1、1双曲线的定义平面内与两个定点 F1，F 2 的距离的差的绝对值等于_(小于|F 1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距双曲线的集合描述：设点 M 是双曲线上任意一点，点 F1，F 2 是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合 PM| MF1| MF2|2a，0 2a| F1F2|2双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1 ）焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 (a0，b0)，焦点分别为 F1(c ，0)，F2(c，0)，焦距为 2c，且 _，如图 1 所示；（2 ）焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 (a0
2、，b0)，焦点分别为 F1(0，c )，F2(0，c)，焦距为 2c，且 _，如图 2 所示图 1 图 2注：双曲线方程中 a，b 的大小关系是不确定的，但必有 ca 0，cb0 3双曲线 (a0，b0)的简单几何性质（1 ）范围：易知 ，故 ，即 或 故双曲线在不等式 与 所表示的区域内（2 ）对称性：双曲线关于_ 、_和_ 都对称原点为双曲线的对称中心，也称为双曲线的中心（3 ）顶点：双曲线与 x 轴有两个交点，这两个交点即为双曲线与它的对称轴的交点，叫做双曲线的顶点两个顶点的连线段称为双曲线的实轴，长为 2a注：双曲线 (a0，b0) 与 y 轴没有交点，我们将两点(0，b)，(0，b)
3、 间的连线段称为双曲线的虚轴，长为 2b（4 ）渐近线：当双曲线的各支向外延伸时，与两条直线 逐渐接近，但永不相交，这两条直线称为双曲线的渐近线（5 ）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比称为双曲线的离心率注：离心率 e 反映双曲线开口的程度，e 越大，双曲线的开口越大；e 越小，双曲线的开口越小4双曲线 ， (a0 ，b 0)的几何性质比较标准方程 (a0，b0) (a0，b 0)图形 范围 ， ，对称性 对称轴： x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点 左焦点 F1(c，0) ，右焦点 F2(c，0) 下焦点 F1(0，c )，上焦点 F2(0，c)顶点 轴线段 A1A2 是双曲线的实轴，线段 B
4、1B2 是双曲线虚轴；实轴长| A1A2|2a ，虚轴长|B1B2|2 b渐近线 离心率 e 5等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线具有以下性质：（1 ）方程形式为 ；（2 ）渐近线方程为 ，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3 ）实轴长和虚轴长都等于 ，离心率 _K 知识参考答案：1常数 2 3x 轴 y 轴 原点 4 5K重点 双曲线的定义、标准方程及简单几何性质K难点 双曲线标准方程的应用（以双曲线的标准方程为载体，与其他知识综合）K易错易忽略双曲线定义中的限制条件及隐含条件、表示双曲线的条件、对焦点所在位置的讨论、直线与双曲线只有一个公共点的特殊情况
5、方程表示双曲线的条件表示焦点在 x 轴上的双曲线 表示焦点在 y 轴上的双曲线 对于方程 表示双曲线 对于方程 ，（1 ）若该方程表示焦点在 x 轴上的双曲线，则实数 m 的取值范围为_；（2 ）若该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，则实数 m 的取值范围为_；（3 ）若该方程表示双曲线，则实数 m 的取值范围为_【答案】 （1）(6 ，10)；（2）( ，10) ；（3 ）(6，10)(，10)（2 ） 由题意可知 ，解得 ，故实数 m 的取值范围为( ，10)（3 ） 由题意可知 ，解得 或 ，故实数 m 的取值范围为(6，10) ( ，10)【名师点睛】对于形如：Ax 2By 21(AB
6、0)的双曲线的方程，其包含焦点在 x 轴上和在 y轴上两种情况，当 B0 时，表示焦点在 x 轴上的双曲线；当 A0 时，表示焦点在 y 轴上的双曲线双曲线的定义及其标准方程的应用求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于 )如图，若 F1，F 2 是双曲线 的两个焦点（1 ）若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16，求点 M 到另一个焦点的距离； （2 ）若 P 是双曲线左支上的点，且| PF1|PF2|32，试求 的面积【答案】
