1、1,第5章 集合与查找,本章介绍第三种逻辑结构“集合”。 集合的实例： 一本词典中所有单词的集合； 图书馆内所有藏书的集合； 主要关注数据结构中 “集合”的实现方式以及相关操作（如：查找）等内容。,2,第5章 集合与查找,5.1 集合及其实现 5.2 具有Merge、Find的ADT集合 5.3 静态查找 5.4 哈希表 5.5 二叉查找树 5.6 平衡二叉查找树 5.7 B-树与B+树,3,第5章 集合与查找,5.1 集合及其实现 5.2 具有Merge、Find的ADT集合 5.3 静态查找 5.4 哈希表 5.5 二叉查找树 5.6 平衡二叉查找树 5.7 B-树与B+树,4,5.1 集
2、合及其实现,集合的基本概念 数学中的集合是无序集，并且要求集合中的成员互不相同。 “算法与数据结构”中的集合也要求其成员互不相同，且同一集合中所有成员具有相同的数据类型（如：整数、字符、字符串等），但成员间是有次序的。,name = “An”, “Cao”, “Liu”, “Ma”, “Peng”, “Wang”, “zhang” ,5,5.1 集合及其实现,集合的基本概念 集合的主要运算包括： 交 并 差 查找（指定元素是否在集合中）,6,集合的ADT描述 ADT Set Data: 同属于一种结构的一组记录s1, s2, sn, 集合的成员互不相同。OperationsConstructo
3、r /构造Process: 初始化当前集合为空集Union /并集运算Input: 集合AProcess: 求当前集合与集合A的并集BOutput: 集合B,5.1 集合及其实现,7,Intersection /交集运算Input: 集合AProcess: 求当前集合与集合A的交集BOutput: 集合BDifferent /差集运算Input: 集合AProcess: 求当前集合与集合A的差集BOutput: 集合BAssignment /赋值运算Input: 集合AProcess: 将集合A赋值给当前集合,5.1 集合及其实现,8,Equality /等价性比较Input: 集合AProc
4、ess: 当前集合与集合A进行等价性比较Output: 若等价，返回true，否则返回falseMember /成员运算Input: 元素xProcess: 判断x是否属于当前集合Output: 若x属于当前集合返回true，否则falseInsert /插入运算Input: 元素xProcess: 将元素x插入当前集合中,5.1 集合及其实现,9,Delete /删除运算Input: 元素xProcess: 将元素x从当前集合中删除 /Set,5.1 集合及其实现,10,5.1 集合及其实现,集合的存储表示 链式存储有序链表 顺序存储位向量,11,5.1 集合及其实现,集合的存储表示 有序链
5、表 位向量,12,用带头结点的有序链表表示集合,first,first,8,17,23,35,49,72,用有序链表来表示集合时，链表中的每个结点表示集合的一个成员。 各结点所表示的成员 e0, e1, , en 在链表中按升序(或降序)排列，即 e0 e1 en。 有序链表表示的集合可以随意增加成员，因此，有序链表能描述无穷集合的任意子集。,13,5.1 集合及其实现,集合的存储表示 有序链表 位向量,14,用位向量实现集合,设 0, 1, 2, , n 是一个整数全集合。当n 是不大的整数时，可用位(0, 1)向量来实现全集合及其子集。, 1, 2, 3, 8, 9, ,其子集合 S1:
6、1, 2, 3, 8, 9 可表示为：,例如：全集合 S: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10 可表示为：,15,当全集合不是由整数组成时，可建立非整数全集合成员与整数全集合成员 0, 1, 2, n的一一对应关系，并用位向量来表示该非整数全集合及其子集。,例如：非整数全集合 A, B, C, , X, Y, Z ，则可建立一个长度为26个单元的数组A ，规定数组的第i个单元Ai表示该集合的第i个成员，并且Ai取1表示第i个成员出现，取0表示不出现。, A, B, C, D, , , X, Y, Z ,用位向量实现集合,A =,16,当全集合不是由整数组成时，可建立非整
7、数全集合成员与整数全集合成员 0, 1, 2, n的一一对应关系，并用位向量来表示该非整数全集合及其子集。,例如：非整数全集合 A, B, C, , X, Y, Z ，则可建立一个长度为26个单元的数组A ，规定数组的第i个单元Ai表示该集合的第i个成员，并且Ai取1表示第i个成员出现，取0表示不出现。,用位向量实现集合,B C D I J,子集合S1: B, C, D, , I, J 对应的位向量为：,17,位向量实现的集合类定义如下：const int DefaultSize = 50; class BitSet int Maxsize; /集合的大小int *v; /存储集合元素的位向量
8、 public:BitSet ( int size = DefaultSize); /初始化为空集BitSet Union ( BitSet x); /并集运算BitSet Intersection ( BitSet x); /交集运算BitSet Different ( BitSet x); /差集运算,18,void Assignment ( BitSet x );/将集合x赋值给当前对象bool Equality ( BitSet x ); /等价性比较bool Member ( int x ); /判断元素x是否为成员void Insert ( int x ); /插入元素void D
