 R 上单调递增f(x)故 在 R 上不可能有三个不同零点f(x)所以，若 在 R 上有三个不同零点，则必有 ，f(x) 0即 是 在 R 上有三个不同零点的必要条件 . k7 f(x)而当 ， 时，满足d=0 k=3+27 k7但 f(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x=x(x+1+ 7)2即此时 只有两个不同零点f(x)同样，当 时，满足 ，k=3-27 k7但 f(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x=x(x+1- 7)2即此时 也只有两个不同零点f(x)故 k7 是 在 R 上有三个不同零点的必要不充分条件.f(x)【点睛】本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
