1、- 1 -第五章 特殊平行四边形难题综合训练1、正方形 ABCD，正方形 BEFG 和正方形 RKPF 的位置如图所示，点 G 在线段 DK 上，且 G 为 BC 的三等分点，R 为 EF 中点，正方形 BEFG 的边长为 4，则DEK 的面积为（ ）A10 B12 C14 D162、如图，在正方形 ABCD 内有一折线段，其中 AEEF，EFFC，并且 AE=6，EF=8，FC=10，则正方形的边长为 . 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题 3、如图，平面内 4 条直线 l1、l 2、l 3、l 4 是一组平行线，相邻 2 条平行线的距离都是 1 个单位长度，正方形 ABCD的
2、4 个顶点 A、B、C、D 都在这些平行线上，其中点 A、C 分别在直线 l1、l 4 上，该正方形的面积是 平方单位4、如图，在菱形 ABCD 中，边长为 10，A=60.顺次连结菱形 ABCD 各边中点，可得四边形 A1B1C1D1；顺次连结四边形 A1B1C1D1 各边中点，可得四边形 A2B2C2D2；顺次连结四边形 A2B2C2D2 各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去.则四边形 A2B2C2D2 的周长是 ；四边形 A2013B2013C2013D2013 的周长是 . 5、如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 在线段 CB 的延长线上，连接 DE 交 AB 于
3、点 F，AED=2CED，点 G 是DF 的中点，若 BE=1，AG=4，则 AB 的长为 .6、如图，四边形 ABCD 中，AB=BC，ABC =CDA=90，BEAD 于点 E，且四边形 ABCD 的面积为 8，则BE=（ ）A2 B3 C D232第 5 题 第 6 题 第 7 题 第 8 题7、如图，菱形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 在 x 轴上，B =120，OA=2，将菱形 OABC 绕原点顺时针旋- 2 -转 105至 OABC的位置，则点 B的坐标为（ ）A、（ ） B、（ ） C、（ ） D、（ ）2,2,3,2,8、如图，正方形 ABCD 中，AB=3，点
4、E 在边 CD 上，且 CD=3DE将ADE 沿 AE 对折至AFE，延长 EF 交边BC 于点 G，连接 AG，CF下列结论：点 G 是 BC 中点；FG=FC；S FGC =9/10其中正确的是（ ）A B C D9、如图，在正方形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 的中点，过点 0 作射线 OM、ON 分别交AB、BC 于点 E、F，且EOF=90，BO、EF 交于点 P则下列结论中：（ 1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形 ABCD 的面积等于四边形 OEBF 面积的 4 倍；（3）BE+BF= 0A；（4） AE2+CF2=20POB正确的结论有（ ）个2A1 B2 C3
5、 D410、如图，在矩形 ABCD 中，由 8 个面积均为 1 的小正方形组成的 L 型模板如图放置，则矩形 ABCD 的周长为 .11、在 边 长 为 6 的 菱 形 ABCD 中 ， 动 点 M 从 点 A 出 发 ， 沿 A B C 向 终 点 C 运 动 ， 连 接DM 交 AC 于点 N(1)如 图 11 1，当点 M 在 AB 边上时，连接 BN求证： ND ；(2)如图 11 2，若 ABC = 90，记点 M 运动所经过的路程为 x（6x12）试问：x 为何值时，ADN 为等腰三角形C M BNAD（图 11-2）C BMAND（图 11-1）- 3 -12、如图所示，正方形
6、ABCD的边 在正方形 ECGF的边 上，连接 BEDG， (1）求证： EG(2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由13、请阅读，完成证明和填空数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：(1）如图 13-1，正三角形 ABC中，在 A、 边上分别取点 MN、 ，使 BA，连接 BNCM、 ，发现 BNCM，且 60O请证明： 60NO(2）如图 13-2，正方形 ABCD中，在 BC、 边上分别取点 MN、 ，使 AB，连接 ANDM、 ，那么 AN ，且 ON 度(3）如图 13-3，正五边形 E中
