1、 1抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)_的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线抛物线的集合描述：设点 M(x，y)是抛物线上任意一点，点 M 到准线 l 的距离为 d，则抛物线就是点的集合 2抛物线的标准方程抛物线的四种标准方程与对应图形如下表所示：图形标准方程焦点坐标_准线方程_注：抛物线标准方程中参数 p 的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离，所以 p 的值永远大于 03抛物线 的简单几何性质（1 ）范围：因为 ，所以对于抛物线上的点 M(x，y )，有 x0，抛物线向右上方和右下方无限延伸（2 ）对称性：抛物线关于_
2、 对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 （3 ）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点（4 ）离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比由抛物线的定义可知，离心率 由此，我们可得抛物线具有如下特点：（1 ）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线、一条对称轴；（2 ）抛物线的离心率是确定的， ； （3 ）抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧，且顶点到它们的距离相等，均为 4四条抛物线的简单几何性质比较标准方程图 形范 围 对称性 关于 x 轴对称 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于 y 轴对称顶 点 _几何性质 离心率5抛物线的焦半径抛物线上任意一点 与抛物线焦点 F 的连线段，
3、叫做抛物线的焦半径根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程焦半径公式_6抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点 F 的直线与抛物线所成的相交弦焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设 AB 为焦点弦， ，则抛物线方程焦点弦公式其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于 A，B 两点的线段 AB，称为抛物线的通径对于抛物线 ，由 ， ，可得 ，故抛物线的通径长为 2pK 知识参考答案：1距离相等 2 3x 轴 4坐标原点(0，0) 5K重点 抛物线的定义、标准方程及简单几何性质K难点 抛物线标准方程的应
4、用（以抛物线的标准方程为载体，与其他知识综合）K易错忽略抛物线定义中的限制条件、对定义理解不透彻、忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况求抛物线的焦点坐标及准线方程（1 ）由一次项（是 x 还是 y）及其符号（是正还是负）确定抛物线的开口方向，可得焦点和准线的位置；（2）由一次项的系数确定 2p（大于零）的值，进而求得 ，结合（1 ）可得焦点坐标和准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1 ） ； （2） ；（3 ） ； （4） 【答案】见解析【名师点睛】已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，应先看抛物线方程是否是标准方程，若不是，需先化为标准方程抛物线定义的运用（1）抛物线中经常把点到焦
5、点的距离转化为点到准线的距离，或者把点到准线的距离转化为点到焦点的距离，然后根据平面几何的有关知识求解（2）有关抛物线上一点 P 到抛物线焦点 F 与到已知点 M（M 在抛物线内）的距离之和的最小值问题，只要点 P 到抛物线准线 l 的距离与到点 M 的距离之和最小即可由抛物线的图形可知，过点 M 作准线 l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点 F 与到已知点 M 的距离之和最小解题时注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短、点与直线上的点的连线中垂线段最短等（1）已知抛物线 上一点 M，其横坐标为 ，它到焦点 F 的距离为 10，则点 M 的坐标为_；（2 ）已知点 P 在抛物线 上，
