1、 1椭圆的定义平面内与两个定点 F1，F 2 的距离的和等于_( 大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的集合描述：设点 M 是椭圆上任意一点，点 F1，F 2 是椭圆的焦点，则由椭圆的定义，椭圆就是集合 P M| MF1| MF2|2a，0 |F 1F2|2a2椭圆的标准方程的推导过程如图，给定椭圆，它的焦点为 F1，F 2，焦距| F1F2|2 c(c0)，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于 2a(ac) （1 ）建系：以经过椭圆两焦点 F1，F 2 的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系 xO
2、y那么焦点 F1，F 2 的坐标分别为_，_（2 ）列式：设 M(x，y) 是椭圆上任意一点，由椭圆的定义得|MF 1|MF 2|2 a，即（3 ）化简：上式整理可得 令 ，可得(ab0)3椭圆的标准方程椭圆的标准方程有两种形式：（1 ）焦点落在 x 轴上的椭圆的标准方程为 (ab0)，焦点为 F1 (c，0) ，F2 (c，0)，焦距为_，且 _，如图 1 所示；（2 ）焦点落在 y 轴上的椭圆的标准方程为 (ab0)，焦点为 F1 (0，c)，F2 (0，c )，焦距为_，且 _，如图 2 所示图 1 图 2 图 3注：椭圆方程中，a 表示椭圆上的点到两焦点的距离的和的一半，可借助于图 3
3、 记忆正数 a，b，c 恰好构成一个直角三角形，其中 a 是斜边，所以 ab ，ac 且，其中 c 是焦距的一半对于图 2 中的椭圆，关系式 ab ，ac 且也始终成立4椭圆 (ab0)的简单几何性质（1 ）范围易知 ，故 ，即 ；同理 故椭圆位于直线 和 所围成的矩形框里（2 ）对称性在方程中，以 代替 或以 代替 或以 代替 、以 代替 ，方程都不改变，故椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点都对称原点为椭圆的对称中心，也称为椭圆的中心（3 ）顶点椭圆与 x 轴、y 轴分别有两个交点，这四个交点即为椭圆与它的对称轴的交点，叫做椭圆的顶点其中 x 轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴，y 轴上两个顶
4、点的连线段称为椭圆的短轴，长轴长为_，短轴长为_说明：依据椭圆的四个顶点，可以确定椭圆的具体位置（4 ）离心率椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的_离心率能够刻画椭圆的扁平程度椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关，e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆5椭圆 ， (ab0)的几何性质比较标准方程 (ab 0) (ab 0)图形范围 ， ，对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点左焦点 F1 (c，0) ，右焦点 F2 (c，0)下焦点 F1 (0， c)，上焦点 F2 (0，c)顶点轴线段 A1A2，B 1B2 分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长|A 1A2|2a，短轴
5、长| B1B2|2 b，长半轴长为 a，短半轴长为 b离心率eK 知识参考答案：1常数 2(c ，0) (c，0) 32 c b2c 2 2c b2c 2 42 a 2b 离心率K重点 椭圆的定义、标准方程及简单几何性质K难点 椭圆标准方程的应用（以椭圆的标准方程为载体，与其他知识综合）K易错 忽略椭圆定义中的限制条件、焦点的位置、椭圆的范围而致错对椭圆的两种标准方程的理解对于方程 ，表示焦点在 x 轴上的椭圆 且 ；表示焦点在 y 轴上的椭圆 且 ；表示椭圆 且 对于方程 ，（1 ）若该方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围为_；（2 ）若该方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，则
6、实数 m 的取值范围为_；（3 ）若该方程表示椭圆，则实数 m 的取值范围为_【答案】 （1）(2 ，10)；（2） (6，2)；（3）( 6，2)(2，10) 【解析】 （1）由题意可知 ，解得 ，故实数 m 的取值范围为(2，10)（3 ）由题意可知 ，解得 且 ，故实数 m 的取值范围为(6，2)(2， 10)【名师点睛】对于形如：Ax 2By 21(其中 A0，B0，AB)的椭圆的方程，其包含焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况，当 BA 时，表示焦点在 x 轴上的椭圆；当 BA 时，表示焦点在 y 轴上的椭圆椭圆的定义及其标准方程的应用椭圆的定义给出了一个结论：椭圆上的点 P 到两