9、elete ( int x ); /删除元素void Inset ( ); /输入集合void Outset ( ); /输出集合 ;,19,位向量定义的集合类中部分函数的实现：BitSet:BitSet (int size = DefaultSize) MaxSize = size; /集合的大小v = new intMaxSize;for (i=0; iMaxSize; i+)vi = 0; /初始化集合中的单元 /BitSet,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0 9,20,位向量定义的集合类中部分函数的实现：void BitSet:Assignment (BitSet x) /将
10、集合x赋值给当前对象for (i=0; iMaxSize; i+)vi = x.vi; /初始化集合中的单元 /Assignment,this,0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0,x,0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0, 1, 2, 3, 8, 9 , 1, 2, 3, 8, 9 ,21,位向量定义的集合类中部分函数的实现：bool BitSet:Member (int x) /判断x是否为当前集合的成员if (x=MaxSize)return false;if (vx=1)return true;elsereturn false; /Member,22,位向量定义的集合类中部
11、分函数的实现：bool BitSet:Equality (BitSeT x) /等价性比较bool retval = true;if (MaxSize != x.MaxSize)return false; /成员数目不等，返回falsefor (i=0; iMaxSize; i+)if (vi != x.vi) retval = false; /对应成员不同，返回falsebreak;return retval; /Equality,23,位向量定义的集合类中部分函数的实现：BitSet BitSet:Union (BitSeT x) /并集运算BitSet tmp(MaxSize);for
12、(i=0; iMaxSize; i+)tmp.vi = vi | x.vi; /“按位或”运算return tmp; /Union,this,x,this,0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0,0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0,0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0, 1, 2, 3, 8, 9 , 2, 5, 7, 9 , 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9 ,24,位向量定义的集合类中部分函数的实现：BitSet BitSet:Intersection (BitSeT x) /交集运算BitSet tmp(MaxSize);for (i=0; iMaxSize; i
13、+)tmp.vi = vi /Intersection,this,x,this,0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0,0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0,0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0, 1, 2, 3, 8, 9 , 2, 5, 7, 9 , 2, 9 ,25,位向量定义的集合类中部分函数的实现：BitSet BitSet:Different (BitSeT x) /差集运算BitSet tmp(MaxSize);for (i=0; iMaxSize; i+)tmp.vi = vi (vi /Different,this,x,this,0 1 1 1 0 0 0 0
14、 1 1 0,0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0,0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0, 1, 2, 3, 8, 9 , 2, 5, 7, 9 , 1, 3, 8 ,26,位向量定义的集合类中部分函数的实现：void BitSet:Insert (int x) /插入元素if (x=0 /Insert,this,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0 9,1,27,位向量定义的集合类中部分函数的实现：void BitSet:Delete (int x) /删除元素if (x=0 /Delete,this,0 9,0,0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0,28,第5章