6、点 ，F 是焦点，则 的最小值为_【答案】 （1） 或 ；（2 ）6（2 ）因为 ，所以点 A 在抛物线内部如图，过点 P，A 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 Q，B，则 ，易知当 A，P，Q 三点共线时， 最小，即易得点 A 到准线 l 的距离为 【名师点睛】对于（2） ，若点 A 在抛物线外部，连接 AF，则 AF 与抛物线的交点 P 可使最小求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程一般采用待定系数法：即先定位（即确定抛物线开口方向） ，再定量（即确定参数 p 的值） 若无法定位，则需分类讨论求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）经过点 ，且以坐标轴为对称轴；（2）焦点为直线 与坐标轴的
7、交点；（3 ）顶点在坐标原点，准线方程为 【答案】 （1） 或 ；（2 ） 或 ；（3） 【解析】 （1）因为点 在第三象限，所以可设抛物线的标准方程为 或若点 在 上，则 ，解得 ；若点 在 上，则 ，解得 故所求抛物线的标准方程为 或 （2 ）直线 与 x 轴的交点坐标为 ，与 y 轴的交点坐标为 当焦点坐标为 时， ，即 ，此时抛物线方程为 ；当焦点坐标为 时， ，即 ，此时抛物线方程为 故所求抛物线的标准方程为 或 （3 ）因为准线方程为 ，所以可设抛物线的标准方程为 ，且 ，故所求抛物线的标准方程为 【名师点睛】 （1）求抛物线的标准方程时， “定位”是关键，一般结合图形确定方程适合
8、哪种形式，避免漏解；（2）已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程；（3 ）若已知抛物线的焦点坐标或准线方程，则可设出抛物线的标准方程，求出 p 的值即可与抛物线有关的轨迹问题已知圆 C 的方程 ，求与 y 轴相切且与圆 C 外切的动圆圆心 P 的轨迹方程 【答案】 或 【名师点睛】抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以转化为利用抛物线的定义求解，利用抛物线的定义求解的关键是找到条件满足动点到定点的距离等于到定直线的距离，需要依据条件进行转化抛物线中过焦点的弦长问题（1）斜率为 的直线经过抛物线 的焦点，且与抛物线相交于A，B 两点，则 _；（2 ）过抛物线 的焦点 F 的直线交抛
9、物线于 A，B 两点，若 ，则 _【答案】 （1）10 ；（2） 【名师点睛】解决此类问题的关键是“设而不求”方法的应用解题时，设出直线与抛物线的两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解直线与抛物线的位置关系（1）若直线 与曲线 恰好有一个公共点，求实数 a 的值 ；（2 ）过点 Q(4，1)作抛物线 的弦 AB，该弦恰被 Q 平分，求直线 AB 的方程【答案】 （1） 或 或 ；（2 ） 【解析】 （1）因为直线 l 与曲线 C 恰好有一个公共点，所以方程组 只有一组实数解将代入消去 y，得 当 ，即 时，方程即 ，可得 ， ，符合题意当 时，由题意可得 ，解得
10、或 当 ，方程即 ，可得 ， ，符合题意；当 ，方程即 ，可得 ， ，符合题意综上，实数 或 或 方法 2：由题意可知，当 AB 垂直于 x 轴时，不符合题意，故直线 AB 的斜率存在设 ， ，则 ， ，且 ， ，得 ，即 ，即 ，故直线 AB 的斜率 ，故直线 AB 的方程为 ，即 【名师点睛】研究直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为 0若该方程为二次方程，则依据根的判别式或根与系数的关系求解同时应注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点与定值问题是高考的常考题型，运算量较
11、大，解题思维性较强解决这类问题一般有两种方法：（1）根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组（或不等式） ，消去参数，求出定值或定点坐标；（2）先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证已知动圆过定点 A(4，0) ，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8（1）求动圆圆心的轨迹 C 的方程；（2 ）已知点 B(1，0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴是PBQ 的角平分线，证明直线 l 过定点【答案】 （1） ；（2）证明见解析【解析】 （1）如图 1，设动圆圆心 O1(x，y) ，由题意，|O 1A|O 1M|，当 O1 不在
12、 y 轴上时，过 O1 作 O1HMN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点，所以又 ，所以 ，化简得 又当 O1 在 y 轴上时，O 1 与 O 重合，点 O1 的坐标(0，0)也满足方程 ，所以动圆圆心的轨迹 C 的方程为 图 1 图 2即(kx 1b )(x21)( kx2b)( x11)0，即 2kx1x2( bk )(x1x 2)2b0 ，将代入得 2kb2(kb)(8 2 bk)2k 2b0 ，即 k b，此时 0，所以直线 l 的方程为 yk (x1) ，即直线 l 过定点(1 ，0)忽略抛物线定义中的限制条件已知点 P 到 F(4，0)的距离与到直线 的距离相等，求点 P