7、（1）10 或 22；（2） 【解析】双曲线的标准方程为 ，故 ， ， （2 ）将 两边平方，得 ，所以 ，在 中，由余弦定理得 ，所以 ， 的面积 【名师点睛】在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件 的应用；其次是利用正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用由双曲线的标准方程研究简单几何性质求双曲线 的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图【答案】见解析【解析】将双曲线方程化成标准方程 ，可知半实轴长 ，半虚轴长 ，于是有 ，所以焦点坐标( ，0) ，离心率为 ，渐近线方程为 ，即 首先在坐
8、标系中画出渐近线 ，顶点( ，0)，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，比如取 ，算出 ，可知点(0.94，1)在双曲线上，将三点(0.94，1)，( ，0)，(0.94，1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如下图所示【名师点睛】已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准 a 和 b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等注意与椭圆的相关几何性质进行比较求双曲线的标准方程（1 ）一般情况下，求双曲线的标准方
9、程关键是确定 a，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得再结合 及 列关于a，b 的方程( 组 )，解方程(组)可得双曲线的标准方程（2 ） 已知双曲线的渐近线方程，而不知焦点所在的坐标轴时，双曲线的方程有两个，为避免分类讨论，可设双曲线方程为 因此，与双曲线 (a0，b0)有共同渐近线的双曲线方程为 ；与双曲线 (a0，b0)有共同渐近线的双曲线方程为 求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1 ）焦点分别为 ， ，且经过点 ；（2 ） ，且经过点 ；（3 ）经过点 ， ；（4 ）焦点在 x 轴上，虚轴长为 8，且离心率 ；（5 ）一条渐近线方程为
10、，且与椭圆 有相同的焦点；（6 ）经过点 ，且与双曲线 有共同的渐近线【答案】 （1） ；（2 ） ；（3） ；（4 ） ；（5 ） ；（6） （2 ）当焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为 (b0) ，又双曲线经过点 ，所以 ，则 ，不符合题意；当焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为 (b0)，又双曲线经过点 ，所以 ，解得 ，所以所求双曲线的标准方程为 （3 ）设所求双曲线的方程为 Ax2By 21(AB0)，由题意得 ，解得 ， ，所以所求双曲线的标准方程为 （5 ） 方法 1：椭圆方程可化为 ，焦点坐标为 ，故可设双曲线的方程为 ，其渐近线方程为 ，则 ，结合 ，解得 ， ，所以所求双曲线
11、的标准方程为 方法 2：由于双曲线的一条渐近线方程为 ，则另一条渐近线方程为 故可设双曲线的方程为 ，即 ，因为双曲线与椭圆 共焦点，所以 ，解得 ，所以所求双曲线的标准方程为 （6 ）由题意可设所求双曲线方程为 ，将点 的坐标代入，得 ，解得 ，所以所求双曲线的标准方程为 【名师点睛】 （1）若给出的条件是双曲线的渐近线、离心率，则需根据题意确定焦点所在的坐标轴，若不能确定，则双曲线的方程可能有两种形式，需分类讨论同时应注意渐近线的方程是 还是 （2 ）若已知两点坐标，利用 Ax2By 21(AB0)可避免讨论求双曲线的渐近线方程由双曲线的标准方程求渐近线方程，关键是求出 a，b 的值也可把
12、标准方程中的“1”用 “0”替换，得出两条直线方程，对于双曲线 (a0，b0)，令 可得渐近线方程，即 ；对于双曲线 (a0，b0)，令 可得渐近线方程，即 （ 1）双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为_；（2 ）已知双曲线与椭圆 有相同的焦点，且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为 4，则双曲线的渐近线方程为_【答案】 （1） ；（2 ） 【解析】 （1）双曲线 的渐近线方程为 ，由题意可得 ，即 ，即 ，即 ，即 ，故渐近线方程为 （2 ）椭圆 的焦点为(0 ，3)，(0，3)，由题意可设双曲线的方程为 ，由于双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为 4，将 代入椭圆方程可得双曲线与椭圆的一个交点为
13、( ，4)，因为点( ，4) 在双曲线上，所以 ，结合 ，解得 ， ，故双曲线的渐近线方程为 ，即 【名师点睛】应注意焦点在 x 轴上、焦点在 y 轴上的双曲线的渐近线方程的区别，避免混淆求双曲线的离心率或离心率的取值范围（1 ）求解双曲线的离心率一般有两种方法： 方法一 直接求出 a，c 的值，或由条件寻找 a，c 所满足的等式（或不等式） ，常用的公式变形为 ，其中 a0，b0方法二 依据条件列出含 a，c 的齐次方程，利用 转化为含 e 或 e2 的方程，解方程即可，注意依据 e1 对解进行取舍（2 ）求双曲线离心率的范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想方设法转化为关于 a， b，