7、焦点 F1，F 2 的距离的和为常数 2a，则已知椭圆上一点到一焦点的距离就可以利用|PF 1|PF 2|2a 求出该点到另一焦点的距离已知 F1，F 2 是椭圆 的两个焦点，点 P 在椭圆上（1）若点 P 到焦点 F1 的距离等于 1，则点 P 到焦点 F2 的距离为_；（2）过 F1 作直线与椭圆交于 A，B 两点，则 的周长为_；（3）若 ，则点 P 到焦点 F1 的距离为_【答案】 （1）3；（2 ）8；（3） （3 ）在 中，由余弦定理可得，即 ，由椭圆的定义可得 ，两式联立解得【名师点睛】在椭圆中，由三条线段 ， ， 围成的三角形称为椭圆的焦点三角形，涉及椭圆的焦点三角形的问题，可
8、结合椭圆的定义： 求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法同时应注意勾股定理、正弦定理、余弦定理等的灵活应用由椭圆方程研究简单几何性质描点法画椭圆的步骤：依据椭圆的范围变形方程，得到椭圆在第一象限内的图象对应的函数关系式；取点(x，y )，列表、描点；用平滑的曲线连接各点，即得到椭圆在第一象限内的图象；利用椭圆的对称性画出整个椭圆求椭圆 9x225y 2225 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆【答案】见解析【解析】将椭圆的方程化为标准形式得 ，得 a5 ，b3，则 因此，长轴 2a10，短轴长 2b6，离心率 焦点为 F1(4，0) 和 F
9、2(4，0)，顶点为 A1(5，0)，A 2(5， 0)，B 1(0，3) ，B 2(0，3) 将方程变形为 ，根据 可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(x ，y)，列表如下：x 0 1 2 3 4 5y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0先描点，再用光滑曲线顺次连接这些点，得到椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆，如上图所示【名师点睛】解决此类问题时，应先把椭圆方程化成标准形式，注意分清焦点的位置，这样便于写出 a，b 的值，再根据 c2a 2b 2 求出 c，进而求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质求椭圆的标准方程（1）定义法
10、求椭圆的标准方程的步骤：由焦点坐标确定方程形式；由椭圆的定义求出 a；由 求出 b （也可采用待定系数法进行求解，主要步骤可归纳为：先定型，再定量） （2）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的步骤(通常采用待定系数法) ：确定焦点位置；设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程) ；根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组) 求参数列方程 (组)时常用的关系式有 ， 等求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1 ）焦点分别为 ， ，且经过点 ；（2 ）经过点 ， ；（3 ）长轴长与短轴长的和为 18，焦距为 6；（4 ）经过点 ，且离心率 ；（5 ）经过点 ，且与椭圆 有相
11、同的焦点；（6 ）经过点 ，且与椭圆 有相同的离心率 【答案】 （1） ；（ 2） ；（3） 或 ；（4）或 ；（5） ；（6 ） 或 【解析】 （1）因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以可设它的标准方程为 方法 1：由椭圆的定义知 ，所以 又 ，所以 ，所以所求椭圆的标准方程为 （2 ） 方法 1：若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 由已知条件得 ，解得 ，所以所求椭圆的标准方程为 若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为 由已知条件得 ，解得 ，由于 ，与 矛盾，故舍去综上，所求椭圆的标准方程为 方法 2：设椭圆的一般方程为 将点 ， 代入一般方程，得 ，解得 ， ，所以所求椭圆的标准方程为