13、 的轨迹方程【错解】由抛物线的定义，可知点 P 的轨迹是抛物线因为焦点在 x 轴上，开口向右，焦点到准线的距离 ，所以抛物线的方程为 【错因分析】点 P 到 F(4，0)的距离与到直线 的距离相等，满足抛物线的定义，但，故此抛物线的方程不是标准方程【正解】设点 P(x，y) ，则由题意，得 ，化简整理得 ，此即所求的轨迹方程【名师点睛】抛物线的标准方程是特殊的抛物线方程，对坐标轴的位置有严格的要求若从题意中无法判断方程是否为标准方程，可按求曲线方程的一般步骤求解对抛物线的定义理解不透彻若动点 P 到定点 F(1，1)的距离与它到直线 的距离相等，则动点 P 的轨迹是A椭圆 B双曲线C抛物线 D
14、直线【错解】因为动点 P 到定点 F 的距离与它到定直线 l 的距离相等，所以由抛物线的定义知动点 P 的轨迹是抛物线 故选 C【错因分析】错解的原因是没有掌握抛物线的定义，忽略了分析定点与定直线的位置关系：定点 F(1，1) 在定直线 上【名师点睛】抛物线的定义中要求定点在定直线之外，因此当动点 P 到定点 F 的距离与它到定直线 l 的距离相等时，不能盲目套用抛物线定义忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况求过定点 ，且与抛物线 只有一个公共点的直线 l 的方程【错解】当直线 l 的斜率不存在时，显然不满足题意当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ，由 消去 x，得 ，则 ，解得
15、 故所求直线 l 的方程为 或 【错因分析】错解中忽略了与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线有一个公共点，故产生漏解【正解】当直线 l 的斜率不存在时，显然不满足题意当直线 l 的斜率存在时，设 l： ，当 时，直线 l 的方程为 ，此时直线 l 与抛物线只有一个公共点当 时，与抛物线方程联立消去 x，得 ，则 ，解得 ，此时直线 l 的方程为 或 综上，直线 l 的方程为 或或 【名师点睛】直线 与抛物线 公共点的个数等价于方程组的解的个数 （1）若 ，则当 时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当 时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当 时，直线和抛物线相离，无公共点 （2）若 ，则直线 与抛
16、物线 相交，有一个公共点特别地，当直线 l 的斜率不存在时，设 ，则当 时，直线 l 与抛物线相交，有两个公共点；当 时，直线 l 与抛物线相切，有一个公共点；当 时，直线 l 与抛物线相离，无公共点1抛物线 的焦点坐标为A BC D2抛物线 的准线方程是A BC D3若抛物线的 的焦点坐标为 ，则 的值为A BC D4顶点在原点，经过圆 的圆心，且准线与 轴垂直的抛物线方程为A BC D5已知点 是抛物线 的焦点，点 在该抛物线上，且点 的横坐标是 ，则A BC D6顶点在原点，且过点 的抛物线的标准方程是A BC 或 D 或7 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，则的面积为
17、A BC D8如果 是抛物线 上的点，它们的横坐标依次为 ，F是抛物线 C 的焦点，若 ，则A BC D9抛物线 的准线与直线 的距离为 ，则此抛物线的方程为_10若 是抛物线 上一点，且在 轴上方， 是抛物线的焦点，直线 的倾斜角为 ，则 _11以抛物线 上的任意一点为圆心作圆与直线 相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是_12过点 P(0， 1)的直线 l 交抛物线 于 A，B 两点，点 Q 为线段 AB 的中点若点 Q的横坐标为 1，则点 Q 到抛物线焦点的距离为 _13某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽 米，车与箱共高
18、米，问此车能否通过此隧道？说明理由14已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的焦点为 （1 ）若过点 的直线 与抛物线 有且只有一个交点，求直线 的方程；（2 ）若直线 与抛物线 交于 ， 两点，求 的面积15抛物线 上一点 到焦点的距离是 ，则A 或 B 或C 或 D 或16已知抛物线 ，以 为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为A BC D17已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 两点，直线分别与抛物线交于点 ，设直线 的斜率分别为 ，则A BC D18以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点已知|AB|= ，|DE|= ，则 C 的