14、c 的不等关系，结合 和 得到关于 e 的不等式，然后求解即可（ 1）已知点 (2，3)在双曲线 C： (a0，b0)上，若双曲线 C 的焦距为 4，则它的离心率_；（2 ）设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率 _；（3 ）已知双曲线 (a0 ，b 0)的左、右焦点分别为 F1(c ，0)，F 2(c，0) 若双曲线上存在点 P 使得 ，则该双曲线的离心率 的取值范围是_【答案】 （1）2；（2 ） ；（3） （2 ）当焦点在 x 轴上时，由题意可得 ，即 ；当焦点在 y 轴上时，由题意可得 ，即 又，故 ，两边同时除
15、以 ，得 ，解得 (负值舍去) （3 ） 在 中，由正弦定理可得 ，即 ，由 可得点 P 在双曲线的右支上又 ，则 ，即 ，因为点 P 不在 x 轴上，所以 ，即 ，即 ，结合 解得 【名师点睛】 （1）双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，应注意二者参数之间关系的转化；（2）在建立不等式求 e 时，经常用到如下结论：双曲线上一点到相应焦点的距离的最小值为 与双曲线有关的轨迹问题求解与双曲线有关的轨迹问题，常见的方法有两种：（1）列出等量关系，化简得到方程；（2）寻找几何关系，得到双曲线的定义，从而得出对应的轨迹方程如图，在 中，已知 ，且三内角 A，B，C 满足 ，以 AB 边所在
16、的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，求顶点 C 的轨迹方程【答案】 【解析】由题意可得 ， 因为 ，由正弦定理可得 ，故 ，由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支(除去与 x 轴的交点) 由题意，设所求轨迹方程为 ，因为 ， ，所以 ，故所求轨迹方程为 【名师点睛】求解与双曲线有关的轨迹问题时要特别注意：（1）双曲线的焦点所在的坐标轴；（2）检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支直线与双曲线的位置关系直线与双曲线有三种位置关系：（1 ）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线（2 ）有一个公共点，分两种情况：直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一
17、个顶点，且垂直于实轴；直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点（3 ）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点已知直线 与双曲线 当 k 为何值时，直线与双曲线：（1 ）有两个公共点；（2）有一个公共点；（3）没有公共点【答案】见解析【解析】由 消去 y 得 ，当 ，即 时，方程无解；当 时， ，当 ，即 时，方程有两解；当 ，即 或 时，方程无解；当 ，且 时，这样的 k 值不存在 综上所述， （1）当 时，直线与双曲线有两个公共点；（2 ）不存在使直线与双曲线有一个公共点的 k 值； （3 ）当 或 时，直线与双曲线没有公共点【名师点睛】研究直线与双曲线位置
18、关系的一般思路仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为 0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为 0，则进一步研究二次方程的根的判别式 ，得到直线与双曲线的交点个数 直线 与双曲线 相交于 A，B 两点（1 ）当 时，求线段 AB 的长；（2 ）若以 AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数 a 的值【答案】 （1） ；（2 ） 或 【解析】由 消去 y 得 设 ， ， 则 ， （2 ） 由题意知，OAOB，则 ，即 ，即 ，即 ，解得 所以当以 AB 为直径的圆经过坐标原点时，a
19、的值为 或 【名师点睛】对于直线与双曲线相交的问题，通常用设而不求和整体代入的方法求解，应重点掌握忽略双曲线定义中的限制条件导致错误已知 F1(5 ，0) ，F 2(5，0)，动点 P 满足| PF1| PF2|2a ，当 a 为 3 和 5 时，点 P 的轨迹分别为A双曲线和一条直线 B双曲线和一条射线C 双曲线的一支和一条直线 D双曲线的一支和一条射线【错解】依题意得 ，当 时， ，故点 P 的轨迹为双曲线；当 时， ，故点 P 的轨迹为一条射线故选 B【错因分析】错解中忽略了双曲线定义中的限制条件“差的绝对值” ，从而导致错误【正解】依题意得 ，当 时， ，且 ，点 P 的轨迹为双曲线的