7、，在 A、 边上分别取点 、 ，使 ，连接 E、 ，那么 ，且 度E FGDAB CA A AB BBC C C DDOO OMMMNNNE图 13-1 图 13-2 图 13-- 4 -(4）在正 n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论请大胆猜测，用一句话概括你的发现： 14、 ABC 是等边三角形，点 D是射线 BC上的一个动点（点 D不与点 BC、 重合）， ADE 是以 为边的等边三角形，过点 E作 的平行线，分别交射线 A、 于点 FG、 ，连接 (1）如图（a）所示，当点 在线段 上时求证： A ；探究四边形 E是怎样特殊的四边形？并说明理由；(2）如图（b）所
8、示，当点 D在 BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？(3）在（2）的情况下，当点 运动到什么位置时，四边形 BCG是菱形？并说明理由15、如图， ABC 中，点 O是边 A上一个动点，过 O作直线 MNBC ，设 交 BA的平分线于点 E，交 的外角平分线于点 F(1）探究：线段 E与 的数量关系并加以证明；(2）当点 在边 上运动时，四边形 BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；(3）当点 O运动到何处，且 A 满足什么条件时，四边形 AECF是正方形？AGCDBFE图（a）ADCBF E G图（b）AF NDCBM E O- 5 -16、如图，已知直线 1
9、28:3lyx与直线 2:16lyx相交于点 Cl12， 、 分别交 x轴于 AB、 两点矩形DEFG的顶点 E、 分别在直线 1、 上，顶点 FG、 都在 轴上，且点 G与点 重合(1）求 ABC 的面积；(2）求矩形 的边 D与 的长；17、在 ABC 中， 2120ABC， ， 将 ABC 绕点 顺时针旋转角 (09)得1 ，交 于点 E， 1分别交 、 于 DF、 两点(1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 1E与 有怎样的数量关系？并证明你的结论；(2）如图 2，当 30时，试判断四边形 BCA的形状，并说明理由ADBEOCF xyy y1l2l（G）ADBECF11ADBE
10、CF1 - 6 -18、在菱形 ABCD中，对角线 A与 BD相交于点 O， 56ABC， 过点 D作 EAC 交 B的延长线于点 E(1）求 的周长；(2）点 P为线段 上的点，连接 P并延长交 于点 Q求证： P19、如图，在平面直角坐标系中，矩形 AOBC 在第一象限内，E 是边 OB 上的动点（不包括端点），作AEF = 90，使 EF 交矩形的外角平分线 BF 于点 F，设 C（m ，n ）(1）若 m = n 时，如图，求证：EF = AE；(2）若 mn 时，如图，试问边 OB 上是否还存在点 E，使得 EF = AE？若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由(3）若
11、m = tn（t1）时，试探究点 E 在边 OB 的何处时，使得 EF =（t + 1）AE 成立？并求出点 E 的坐标A Q DEB P COxO E BAyCFxO E BAyCFxO E BAyCF- 7 -20、如图，将正方形沿图中虚线（其中 xy）剪成四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形）(1）画出拼成的矩形的简图；(2）求 xy的值21、如图所示，在矩形 ABCD中， 120AC， ，两条对角线相交于点 O以 B、 C为邻边作第 1 个平行四边形 1O；对角线相交于点 ；再以 1B、 为邻边作第 2 个平行四边形 1A，对角线相交于点 1；再以 、 1为邻边作第 3 个
12、平行四边形 12O依次类推(1）求矩形 ABC的面积；(2）求第 1 个平行四边形 1、第 2 个平行四边形 1ABC和第 6 个平行四边形的面积 A1A2B2 C2C1B1O1DAB CO- 8 -22、如图（22），直线 l的解析式为 4yx，它与 x轴、 y轴分别相交于 AB、 两点平行于直线 l的直线m从原点 O出发，沿 x轴的正方形以每秒 1 个单位长度的速度运动，它与 x轴、 y轴分别相交于 MN、 两点，设运动时间为 t秒（ 04t ）(1）求 AB、 两点的坐标；(2）用含 t的代数式表示 MN 的面积 1S；(3）以 N为对角线作矩形 OP，记 和 OAB 重合部分的面积为