12、 （3 ）设椭圆的长轴长为 2a，短轴长为 2b，焦距为 2c，由题意可知 ，结合 可解得 a5 ，b4，c3因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为或 （5 ） 方法 1：求出焦点坐标，则可转化为（1）的形式，此处不再赘述方法 2：设所求椭圆的方程为 ，将点 M 的坐标代入可得，解得 舍去 故所求椭圆的标准方程为 （6 ） 方法 1：求出离心率，由 a，b，c 之间的关系及方程过点 N，列方程组即可求解，此处不再赘述方法 2：设所求椭圆的方程为 或 ，将点 N 的坐标代入可得 或 ，即 ， ，故所求椭圆的标准方程为 或 ，即 或 【名师点睛】 （1）若椭圆的焦点位置不确定，需要
13、分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 ，从而避免讨论（2 ）在椭圆的简单几何性质的应用中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆方程可能有两个（3 ）与椭圆 有相同焦点的椭圆方程可设为 且，与椭圆 有相同离心率的椭圆方程可设为，焦点在 x 轴上 或 ，焦点在 y 轴上 求椭圆的离心率离心率是椭圆的重要几何性质，也是高考命题的重点，求解方法一般有两种：易求 a，c，代入 求解；易求 b，c，由 求解；易求 a，b，由求解列出含 a，c 的齐次方程，列式时常用公式 代替式子中的 b，然后将等式两边同时除以 a 的 n 次方( 一般除以 a 或
14、a2)，从而利用 转化为含 e 的方程，解方程即可但应注意 （1）设 F1，F 2 是椭圆 E： 的左、右焦点，P 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则椭圆 E 的离心率为_；（2 ）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2 为椭圆 的四个顶点，F 为其右焦点，直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T，线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为_【答案】 （1） ；（2） 【解析】 （1）如图 2，设直线 交 x 轴于 D 点，因为 是底角为 的等腰三角形，则有 ，因为 ，所以 ， ，所以 ，即 ，即 ，即 ，所以椭圆 E
15、 的离心率 图 1 图 2【名师点睛】在解一元二次方程时得出的根一般有两个，此时要根据椭圆的离心率进行根的取舍，否则易产生增根与椭圆有关的轨迹问题求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；首先分析几何图形所揭示的几何关系，然后对比椭圆的定义，设出对应椭圆的标准方程，求出其中 a，b 的值，得到标准方程如图 1，在圆 C：(x 1) 2y 236 内有一点 A(1，0)，点 Q 为圆 C 上一点，线段 AQ 的垂直平分线与 C，Q 的连线交于点 M，求点 M 的轨迹方程图 1 图 2【答案】 【解析】如图 2，连接 MA由题
16、意知点 M 在线段 CQ 上，从而有|CQ| MQ|MC |又点 M 在 AQ 的垂直平分线上，则|MA| MQ|，故|MA|MC|CQ|6 又 A(1，0)，C(1，0)，故点 M 的轨迹是以(1 ，0) ，(1， 0)为焦点的椭圆，且 ，故 ， 故点 M 的轨迹方程为 直线与椭圆的位置关系（1 ）判断直线与椭圆的位置关系时，一般把二者方程联立得到方程组，判断方程组解的个数，方程组有几个解，直线与椭圆有几个公共点，方程组的解对应公共点的坐标由直线与椭圆的公共点个数求参数的取值范围时，联立二者方程消元化为一元方程，对于二次方程依据判别式与 0 的大小关系求解（2 ）求直线与椭圆的相交弦长时，可
17、以先求出两个公共点的坐标，代入两点间距离公式，也可以联立方程消元为二次方程，利用根与系数的关系得到已知直线 ，椭圆 C： 试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C： （1）有两个不重合的公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点【答案】 （1） ；（ 2） ；（3） （1 ）当 ，即 时，方程有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点（2 ）当 ，即 时，方程有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点（3 ）当 ，即 或 时，方程没有实数解，可知原方程组没有实数解，这时直线
18、l 与椭圆 C 没有公共点【名师点睛】联立方程组后，消去 x 还是消去 y 都可以，这是不影响最终计算结果的 如图，已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 C： 的下焦点，交椭圆 C于 A，B 两点，则弦 AB 的长等于_【答案】【名师点睛】解决直线与椭圆的交点问题常常利用设而不求和整体代入的方法，解题步骤为：（1 ）设直线与椭圆的交点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)；（2 ）联立直线与椭圆的方程，消元得到关于 x 或 y 的一元二次方程；（3 ）利用根与系数的关系设而不求；（4 ）利用题干中的条件转化为 x1x 2，x 1x2 或 y1y 2，y 1y2，进而求解忽略椭圆定义中的限制