15、 集合与查找,5.1 集合及其实现 5.2 具有Merge、Find的ADT集合 5.3 静态查找 5.4 哈希表 5.5 二叉查找树 5.6 平衡二叉查找树 5.7 B-树与B+树,29,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,在一些应用中，需要将一个集合划分成一组互不相交的子集。 例如： 将自然数集合按模n同余分组； 将某个班级的学生按性别分组。 一般过程如下： 初始时，每个元素构成一个集合； 然后，按一定规则（等价关系）将具有相同属性的集合合并（等价类）； 直至不能合并为止。,30,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,在一些应用中，需要将一个集合划分成一组互不相交的子集。
16、 这期间需要反复用到的操作是： （1）查找一个成员在哪个集合中； （2）将两个集合合并； 具有这两种集合操作的抽象数据类型被称为并查集（Merge & Find）。,31,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,MFSet集合的ADT描述 ADT MFSet Data: 由n个元素构成的集合s。Operations:ConstructorInput: x1, x2, , xnProcess: 用x1, x2, , xn生成集合sMergeInput: a和b是s的两个子集Process: 将a和b中的一个并入另一个,32,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,MFSet集合的AD
17、T描述FindInput: 元素eProcess: 确定e所属子集siOutput: 返回siOutProcess: 输出非空子集 /MFSet,33,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,MFSet集合的实现 典型方法：采用“双亲表示法”的树形结构来表示MFSet。 约定： 以森林F = (T1,T2, , Tn)表示MFSet的全集，森林的每一棵树Ti（i1, 2, , n）代表MFSet的一个子集Si。森林的每一棵树Ti（i1, 2, , n）都采用“双亲表示法”，树中每个结点表示子集Si中的一个成员。,34,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,MFSet集合的实现 典
18、型方法：采用“双亲表示法”的树形结构来表示MFSet。 例如：s1=0,6,7,8; s2=1,4,9; s3=2,3,5。,35,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,MFSet集合的实现 典型方法：采用“双亲表示法”的树形结构来表示MFSet。 好处： Merge操作很容易实现：将一棵树的根指向另一棵树即可。,S1,S2,S1S2,36,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,MFSet集合的实现 典型方法：采用“双亲表示法”的树形结构来表示MFSet。 好处： Find操作也很容易实现：顺着结点的parent域找到树的根结点即可查找到该结点所属子集。,37,5.2 具有Me
19、rge、Find的ADT集合,MFSet集合采用双亲表示法的实现 class MFSet /并查集类的定义int n; /集合中成员个数int *parent; /下标对应成员，值为双亲，根的双亲置为-1public:MFSet( int m );void Merge( int a, int b ); /a和b为两个子集的根int Find( int e ); /查找成员e所属子集，返回根的下标void Out( ); /输出并查集 ; /MFSet,38,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,MFSet集合采用双亲表示法的实现 MFSet:MFSet( int m ) /初始化函数，
20、每个成员单独构成一个集合n = m;parent = new intn;for(i=0; in; i+)parenti = -1; /初始时，每个成员都是一棵树 /MFSet,39,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,MFSet集合采用双亲表示法的实现 void MFSet:Merge( int a, int b ) /a, b为两个子集的根parentb = a; /集合的“并”操作，b并入a /Merge,40,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,MFSet集合采用双亲表示法的实现 int MFSet:Find( int e) /集合的“查找”操作if (e=n)ret