13、2S，当 2t 4时，试探究 2与 t之间的函数关系式；在直线 m的运动过程中，当 为何值时， 2S为 面积的 516？O M APNylmxBO M APNylmxBE PF图 - 9 -23、如图 15，在四边形 ABCD 中，E 为 AB 上一点，ADE 和BCE 都是等边三角形，AB、BC、CD、DA 的中点分别为 P、Q、M、N，试判断四边形 PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论24、数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点 90AEF，且EF 交正方形外角 DCG的平行线 CF 于点 F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一
14、种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证AMEF ，所以 AE在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1）小颖提出：如图 2，如果把 “点 E 是边 BC 的中点” 改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由A DFC GEB图 1A DF
15、C GEB图 2A DFC GEB图 - 10 -25、如图，ABCD 是正方形，点 G 是 BC 上的任意一点， DEAG 于 E， BFD ，交 AG 于 F求证：AFBEDCBAEFG- 11 -参考答案1、D 2、 3、5 或 9 4、20 104105235、 6、C 7、A 8、B 9、C 10、 811、（1）证明：四边形 ABCD 是菱形AB = AD，1 =2 又AN = ANABN ADN (2）解：ABC=90 ，菱形 ABCD 是正方形此时，CAD=45下面分三种情形：）若 ND=NA，则ADN=NAD=45此时，点 M 恰好与点 B 重合，得 x=6；）若 DN=DA
16、，则DNA=DAN=45此时，点 M 恰好与点 C 重合，得 x=12；）若 AN=AD=6，则1=2，由 ADBC，得1=4，又2=3，3=4，从而 CM=CN，易求 AC=6 2，CM=CN =ACAN=6 26，故 x = 12CM=12（6 26）=186 综上所述：当 x = 6 或 12 或 186 时，ADN 是等腰三角形12、（1）因为 ABCD 是正方形，所以 BC=CD。又因为 ECGF 是正方形，所以 EC=CG。所以三角形 BCE 和三角形 DCG 全等（HL）。所以 BE=DG（全等三角形的对应边相等）（2）存在。以点 C 为旋转中心逆时针旋转 90 度13、（1）证
17、明： AB 是正三角形， 60ABCAB， ，在 N 和 M 中， N NM ABC又 60ABOC， 60BOC， 60NOC注：学生可以有其它正确的等价证明(2）在正方形中， 9D， (3）在正五边形中， 108NEM， (4）以上所求的角恰好等于正 n边形的内角 (2)nA14、（1）证明： ABC 和 都是等边三角形， 60AEDD， ， 又 ， BACD， EABC，C M BNAD - 12 - AEBDC 法一：由得 A ， 60BEC又 60BAC， ， EBG 又 ，四边形 GE是平行四边形法二：证出 ，得 由 得 D 得 BECG四边形 是平行四边形(2）都成立(3）当 D
18、（ 2D或 12CB或 30AD或 90B或 30AC）时，四边形是菱形理由：法一：由得 AE ， E分又 C， EB由得四边形 BG是平行四边形，四边形 G是菱形法二：由得 DC ， B又四边形 B是菱形， EC 法三：四边形 E是平行四边形， EC ， ， 6060FBAFA， 60FE， EF 是等边三角形又 ，四边形 BG是菱形， B， AG 30，60ED， 3C15、（1） OF其证明如下： E是 ACB的平分线， 12 MNBC ， 13 23 同理可证 OF EO(2）四边形 不可能是菱形，若 为菱形，则 ，而由（1）可知 FCE ，在平面内过同一点 F不可能有两条直线同垂直于
19、一条直线(3）当点 O运动到 AC中点时， E， AC，则四边形 A为 ，要使 A为正方形，必须使 E B ， ， B 是以 为直角的直角三角形，当点 为 中点且 是以 为直角的直角三角形时，四边形 ECF是正方形16、 （1）解：由 2803x， 得 4xA 点坐标为 40， 由 6， 得 B 点坐标为 8， 812B由2831yx， 解得 56xy， C点的坐标为 56， - 13 - 112632ABCCSy (2）解：点 D在 1l上且 2883DBDxy， D点坐标为 8， 又点 E在 2上且 164EEExx， 点坐标为 4， 84OF， 17、 （1） 1AFC证明：（证法一）