20、右支；当 时， ，故点 P 的轨迹为一条射线故选 D【名师点睛】在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题当|MF 1| |MF2|2a|F 1F2|(a0) ，即| MF1|MF 2|2 a，02 a|F 1F2|时，点M 的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右( 上)支，取负号时为双曲线的左(下) 支；当|MF1|MF 2|2a|F 1F2|(a0) 时，点 M 的轨迹是以点 F1，F 2 为端点的两条射线；当|MF1|MF 2|2a|F 1F2|(a0) 时，点 M 的轨迹不存在忽略双曲线中的隐含条件导致错误已知 M 是双曲线 上一点，F 1，F 2 是双曲线的
21、左、右焦点，且 ，则 _【错解】由双曲线的定义可知， ，因为 ，所以 或 【错因分析】错解忽略了双曲线中的一个隐含条件，即双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于 ca，从而两解中要舍去不满足要求的那个【正解】由双曲线方程 可得 ， ， ，由双曲线的图形可得点 M 到右焦点 F2 的距离 因为 ， ，所以 (舍去)或 【名师点睛】在求解双曲线上的点到焦点的距离 d 时，一定要注意 这一隐含条件忽略方程表示双曲线的条件导致错误若方程 表示双曲线，则实数 m 的取值范围为_【错解】由 ，解得 故实数 m 的取值范围为 【错因分析】错解中只考虑了双曲线的焦点在 x 轴上的情况，忽略了焦点在 y 轴上的
22、情况【正解】由题可得 或 ，解得 或 故实数 m 的取值范围为 【名师点睛】在求解有关双曲线标准方程的问题时，一定要明确焦点所在的位置，若不能确定，则需要分类讨论或者使用一般方程忽略双曲线的焦点所在位置的讨论导致错误已知双曲线的渐近线方程是 ，焦距为 ，求双曲线的标准方程【错解】由题意知 ，且 ，两式联立解得 ， ，所以所求双曲线的标准方程为 【错因分析】错解的原因是未审清题目条件，而误认为焦点一定在 x 轴上，从而导致漏解【正解】当双曲线的焦点在 x 轴上时，由 且 ，两式联立解得 ， ，所以所求双曲线的标准方程为 ；当双曲线的焦点在 y 轴上时，由 且 ，两式联立解得 ， ，所以所求双曲线
23、的标准方程为 综上，所求双曲线的标准方程为 或 【名师点睛】当没有明确双曲线的焦点所在的坐标轴时，应分两种情况来讨论，同时注意两种情况下渐近线方程是不同的：焦点在 x 轴上，渐近线方程为 ；焦点在 y 轴上，渐近线方程为 忽略直线与双曲线只有一个公共点的特殊情况导致错误若过点 且斜率为 k 的直线 与双曲线 只有一个公共点，则 _【错解】由题意可得 ，代入双曲线方程得 由题意可知 ，解得 【错因分析】错解中忽略了直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点【正解】由题意可得 ，代入双曲线方程得 当 ，即 时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点 ；当 时，则 ，
24、解得 综上，当 或 时，直线与双曲线只有一个公共点【名师点睛】解决直线与双曲线的位置关系的题目时，要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元后得到的方程是否为一元一次方程，即二次项系数是否为 0，因为直线与双曲线有一个公共点包含直线与双曲线的渐近线平行的情况1双曲线 的焦点坐标是A BC D2双曲线 的渐近线方程是A BC D3已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为A BC D4若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且 ，则 等于A11 B9C 5 D35下列曲线中焦点坐标为 的是A BC D6设双曲线 的左，右焦点分别为 ，直线 与双曲线的其中一条渐近线交于点 ，则 的面
25、积是A BC D7双曲线 与椭圆 的离心率互为倒数，那么以 为边长的三角形一定是A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D等腰三角形8已知 是双曲线 的左、右焦点，点 在 上， 与 轴垂直， ，则 的离心率为A BC D29设 为常数，若点 是双曲线 的一个焦点，则 _10已知双曲线 ，点 ， 为其两个焦点，点 为双曲线上一点，若 ，则_11已知中心在原点，焦点在 轴上的双曲线的离心率 ，其焦点到渐近线的距离为 ，则此双曲线的方程为_12已知双曲线 的右焦点为 ，若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是_ 13已知双曲线 的离心率为 ，虚轴长为