21、urn -1;while(parente!=-1)e = parente;return e; /Find,41,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,假设n个成员的全集合，Merge和Find的性能分析： 执行Merge操作的时间是O(1)。 执行Find(e)操作的时间与Merge的策略有关： 最好情况：O(1) 最坏情况：O(e),42,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,假设最初n个元素构成n棵树组成的森林，依次执行Merge(n-2, n-1)，Merge(1, 2)，Merge(0, 1)，将产生如下图所示的树：,执行一次Merge操作所需时间是O(1)，n-1次M
22、erge操作所需时间是O(n)。 若再执行Find(0)，Find(1)，Find(n-1)，若被搜索的元素为i，完成Find(i)操作需要时间为O(i)，完成n次搜索需要的总时间将达到：,43,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,改进：(目标：降低树的高度) 在Merge算法中，采用带权归并技术。 基本思想：将树中的结点数作为树的权值，在合并两个树的过程中，将权值小的树根指向权值大的树根。 为此，需要修改存储结构：令根结点parent域保存树中所含结点数目的负值。 在Find算法中，采用路径压缩技术。 基本思想：缩短从结点e到根的路径长度。 将结点e到根的路径上的所有结点都指向根结
23、点，从而实现路径压缩。,44,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,Merge改进算法 void MFSet:Merge( int a, int b ) /a, b为两个子集的根if (-parenta-parentb) /a小，a并入bparentb += parenta;parenta = b;else /b小，b并入aparenta += parentb;parentb = a; /Merge,45,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,Merge改进算法,46,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,Find改进算法 int MFSet:Find( int e)
24、/通过压缩路径改进Find算法/确定e所在子集，并将从e至根路径上所有结点都变成根的孩子结点。if (e=n)return -1;j=e;while(parentj=0) / 找元素j的根j=parentj;for( ; e!=j; e=temp ) /j是e的双亲 temp=parente; parente=j; return j; /返回e的双亲 /Find,47,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,Find改进算法,48,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,假设n个成员的全集合，改进Merge和Find的性能分析： 执行改进Merge操作的时间比原来略有增加，但时间复
25、杂度仍为O(1)。 结论：从单个成员出发，执行n-1次改进Merge操作，构建含n个结点的树t，该树的最大高度为log2(n)+1。,49,5.2 具有Merge、Find的ADT集合,假设n个成员的全集合，改进Merge和Find的性能分析： 执行改进Find(e)操作，其搜索时间的上限不超过树的高度。 最好情况：O(1) 最坏情况：O(log2(n),50,第5章 集合与查找,5.1 集合及其实现 5.2 具有Merge、Find的ADT集合 5.3 静态查找 5.4 哈希表 5.5 二叉查找树 5.6 平衡二叉查找树 5.7 B-树与B+树,51,若表中存在特定元素，称查找成功，应输出该
26、元素。 否则，称查找不成功（也应输出失败标志）。,查找表 查 找 查找成功 查找不成功 静态查找 动态查找 关键字 主关键字 次关键字,由同一类型的数据元素（或记录）构成的集合。,查询 (Searching) 特定元素是否在表中。,只查找，不改变集合内的数据元素。 既查找，又改变（增、减）集合内的数据元素。 元素中某个数据项的值，可用来识别一个元素。可以唯一标识一个元素的关键字。,例如“学号”,例如“姓名”,识别若干元素的关键字。,第5章 集合与查找,52,第5章 集合与查找,查找的过程是怎样进行的？ 给定一个值K，在含有n个元素的查找表中寻找一个关键字值等于K的元素，如找到则输出该元素或者该
27、元素在表中的位置，否则输出查找不成功的信息。,对查找表常用的操作有哪些？ 查询某个“特定”数据元素是否在表中； 在查找表中插入一个元素； 在查找表中删除一个元素；,静态查找,53,第5章 集合与查找,如何评估查找算法的优劣？,查找的过程就是将给定的K值与查找表中各元素的关键字进行比较的过程。 常用比较次数的平均值来评估查找算法的优劣平均查找长度(Average Search Length, ASL)。,54,显然，ASL值越小，时间效率越高。,设查找第i个元素的概率为pi ，查找到第i个元素所需比较次数为ci，则查找成功的平均查找长度：,第5章 集合与查找,55,“查找”所关注的焦点问题：,1