19、条件从而导致错误（1）已知 F1，F 2 为两定点，|F 1F2|6，动点 M 满足| MF1|MF 2|6，则动点 M 的轨迹是A椭圆 B直线C圆 D线段（2 ）若方程 表示椭圆，则实数 k 的取值范围为_【错解】 （1）由椭圆的定义知点 M 的轨迹是椭圆，故选 A（2 ）由 ，可得 ，所以实数 k 的取值范围为(6，8) 【错因分析】 （1）中忽略了椭圆定义中 |F1F2|2a 这一隐含条件；（2）中忽略了椭圆标准方程中 ab 0 这一限制条件，当 ab0 时表示的是圆的方程【正解】 （1）虽然动点 M 到两个定点 F1，F 2 的距离为常数 6，但由于这个常数等于|F1F2|，故动点 M
20、 的轨迹是线段 F1F2，故选 D（2 ）由 ，可得 且 ，所以实数 k 的取值范围为(6，7)(7，8)【名师点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证解题的正确性忽略对椭圆焦点位置的讨论从而导致错误已知椭圆的标准方程为 ，并且焦距为 8，则实数 k 的值为_【错解 1】因为 2c8，所以 c4，由椭圆的标准方程知 a236 ，b 2k 2，a 2b 2c 2，所以 36k 24 2，即 k220 ，又 k0，故 【错解 2】因为 2c8，所以 c4，由椭圆的标准方程知 a2k 2，b 236 ，a 2b 2c 2，所以 k2364 2，即 k25
21、2 ，又 k0，故 【错因分析】当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭圆的焦点位置的讨论，从而导致错误【正解】因为 2c8，所以 c4 ，当焦点在 x 轴上时，由椭圆的标准方程知 a236 ，b 2k 2，a 2b 2c 2，所以 36k 24 2，即 k220 ，又 k0，故 ；当焦点在 y 轴上时，由椭圆的标准方程知 a2k 2，b 236 ，a 2b 2c 2，所以 k2364 2，即 k252 ，又 k0，故 综上， 或 【名师点睛】涉及椭圆方程的问题，如果没有指明椭圆焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情形，不能顺着思维定式，想当然地认为焦点在
22、 x 轴上或 y 轴上去求解忽略椭圆的范围从而导致错误设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 ，已知点到椭圆的最远距离为 ，求椭圆的标准方程【错解】由题意可设椭圆的标准方程为 ，则 ，故 ，即 设椭圆上的点 到点 P 的距离为 d，则 ，所以当 时， 取得最大值，从而 d 取得最大值，所以 ，解得 ， 故所求椭圆的标准方程为 【错因分析】错解中“当 时， 取得最大值”这一步的推理是错误的，没有考虑椭圆方程中 y 的取值范围，事实上，由于点 在椭圆上，所以 ，因此在求的最大值时，应分类讨论【正解】由题意可设椭圆的标准方程为 ，则 ，故 ，即 设椭圆上的点 到点 P 的距离为 d，则 ，
23、若 ，则当 时， 取得最大值，从而 d 取得最大值，于是 ，解得 ，与 矛盾，故 ，所以当 时， 取得最大值，从而 d 取得最大值， 所以 ，解得 ， 故所求椭圆的标准方程为 【名师点睛】准确把握椭圆定义中的限制条件，是正确解题的前提，在求解时，应做到步步有依据，这样才能避免出错1已知椭圆 ，焦点在 轴上，若焦距为 ，则 等于A BC D2椭圆 的一个焦点坐标是A BC D3已知椭圆 上的一点 到椭圆一个焦点的距离为 ，则点 到另一个焦点的距离为A BC D4若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则A BC D5已知 的顶点 、 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 边上，
24、则 的周长 是A BC D6离心率为 ，长轴长为 的椭圆的标准方程是A B 或C D 或7如果椭圆 上一点 到此椭圆一个焦点 的距离为 ， 是 的中点，是坐标原点，则 的长为A BC D8设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是 上的点， ，则 的离心率为A BC D9椭圆 上横坐标为 的点到右焦点的距离为 _10已知椭圆 ，则离心率 等于_ 11已知方程 表示椭圆，则实数 的取值范围为 _12若椭圆 的离心率 ，则实数 的值为 _13已知椭圆的中心在原点，焦点 ， 在 轴上，且过点 若 ，求椭圆的标准方程14已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的 ，求椭圆的离心率 15已知
