1、热点十一 圆锥曲线的“三定”与探索性问题纵观近几年高考圆锥曲线的综合问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力.其中直线与椭圆、抛物线的位置关系常常与 平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题.涉及求轨迹、与圆相结合、定点、定值、最值、参数范围、存在性问题等.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1.求轨迹方程求轨迹方程的基本方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等. （1）求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用
2、待定系数法求解;否则利用直接法或代入法 . 例 3【四川省绵阳市 2019 届高三 1 月诊断】己知椭圆 C： 的左右焦点分别为 F1，F 2，直线l：ykx+m 与椭圆 C 交于 A，B 两点O 为坐标原点（1）若直线 l 过点 F1，且AF 2十BF 2 ，求直线 l 的方程；(2)若以 AB 为直径的圆过点 O，点 P 是线段 AB 上的点，满足 OPAB，求点 P 的轨迹方程【答案】(1) 或 ；（2） ( )【解析】（1）由椭圆定义得| AB|+|AF2|+|BF2|=4a=8 ，则| AB|= 因为直线 l 过点 F1(-2,0)，所以 m=2k 即直线 l 的方程为 y=k(x+
3、2).设 A(x1， y1)， B(x2， y2).联立 整理得(1+2 k2)x2+8k2x+8k2-8=0 x1+x2= ， x1x2= 由弦长公式| AB|= ，代入整理得 ，解得 所以直线 l 的方程为 ，即 或 （2）设直线 l 方程 y=kx+m， A(x1， y1)， B(x2， y2)联立 整理得(2 k2+1)x2 +4kmx+2m2-8=0. x1+x2= ， x1x2= 以 AB 为直径的圆过原点 O，即 x1x2+ y1y2=0将 y1=kx1+m， y2= kx2+m 代入，整理得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0 将 x1+x2= ， x1x2= 代
4、入，整理得 3m2=8k2+8 点 P 是线段 AB 上的点，满足 ，设点 O 到直线 AB 的距离为 d， | OP|=d，于是| OP|2=d2= （定值） ， 点 P 的轨迹是以原点为圆心， 为半径的圆，且去掉圆与 x 轴的交点.故点 P 的轨迹方程为 ( )3.定值定点问题（1）求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数 (参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和
5、截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.（2）证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出 x,y 的方程组,以方程组的解为 坐标的点就是直 线所过的定点.例 4【河北省张家口市 2019 届高三上期末】已知点 是圆 ： 上一动点，线段 与圆 ：相交于点 .直线 经过 ，并且垂直于 轴， 在 上的射影点为 .（1）求点 的轨迹 的方程；（2）设圆 与 轴的左、右交点分别为 ， ，点 是曲线 上的点（点 与 ， 不重合） ，直线 ， 与直线 ： 分别相交于点 ， ，求证：以 直径的圆经过定点.【答案】
6、（1） （2）见证明（2）证明：设直线 ， 的斜率分别为 ， ，记 .则 ， .直线 的方程为 ，所以 .直线 的方程为 ，所以 .以 为直径的圆的方程为 .整理，得 .令 解得 或所以以 为直径的圆过定点 ， .例 5【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2019 届高三上期末】已知椭圆 经过点，长轴长是短轴长的 2 倍.（1）求椭圆 的方程；（2）设直线 经过点 且与椭圆 相交于 ， 两点（异于点 ） ，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明： 为定值.【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】（1）椭圆 经过点 ， .又 ， .椭圆 的标准方程为： .（2）若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，此时直线与椭圆相切，不符合题意.设直线 的方程为 ，即 . 联立 ，得 .设 ， ，则. 为定值，且定值为 1.例 6【福建省厦门市 2019 届高三上期末】在平面直角坐标系中，点 ， 是平面内一点，直线 的斜率之积为 .（1）求点 的轨迹方程； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件 .(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放 ,采取另外的途径.