28、. 如何组织松散的结构，以便提高查找效率； 顺序表、链表； 哈希表； 二叉查找树； 2. 如何对查找表进行操作，并分析操作效率。,第5章 集合与查找,56,第5章 集合与查找,5.1 集合及其实现 5.2 具有Merge、Find的ADT集合 5.3 静态查找 5.4 哈希表 5.5 二叉查找树 5.6 平衡二叉查找树 5.7 B-树与B+树,57,5.3 静态查找,静态查找：只对查找表进行查找操作，而不进行插入或者删除操作。 主要方法包括： 顺序查找 二分查找（折半查找） 索引顺序查找,58,顺序查找 (Sequential Search),所谓顺序查找，又称线性查找，主要用于在线性结构（如
29、：线性表）中进行查找。 顺序查找是从查找表的表尾（或表头）开始，顺序用各对象的关键码与给定值x进行比较，直到找到与其值相等的对象，则查找成功，给出该对象在表中的位置。 若整个查找表都已检测完仍未找到关键码与x相等的对象，则查找失败，给出失败信息。,59,顺序查找 (Sequential Search),60,顺序查找的平均查找长度,设查找第 i 个元素的概率为pi，查找到第 i 个元素所需比较次数为ci, 则查找成功的平均查找长度:,在顺序查找中，查找到第 i 个元素的比较次数ci = n-i, i = 0, 1, , n-1，因此，,61,在等概率情况下，pi = 1/n, i = 1, 2
30、, , n：,查找不成功的平均查找长度，ASLunsuccess = n,顺序查找的优、缺点：优点：对查找表中的元素无特殊要求（无需排序），采用顺序或者链式存储均可；缺点: 平均查找长度较大。,顺序查找的平均查找长度,62,查找思想：先确定待查找记录所在的范围，然后逐步缩小范围，直到找到或找不到该记录为止。 前提条件：必须在具有顺序存储结构的有序（递增或者递减）线性表中进行。,二分查找,63,二分查找,设n个对象存放在一个有序顺序表中，并按其关键码递增（或递减）排序。 二分查找时，先求位于查找区间正中对象的下标mid，用其关键码与给定值x比较：Elementmid.key = x，查找成功；E
31、lementmid.key x，把查找区间缩小到表的前半部分，继续二分查找；Elementmid.key x，把查找区间缩小到表的后半部分，继续二分查找。 如果查找区间已缩小到一个对象，且仍未找到想要的查找对象，则查找失败。,64,-1 0 1 3 4 6 8 10 12,6,0 1 2 3 4 5 6 7 8,搜索,low,mid,high,6,65,-1 0 1 3 4 6 8 10 12,5,0 1 2 3 4 5 6 7 8,搜索,low,mid,high,5,66,int BinarySearch ( const DataType x ) /二分查找算法int high = MaxS
32、ize-1, low = 0, mid; while ( low x )high = mid - 1; /左缩查找区间else return mid; /查找成功return -1; /查找失败 ,67,二分查找算法分析： orderT : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,2 4 6 8 10 13 15 18 20 22 24 25 27 30,15,6,2,4,10,8,13,24,20,27,18,22,25,30,二分查找的判定树：比较次数不超过完全二叉树高度。,68,最坏情况下的查找长度是： 二分查找成功的平均查找长度：设查找任一元素的概率都相等，即：
33、pi=1/n在第k层上最多有2k-1 个结点，在第k层上的结点需比较k次。,69,可以用归纳法证明：,这样，,70,二分查找的优点、缺点： 优点：平均查找长度与最大查找长度近似（都不超过完全二叉树的高度），检索速度较快。 缺点：只适合顺序存储、需要排序。,二分查找,71,1. 概念：是顺序查找的一种改进。 索引项：(key, addr), 其中：key是关键字，addr是地址。 索引表：由索引项构成的顺序表。,如何查找关键字为60的元素?,索引顺序查找(分块查找),72,2. 分块查找的算法思想： D=d1,d2,.,dn 1) 将数据集分为s个块B1, B2, , Bs； 2) 块间有序：当
34、ij时，Bi中的任一元素小于Bj中的任 一元素； 3) 为每个Bi块设一索引项(keyi, addri)； 4) s个索引项构成索引表； 5) 块内可有序，也可无序;,索引顺序查找(分块查找),73,3. 查找过程： （1）首先在索引表中查找，确定在哪个块中。可以是二分查找，也可以是顺序查找。 （2）在块中顺序查找。,索引顺序查找(分块查找),74,4. 算法分析： 设在索引表中和块内都是顺序查找。(s是索引项的数目) 索引表中查找：ASLindex=(s+1)/2 块内查找：ASLblock=(n/s+1)/2 所以：ASLbs= (s+1)/2 + (n/s+1)/2 显然它与s 的取值有
35、关。 当 时，ASL有最小值 。,例如：当n=28，s=24时，ASLbs=17。,索引顺序查找(分块查找),75,索引顺序查找优点、缺点： 优点：块内无需排序，且顺序存储或者链式存储均可。 缺点：增加一个辅助数组的存储空间，并且该数组须按分块排序。,索引顺序查找(分块查找),76,顺序查找、二分查找、索引顺序查找性能分析： 当n=10,000时： 顺序查找的比较次数：5,000（(n+1)/2） 二分查找的比较次数：14（log2n） 索引顺序的比较次数：100（s=100）,5.3 静态查找,77,第5章 集合与查找,5.1 集合及其实现 5.2 具有Merge、Find的ADT集合 5.