26、（1 ）求双曲线的标准方程；（2 ）过点 ，倾斜角为 的直线 与双曲线 相交于 ， 两点， 为坐标原点，求 的面积14已知双曲线的顶点为椭圆 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于，则双曲线的方程是A BC D15已知双曲线 ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A、B、 C、D 四点，四边形的 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为A BC D16过双曲线 的左焦点 有一条弦 交左支于 、 点，若 ， 是双曲线的右焦点，则 的周长是A BC D17已知点 为双曲线 右支上一点， 分别为双曲线的左，右焦点，且 ， 为 的内心，若成立，则 的值
27、为A BC D18过双曲线 C： 的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于点 A若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A，O 两点( O 为坐标原点)，则双曲线 C 的方程为A BC D19若动圆 与圆 ： 外切，且与圆 ： 内切，则动圆圆心 的轨迹方程_20过原点的直线与双曲线 交于 两点， 是双曲线上异于 ， 的一点，若直线 与直线的斜率都存在且乘积为 ，则双曲线的离心率为_21已知点 分别是双曲线 的左，右焦点，过 且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点，若 是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是_22设 、 分别为双曲线 的左、右项点，双曲线的实轴长为 ，焦点
28、到渐近线的距离为（1 ）求双曲线的方程；（2 ）已知直线 与双曲线的右支交于 、 两点，且在双曲线的右支上存在点 使 ，求的值及点 的坐标23 （ 2018 浙江）双曲线 的焦点坐标是A( ， 0)，( ，0)B(2，0)，(2，0)C (0， )，(0， )D(0，2)，(0，2)24 （ 2017 天津）已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 若经过 和 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A BC D25 （ 2018 新课标全国）双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为A BC D26 （ 2018 新课标全国文）已知双曲线 的离心率为 ，则点 到 的渐近线的距离为A BC
29、D27 （ 2017 新课标全国 I 文）已知 F 是双曲线 C： 的右焦点， P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是 (1，3)，则APF 的面积为A BC D28 （ 2017 新课标全国 II）若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 2，则的离心率为A2 BC D29 （ 2018 新课标全国）已知双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直线与 的两条渐近线的交点分别为 ， 若 为直角三角形，则 A B3C D430 （ 2018 新课标全国）设 ， 是双曲线 的左、右焦点， 是坐标原点过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 若 ，则 的离心率为A
30、 BC D31 （ 2018 天津文）已知双曲线 的离心率为 ，过右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于， 两点设 ， 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为A BC D 32 （2017 新课标全国 III）已知双曲线 C： (a0 ，b 0)的一条渐近线方程为 ，且与椭圆 有公共焦点，则 C 的方程为A BC D33 （ 2018 北京文）若双曲线 的离心率为 ，则 _34 （ 2017 北京）若双曲线 的离心率为 ，则实数 m=_35 （ 2018 江苏）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为 ，则其离心率的值是_36 （ 2018 北京）已
31、知椭圆 ，双曲线 若双曲线 的两条渐近线与椭圆 的四个交点及椭圆 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 的离心率为 _；双曲线 的离心率为_37 （2017 江苏）在平面直角坐标系 中，双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别交于点， ，其焦点是 ，则四边形 的面积是_ 38 （ 2017 新课标全国 I）已知双曲线 C： （a0 ，b 0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点若 MAN=60，则 C 的离心率为_1 【 答案】A【解析】双曲线 可化为 ，所以 ， ，所以 ， ，故焦点坐标为 ，故选 A2 【 答案】B【解析】