25、椭圆 ， ，点 在椭圆 上，且 ，其中 为坐标原点，则点 的坐标为A BC D16已知 为椭圆 的左，右焦点，点 在 上， ，则等于A BC D17椭圆 的左，右焦点分别为 ，弦 过 ，若 的内切圆周长为 ， 两点的坐标分别为 ，则 值为A BC D18如果椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是A BC D19椭圆 的左焦点为 ， 为椭圆上的动点， 是圆 上的动点，则 的最大值是_20在平面直角坐标系 中，点 是椭圆 上的点，以 为圆心的圆与 轴相切于椭圆的焦点 ，圆 与 轴相交于 、 两点若 为锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是_21已知椭圆 的离心率 ，焦距是 （1 ）求椭圆的
26、方程；（2 ）若直线 与椭圆交于 、 两点， ，求 的值22已知椭圆 的离心率为 ，椭圆的左、右焦点分别是 、，点 为椭圆上的一个动点， 面积的最大值为 （1 ）求椭圆 的方程；（2 ） 为椭圆上一点， 与 轴相交于 ，且 若直线 与椭圆相交于另一点 ，求 的面积23 （ 2018 新课标全国）已知椭圆 的一个焦点为 ，则 的离心率为A BC D24 （ 2018 新课标全国）已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若，且 ，则 的离心率为A BC D25 （ 2017 新课标全国 III 理）已知椭圆 C： 的左、右顶点分别为A1，A 2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 相切，则
27、 C 的离心率为A BC D26 （ 2018 新课标全国理）已知 ， 是椭圆 的左，右焦点，是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形，则 的离心率为A BC D27 （ 2017 新课标全国 I）设 A，B 是椭圆 C： 长轴的两个端点，若 C 上存在点M 满足AMB =120，则 m 的取值范围是A BC D28 （ 2018 浙江）已知点 ，椭圆 上两点 ， 满足 ，则当 _时，点 B 横坐标的绝对值最大29 （ 2017 新课标全国 I 理）已知椭圆 C： ，四点 P1（1,1） ，P2（0,1） ，P 3（ 1， ） ，P 4（1， ）中恰有三点在椭圆 C 上（1
28、）求 C 的方程；（2 ）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点30 （ 2018 北京）已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 ， （1 ）求椭圆 的方程；（2 ）若 ，求 的最大值；（3 ）设 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 C，直线 与椭圆 的另一个交点为 若 ， 和点 共线，求 31 （ 2018 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 过点 ，焦点，圆 O 的直径为 （1 ）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2 ）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P若直线 l
29、 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于 两点若 的面积为 ，求直线 l 的方程32 （ 2018 天津理）设椭圆 (ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B已知椭圆的离心率为 ，点 A 的坐标为 ，且 （1 ）求椭圆的方程；（2 ）设直线 l： 与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点Q若 (O 为原点)，求 k 的值33 （ 2018 天津）设椭圆 的右顶点为 A，上顶点为 B已知椭圆的离心率为 ， （1 ）求椭圆的方程；（2 ）设直线 与椭圆交于 两点， 与直线 交于点 M，且点P，M 均在第四象限若 的面积是 面积的 2 倍，求 k 的值34 （ 2018 新课标全国理）设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 （1 ）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；（2 ）设 为坐标原点，证明：