36、3 静态查找 5.4 哈希表 5.5 二叉查找树 5.6 平衡二叉查找树 5.7 B-树与B+树,78,前面介绍的静态查找算法（如：顺序查找、二分查找、索引顺序查找等），查找表中数据元素的存储位置与其关键字之间不存在直接对应关系，因此在查找表中查找某个关键字时，需要经过一系列“比较”操作，而且查找的效率依赖于查找过程中的比较次数。,哈希表 (Hashing),79,想法：能否不经过“比较”，直接就能找到具有相应关键字的数据元素？ 需要在数据元素的“存储位置”与其“关键字”之间建立一个一一对应的关系。,哈希表 (Hashing),80,例如：为每年招收的1000名新生建立一个查找表，其关键字为x
37、x000 xx999（前两位为年份）。 可采用下标为0 999的顺序表来描述该查找表。 由于关键字的后三位和数据元素在查找表中的序号相同，因此，不经过“比较”即可确定待查关键字的存储位置。,哈希表 (Hashing),81,哈希表(Hashing)，又称散列表。哈希表的基本思想：以查找表中的每个数据元素的关键字k为自变量，通过一种函数H(k)计算出相应函数值，该值作为数据元素在查找表中的存储位置。 函数H称为哈希函数或散列函数。 按这种方法建立的查找表称为哈希表或散列表。,哈希表 (Hashing),82,哈希表的相关内容： 哈希函数：用于构建哈希表以及查找。什么样的函数可作为哈希函数？ 处理
38、冲突：当多个数据元素的通过哈希函数得到的存储位置相同时（发生冲突），需要处理冲突。处理冲突的方法有哪些？,哈希表 (Hashing),83,哈希表的相关内容： 哈希函数 处理冲突的方法 哈希表的查找及性能分析,哈希表 (Hashing),84,哈希表的相关内容： 哈希函数 处理冲突的方法 哈希表的查找及性能分析,哈希表 (Hashing),85,哈希函数的设计原则： 使计算出的存储地址，尽可能均匀地分布在整个地址空间中，即：应尽可能减少冲突的发生。 为了提高关键字到存储地址的转换（计算）速度，哈希函数应该越简单越好。 根据上述原则，下面介绍六种常用的哈希函数构造方法。,哈希函数,86,直接地址
39、法 此类函数取关键字的某个线性函数值作为哈希地址：Hash ( key ) a * key + b 其中：a，b为常数。,哈希函数,87,例：有如下一组关键字 942148, 941269, 940527, 941630, 941805, 941558, 942047, 940001 。 哈希函数为：Hash (key) = key - 940000 Hash (942148) = 2148 Hash (941269) = 1269 Hash (940527) = 527 Hash (941630) = 1630 Hash (941805) = 1805 Hash (941558) = 155
40、8 Hash (942047) = 2047 Hash (940001) = 1 假设地址空间能容纳上述计算出来的哈希地址。,哈希函数,88,直接地址法 优点：这种哈希函数是一对一的映射，一般不会产生冲突。 缺点：它要求哈希地址空间的大小与关键字集合的大小相同，而通常无法事先知道关键字的范围。,哈希函数,89,折叠法 将关键字从左至右分成位数相等的几部分，除了最后一部分的位数可以短一些之外，其他每部分的位数应与哈希表中地址的位数相同。 这些部分的叠加和（舍去无效的高位），就是该关键字的哈希地址。,哈希函数,90,例：设给定的关键字key = 23938587841，若存储地址限定3位，则划分结
41、果为每段3位。 上述关键字从左至右可划分为以下4段：239 385 878 41,哈希函数,哈希地址：543,91,折叠法的适用情况：当关键字的位数很多，而且在关键字中每一位上的数字分布大致均匀时，可用这种方法得到哈希地址。,哈希函数,92,数字分析法 设有n个d位数，每一位可能有 r 种不同的符号，且这 r 种不同符号在各位上出现的频率（概率）不一定相同。 根据哈希表的大小，选取其中各种符号分布均匀的若干位作为哈希地址。,哈希函数,93,数字分析法 计算各位数字中符号分布均匀度 k的公式：其中： 表示第 i 个符号在第 k 位上出现的次数，n/r 表示各种符号在 n 个数中均匀出现的期望值。