19、焦点到准线的距离为A2 B4C6 D819已知 是抛物线 上的一个动点，则点 到直线 和的距离之和的最小值是A BC D20已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，焦点在双曲线 上，则该抛物线的标准方程为_21抛物线 上一点 P 直线 的距离与到点 Q(2，2)的距离之差的最大值为_22已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一个交点，若 ，则 _23如图，过抛物线 的焦点 的直线 依次交抛物线及其准线于点，若 ，且 ，则抛物线的方程是_24已知抛物线 上有两点 （1 ）当抛物线的准线方程为 时，作正方形 使得边 所在的直线方程为 ，求正方形的边长；（2 ）抛物线上有一定
20、点 ，当 与 的斜率存在且倾斜角互补时，求证：直线 的斜率是非零常数25 （ 2018 新课标全国理）设抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为的直线与 交于 ， 两点，则A5 B6C 7 D826 （ 2017 新课标全国 II）过抛物线 的焦点 ，且斜率为 的直线交 于点（ 在 的轴上方） ， 为 的准线，点 在 上且 ，则 到直线 的距离为A BC D27 （ 2017 新课标全国 I 理）已知 F 为抛物线 C： 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l 2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB |+|DE|的最小值为A16 B14C
21、 12 D1028 （ 2018 北京）已知直线 过点 且垂直于 轴，若 被抛物线 截得的线段长为 ，则抛物线的焦点坐标为_29 （ 2017 新课标全国 II 理）已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点，的延长线交 轴于点 若 为 的中点，则 _30 （ 2018 新课标全国）已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为的直线与 交于 ， 两点若 ，则 _31 （ 2018 新课标全国理）设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为的直线 与 交于 ， 两点， （1 ）求 的方程；（2 ）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程32 （ 2018 浙江）如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物
22、线 C：y 2=4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上（1 ）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；（2 ）若 P 是半椭圆 x2+ =1(x0)上的动点，求PAB 面积的取值范围33 （ 2018 新课标全国）设抛物线 ，点 ， ，过点 的直线与 交于 ， 两点（1 ）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；（2 ）证明： 34 （ 2018 北京理）已知抛物线 经过点 过点 的直线 与抛物线 有两个不同的交点 ， ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 （1 ）求直线 的斜率的取值范围；（2 ）设 为原点， ， ，求证： 为定值35 （ 2017 北京理）
23、已知抛物线 C： 过点 P(1，1)过点(0， )作直线 l 与抛物线C 交于不同的两点 M，N ，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点（1 ）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2 ）求证：A 为线段 BM 的中点36 （ 2017 新课标全国 III 理）已知抛物线 C：y 2=2x，过点（ 2，0）的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆（1 ）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2 ）设圆 M 过点 ，求直线 l 与圆 M 的方程37 （ 2017 天津理）设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心