20、BAC， 由旋转可知， 111BEF， ， ， ABECF1 BEF， 又 ， 即 (证法二） AC， 由旋转可知， 11B， =， 而 1ECFBA， 1CBE BEF， E， 即 1(2）四边形 1CDA是菱形. 证明： 1130BACB， ， 同理 AC1 四边形 是平行四边形 . 又 1A， 四边形 1D是菱形. 18、（1）因为四边形 BCD为菱形，所以 BEACE ， ，故四边形 ABCD为平行四边形，则有 5A，所以 0，6CE，又61352OAO， ，垂直于 ，所以在 RtB 中有 2B，所以 1482BD， ， 故三角形 D的周长为 860E(2）因为四边形 AC为菱形，所以
21、 OB， ，则 D= OQ又 BPOQ，所以 BP 全等于 DOQ故有 PQ19、（1）由题意得 m = n 时，AOBC 是正方形如图，在 OA 上取点 C，使 AG = BE，则 OG = OE EGO = 45，从而 AGE = - 14 -由 BF 是外角平分线，得 EBF = 135， AGE =EBF AEF = 90， FEB +AEO = 90在 RtAEO 中， EAO +AEO = 90， EAO =FEB， AGEEBF，EF = AE(2）假设存在点 E，使 EF = AE设 E（a，0）作 FHx 轴于 H，如图由（1）知EAO =FEH ，于是 RtAOERtEHF
22、 FH = OE，EH = OA 点 F 的纵坐标为 a，即 FH = a由 BF 是外角平分线，知FBH = 45 ， BH = FH = a又由 C（m，n）有 OB = m， BE = OB OE = ma， EH = ma + a = m又 EH = OA = n， m = n，这与已知 mn 相矛盾因此在边 OB 上不存在点 E，使 EF = AE 成立(3）如（2）图，设 E（a，0 ），FH = h，则 EH = OHOE = h + ma由 AEF = 90，EAO =FEH，得 AOEEHF ， EF =（t + 1 ）AE 等价于 FH =（t + 1）OE，即 h =（t
23、 + 1）a，且 FHOEA，即 hamn，整理得 nh = ah + ama 2， anm)(2把 h =（t + 1）a 代入得 tn)1(，即 ma =（t + 1）（na）而 m = tn，因此 tna = （t + 1）（na）化简得 ta = n，解得 t t1， tnm，故 E 在 OB 边上当 E 在 OB 边上且离原点距离为 tn处时满足条件，此时 E（ tn，0）20、 （1）(2）解法一：由拼图前后的面积相等得： 2)()(yxyxxO E BAyCFGH xO E BAyCF- 15 -因为 y0，整理得： 01)(2yx解得： 215yx（负值不合题意，舍去）解法二：
24、由拼成的矩形可知： x)(以下同解法一21、（1）在 RtABC 中，22016，9ABCDS矩 形 (2） 矩形 ，对角线相交于点 O，4ABCDOBC， 四边形 1BC是平行四边形， 11BCOB ， ，1，又 ， ，1296OBCBACDSS， 同理， 11 4822ABCOBCABCDSS，第 6 个平行四边形的面积为 32B22、(1）当 0x时， 4y；当 0时， 4x (0)4， ， （ ， ） ； (2） 1MOANB ， ， 2112NtSMNt， ； (3）当 2t 时，易知点 P在 B 的外面，则点 P的坐标为 ()t， ,F点的坐标满足 4xty， ， 即 ()Ft，
25、，同理 (4)Et， ，则 24Ett-， 所以 2MPNFOMNPEFSSS 2 211348ttttt()； 当 0 时， 225156， ，解得 15tt， ， 两个都不合题意，舍去；当 24 时， 2238St，解得 347tt， ，综上得，当 7t或 t时， 2为 OAB 的面积的 51623、如图，连结 AC、BD- 16 - PQ 为ABC 的中位线， PQ 21AC同理 MN 21AC MN PQ， 四边形 PQMN 为平行四边形在 AEC 和DEB 中，AEDE ，EC EB，AED 60CEB，即 AEC DEB AECDEB ACBD PQ 21AC BDPN， PQMN为菱形24、（1）正确证明：在 AB上取一点 M，使 AEC，连接 ME 45， 135CF是外角平分线， 45D， 13F F90AB， 90AEBC， BAECME （ASA ）(2）正确证明：在 BA的延长线上取一点 N使 NCE，连接 BE45P 四边形 ACD是正方形， ABE D F CF （ASA） AEF25、 AB是正方形， 90， EG，D90A又 BFBAD，E，AGE在 BF 与 D 中，AFBD，(S)AE A DFC GEBNA DFC GEBM- 17 -BFAE，