32、由抛物线方程可知 ， ，所以 ， ，渐近线方程为 故选 B3 【 答案】A【解析】由题意可知 故选 A4 【 答案】B【解析】由双曲线定义得 ，即 ，解得 ，故选 B5 【 答案】A6 【 答案】A【解析】渐近线 与直线 的交点坐标为 ，双曲线的焦点 ，则 的面积为 ，故选 A7 【 答案】C【解析】因为双曲线 和椭圆 的离心率互为倒数，所以 ，所以 ，即 ，故以 为边长的三角形是直角三角形故选 C8 【 答案】A【解析】因为 垂直于 轴，所以 ，因为 ，即 ，化简得 ，故双曲线离心率 故选A9 【 答案】【解析】由点 是双曲线 的一个焦点及 可得， ，解得 10 【 答案 】11 【 答案
33、】【解析】由题意设双曲线的方程为 ，则离心率 ，所以 ，焦点 到渐近线 的距离为 ，所以 ，所以双曲线的方程为 12 【 答案 】【解析】因为过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，所以根据双曲线的几何性质可知，双曲线的渐近线的斜率 ，即 ，故此双曲线的离心率的取值范围是 13 【 答案 】 （1） ；（2） 【解析】 （1）依题意可得 ，解得 ，双曲线的标准方程为 14 【 答案 】D【解析】由题意设双曲线的方程为 ，离心率为 ，椭圆 长轴的端点是 ，所以 椭圆 的离心率为 ，双曲线的离心率 ， ，则双曲线的方程是 故选 D15 【 答案 】D【解析】根据对称性，不妨设 A
34、在第一象限， ，联立 及 ，解得 ， ， ，故双曲线的方程为 ，故选 D16 【 答案 】C【解析】由双曲线方程可知 ， ，根据双曲线的定义，得 ， ， ， ，相加可得， ， ，因此 的周长 ，故选 C17 【 答案 】C【解析】设 的内切圆半径为 ，由双曲线的定义得 ， ， 由题意得： ， ，又 ， ， ，故选 C18 【答案】A19 【 答案 】【解析】设动圆 的半径为 ，则由已知 ， ， 又 ， ， 根据双曲线的定义知，点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的右支 ， ， ，点 的轨迹方程是 20 【 答案 】【解析】由双曲线的对称性知，可设 ，则 ，由 ，得 ，即 ，即 又 均在双曲线上，
35、所以 ， ，所以 ，所以双曲线的离心率为 21 【 答案 】【解析】在双曲线方程 中，令 ，得 ，所以 两点的纵坐标分别为 ，又 为锐角三角形，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，即 ，解得 ，又 ，所以 ，故该双曲线的离心率的取值范围是 22 【 答案 】 （1） ；（2） （2 ）设 ，则 ，由 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 23 【 答案 】B【解析】设 的焦点坐标为 ，因为 ， ，所以焦点坐标为 ，故选 B24 【 答案 】B【解析】由题意得 ，故选 B25 【 答案 】A【解析】因为 ，所以 ，所以 ，因为渐近线方程为 ，所以渐近线方程为 ，故选 A26 【 答案 】D【解
36、析】 ， ，所以双曲线 的渐近线方程为 ，所以点 到渐近线的距离 ，故选 D27 【 答案 】D【解析】由 得 ，所以 ，将 代入 ，得 ，所以 ，又点 A 的坐标是(1 ，3)，故APF的面积为 ，故选 D28 【 答案 】A29 【 答案 】B【解析】由题可知双曲线 的渐近线的斜率为 ，且右焦点为 ，从而可得 ，所以直线的倾斜角为 或 ，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为 ，可以得出直线 的方程为，分别与两条渐近线 和 联立，求得 ， ，所以 ，故选 B30 【 答案 】C【解析】由题可知 ， ， ，在 中， ， 在 中， ， ，即 ， ，故选 C 31 【 答案 】A【解析】设双曲线的右焦
37、点坐标为 ，则 ，由 可得 ，不妨设 ， ，双曲线的一条渐近线方程为 ，据此可得 ， ，则 ，则 ， ，双曲线的离心率 ，据此可得 ，则双曲线的方程为 故选 A32 【答案 】B33 【 答案 】【解析】在双曲线中 ，且 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 34 【 答案 】2【解析】 ，所以 ，解得 35 【 答案 】【解析】因为双曲线的焦点 到渐近线 ，即 的距离为 ，所以 ，因此 ， ， 36 【 答案 】 【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得 ，所以椭圆 的离心率为 双曲线 的渐近线方程为 ，由题意得双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，所以 ，所以 ，所以 37 【答案 】38 【 答案 】【解析】如图所示，作 ，因为圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点，则 为双曲线的渐近线 上的点，且 ， ，而 ，所以 ，点 到直线 的距离 ，在 中， ，代入计算得 ，即 ，由 得 ，所以