42、 说明： k 的值越小，表明在该位 (第k 位) 各种符号分布越均匀。,哈希函数,94,假设哈希表地址范围有3位数字，取各关键字的第、位作为数据元素的哈希地址。,哈希函数,95,缺点：哈希函数依赖于关键字集合，需要事先知道可能出现的关键字。,哈希函数,96,基数转换法 将关键字看成另一个进制上的数，然后将它转换成原来进制的数，再用数字分析法取其中的几位作为地址。 例如：key236075(236075)132135313461337135(841547)10按数字分析，选2、3、4、5位作为地址，则h(236075)=4154。,哈希函数,97,平方取中法 基本思想：取关键字平方后的中间几位作
43、为哈希地址（超出范围时，可再取模）。 例：设有一组关键字ABC，BCD，CDE，DEF，每个字母有其对应的机内码。假定存储空间的地址大小为1000，编号为0999。,哈希函数,98,平方取中法 可取关键字机内码平方后的中间三位作为存储地址（哈希地址）。,哈希函数,99,除留余数法（除余法） 设哈希表中允许的地址个数为m，取一个不大于m的素数p作为除数，利用以下函数将关键字转换成哈希地址：hash ( key ) = key % p (p m),哈希函数,100,除留余数法（除余法） 例：有一个关键字key = 962148，哈希表大小 m = 25，取质数 p= 23，哈希函数为 hash (
44、 key ) = key % p，则该关键字的哈希地址为：hash ( 962148 ) = 962148 % 23 = 12。 说明：使用上面的哈希函数计算出来的地址范围是022，因此，地址23和24不可能用哈希函数计算出来，只有在处理冲突时才能使用这些地址。,哈希函数,101,小结： 以上介绍了几种常用的构造哈希函数的方法，在实际中，应根据关键字的特点，选用适当的方法。 除留余数法是最常用的构造哈希函数的方法。 有人用统计分析方法对这几种哈希函数进行了模拟分析，结论是平方取中法最接近于“随机化”。,哈希函数,102,哈希表的相关内容： 哈希函数 处理冲突的方法 哈希表的查找及性能分析,哈希
45、表 (Hashing),103,冲突：假设哈希表的地址范围为0m-l，当对给定的关键字k，由哈希函数H(k)计算出的哈希地址为i(0im-1)，如果该位置上已存有记录，则称这种现象为“冲突”。 处理冲突：就是为发生冲突的关键字找到另一个“空”的哈希地址，即：通过一个新的哈希函数得到一个新的哈希地址，如果仍然发生冲突，则再求下一个，直至新的哈希地址不再发生冲突为止。,处理冲突的方法,104,常用的处理冲突的两种方法： 闭哈希法（开放地址法） 不开辟新空间，也不改变哈希表的大小，寻找的新地址就在原哈希表的地址范围内。 开哈希法（单链法） 另外开辟新空间，但不改变哈希表的大小，发生冲突的记录存放到另
46、外开辟的空间中。,处理冲突的方法,105,闭哈希法,基本思想：当冲突发生时，形成一个地址序列，沿着这个序列逐个探测，直到找出一个“空”的地址，将发生冲突的关键字存放到该地址。 常用的探测方法： 线性探测法 随机探测法 二次探测法 再哈希法,106,（1）线性探测法 从发生冲突的地址（设为d）开始，依次探测地址d+l，d+2，m-1（当达到表尾m-1时，又从0开始探查），直到找到一个“空地址”来存放发生冲突的关键字。 若整个哈希表都找遍仍无空地址，则产生溢出。,闭哈希法线性探测法,107,（1）线性探测法 线性探测法的递推公式为：d0 = H(key)di = (di-1+1) % m (1im-1),闭哈希法线性探测法,108,例: 关键字集合 19, 01, 23, 14, 55, 68, 11, 82, 36 ,设定哈希函数 H(key) = key % 11 ( 表长=11 ),采用线性探测法来处理冲突。,19,