24、率为已知 是抛物线 的焦点， 到抛物线的准线 的距离为 （1 ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2 ）设 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于点 ） ，直线 与 轴相交于点 若 的面积为 ，求直线 的方程38 （ 2016 新课标全国 III 理）已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 ， 分别交 于 ， 两点，交 的准线于 ， 两点（1 ）若 在线段 上， 是 的中点，证明 ；（2 ）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程1 【 答案】C【解析】 可变形为 ，焦点为 故选 C2 【 答案】B【解析】将抛物线方程 变成标准方程为 ，所以其准线方程是 ，故选
25、B3 【 答案】A4 【 答案】B【解析】圆 的圆心坐标为 ，依题意抛物线方程可设为 ，把坐标代入得 故选 B5 【 答案】B【解析】由抛物线方程可知 ，由点 的横坐标是 得 ，即点， ，故选 B6 【 答案】C【解析】当焦点在 轴上时，设方程为 ，将 代入得 ， ；当焦点在 轴上时，设方程为 ，将 代入得， 故选 C7 【 答案】B【解析】设点 到准线 的距离为 ，由抛物线线定义得 ，故， ，则 ，故 的面积 故选 B8 【答案】A【解析】抛物线 的焦点为 ，准线为 ，根据抛物线的定义，到焦点 F 的距离等于 到准线的距离，即 ，所以故选 A9 【 答案】 或【解析】准线方程为 ， ， 或
26、，或 10 【 答案 】【解析】直线 的方程为 ，代入抛物线方程并整理得，解得 ，又因为 在 轴上方，所以点 的横坐标为 ，所以 11 【 答案 】【解析】 为抛物线的准线，根据抛物线的定义知，圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，故这些圆恒过定点 12 【答案】13 【答案】此车不能通过隧道【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， 设抛物线方程为 ，将 点的坐标代入得 ，所以抛物线方程为 因为车与箱共高 ，所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶 则可设抛物线上点 的坐标为 ， 的坐标为 ，则 ，解得 ，所以 ，故此时车不能通过隧道14 【 答案 】 （1） 或 或 ；（2 ） 15 【 答案
27、 】A【解析】易知抛物线的焦点为 ，由题可得 ，又 ，所以 或 ，故选 A16 【 答案 】B【解析】由题意可得直线的斜率一定存在，设斜率为 ，直线与抛物线的交点分别为， ，所以 ， ，所以，所以所求直线的方程为 故选 B17 【 答案 】B【解析】由题可得直线 的方程为 ，由 可得，设 ， ，则 ， 故直线 的方程为 ，由 可得，则 ，所以 ，同理可得 ，所以 ，所以 故选 B 18 【 答案 】B【解析】设抛物线方程为 ， 分别交 轴于点 ，则，即 点纵坐标为 ，点 横坐标为 ，即 ， ，由勾股定理知 ， ，即，解得 ，即 的焦点到准线的距离为 4，故选B19 【 答案 】D20 【 答案
28、 】 或【解析】由题意知抛物线的焦点为双曲线 的顶点，即为 或 ，因为抛物线关于 轴对称，所以可设抛物线的标准方程为 ，则，所以抛物线的标准方程为 或 21 【答案】【解析】设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义可得点 P 到直线 的距离，则当 P，Q，F 三点共线时，点 P 到直线 的距离与到点 Q(2，2)的距离之差取得最大值因为 F(1，0) ，Q(2 ，2)，所以最大值为22 【 答案 】23 【 答案 】【解析】如图，设 在准线上的射影分别为 ，准线与 轴的交点为 ，则，所以 ，所以 ，所以，所以 是 的中点，所以 ，故所求抛物线方程为 24 【 答案 】 （1） 或 ；（2 ）详见解
29、析【解析】 （1）由题意可设直线 的方程为 ，因为抛物线的准线方程为 ，所以 ，所以抛物线方程为 ，由 消去 可得 ，则 ， ，所以 ，AB 与 CD 的距离 ，由 ABCD 为正方形可得 ，解得或 ，所以正方形的边长为 或 （2 ）设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，由 ， ，相减得 ，故 同理可得 由 ， 的倾斜角互补知 ，即 ，所以设直线 的斜率为 ，由 ， ，相减得 ，所以 将 代入得 ，所以 是非零常数25 【 答案 】D26 【 答案 】C【解析】由题知 ，与抛物线 联立得 ，解得 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以所以 到直线 的距离为 故选 C27 【 答案 】A【解析】设 ，直线 的方程为 ，联立方程 ，得 ，同理直线 与抛物线的交点满足 ，由抛物线定义可知
