1、1第 4节 双曲线【选题明细表】知识点、方法 题号双曲线定义和标准方程 1,6,9,11,15双曲线的几何性质 2,3,4,5,7,10,12,14双曲线的综合问题 8,13,16,17基础对点练(时间:30 分钟)1.已知方程 - =1表示双曲线,则 的取值范围是( C )22+ 21+(A)(-,-2) (B)(1,+)(C)(-,-2)(-1,+) (D)(-1,+)解析:根据题意知(2+)(1+)0,解得 -1 或 2,所以 e= = .故选 C.1+() 2 1+4 54.(2016邯郸一模)已知点 A,B是双曲线-=1 的左、右顶点,P 为双曲线上除顶点外的一点,记 kPA,kPB
2、分别表示直线 PA,PB的斜率,若 kPAkPB=,则该双曲线的离心率为( C )(A)3 (B)2 (C) (D)32解析:由题意知 A(-a,0),B(a,0),设 P(m,n),所以 kPAkPB= = ,0+ 0 2222又点 P在双曲线上,所以 -=1,22化简得 n2= ,2(22)2所以 kPAkPB=.所以 e= =.故选 C.1+225.(2015石家庄二检)已知 F是双曲线 -=1(a0)的右焦点,O 为坐标原点,设 P是双曲线232C上一点,则POF 的大小不可能是( C )(A)15 (B)25 (C)60 (D)165解析:因为两条渐近线 y= x的倾斜角分别为 30
3、,150,33所以 0POF0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 M在双曲线的左支上,且|MF 2|=7|MF1|,则此双曲线离心率的最大值为( A )(A) (B) (C)2 (D)解析:因为|MF 2|=7|MF1|,所以|MF 2|-|MF1|=6|MF1|,即 2a=6|MF1|6(c-a),故 8a6c,即 e=.故选 A.8.(2015银川一模)若点 A(m,0)到双曲线-y 2=1的一个顶点的距离是 A到双曲线上各点的距离的最小值,则 m的取值范围是( B )3(A)-3,3 (B) -,(C)-2,2 (D) -,解析:由题意知,a=2,b=1,c= ,双曲线的左、右顶
4、点分别为 M(-2,0),N(2,0),显然当-52m2时,设双曲线右支上任意一点 P(x,y),|PA|2=(x-m)2+y2=(x-m)2+-1|AN| 2=(2-m)2,化简得(2x-4)mx 2-5,当 x=2时,不等式恒成立,当 x2时,m(x+2),故 m;同理,当 m0)的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B与 C的两条渐近线分别交于 P,Q两点,线段 PQ的垂直平分线与 x轴交于点 M.若|MF 2|=|F1F2|,则 C的离心率是 . 解析:设双曲线的焦点坐标为 F1(-c,0),F2(c,0).因为 B(0,b),所以 F1B所在的直线为-+=1.双曲线渐近线为 y=
5、x,由=,+=1,得 Q( , ). 4由=,+=1,得 P(- , ),+ +所以 PQ的中点坐标为( , ).222 222由 a2+b2=c2得,PQ 的中点坐标可化为( ,).22直线 F1B的斜率为 k=,所以 PQ的垂直平分线为 y-=-(x- ).22令 y=0,得 x= +c,22所以 M( +c,0),22所以|F 2M|= .22由|MF 2|=|F1F2|得= =2c,22 222即 3a2=2c2,所以 e2=,所以 e= .62答案:6211.(2016成都模拟)已知圆 x2+y2-4x-9=0与 y轴的两个交点 A,B都在某双曲线上,且 A,B两点恰好将此双曲线的焦
6、距三等分,则此双曲线的标准方程为 . 解析:在方程 x2+y2-4x-9=0中,令 x=0得 y=3.不妨设 A(0,-3),B(0,3).设所求双曲线标准方程为-=1(a0,b0),因为点 A在双曲线上,所以=1,即 a2=9.因为 A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分.所以双曲线的焦点为(0,-9),(0,9).5a2+b2=81,所以 b2=72.此双曲线的标准方程为- =1.272答案:- =127212.(2015贵阳监测)已知点 P是双曲线 C:-=1(a0,b0)左支上一点,F 1,F2是双曲线的左、右两个焦点,且 PF1PF 2,PF2与两条渐近线相交于 M,N两点(如图),点
7、 N恰好平分线段 PF2,则双曲线的离心率是 . 解析:由题意可知,ON 为PF 1F2的中位线,所以 PF1ON,所以 tanPF 1F2=tanNOF 2=kON=,所以|2|1|=,|1|2+|2|2=|12|2=42,解得 |1|=2,|2|=2.又|PF 2|-|PF1|=2a,所以 2b-2a=2a,b=2a,c= = a,2+2 5e= .5答案: 513.(2016大连双基测试)已知离心率 e= 的双曲线 C:-=1(a0,b0)的右焦点为 F,O为坐标52原点,以 OF为直径的圆与双曲线 C的一条渐近线相交于 O,A两点,若AOF 的面积为 4,则 a的值为 . 解析:因为
8、e= = ,1+() 2 52所以=, =,|设|AF|=m,则|OA|=2m,S AOF =m2m=4,所以 m=2,由勾股定理,得 c= =2 ,2+(2)2 56又= ,所以 a=4.52答案:414.(2016日照模拟)已知 F1,F2为双曲线-=1(a0,b0)的焦点,过 F2作垂直于 x轴的直线交双曲线于点 P和 Q.且F 1PQ为正三角形,则双曲线的渐近线方程为 .解析:设 F2(c,0)(c0),P(c,y0),代入双曲线方程得 y0=,因为 PQx 轴,所以|PQ|= .22在 RtF 1F2P中,PF 1F2=30,所以|F 1F2|= |PF2|,即 2c= .3 3又因
9、为 c2=a2+b2,所以 b2=2a2或 2a2=-3b2(舍去).因为 a0,b0,所以= .2故所求双曲线的渐近线方程为 y= x.2答案:y= x2能力提升练(时间:15 分钟)15.(2015开封摸底考试)从双曲线-=1(a0,b0)的左焦点 F引圆 x2+y2=a2的切线,切点为 T,延长 FT交双曲线右支于 P点,若 M为线段 FP的中点,O 为坐标原点,则|MO|-|MT|与 b-a的关系为( C )(A)|MO|-|MT|b-a(B)|MO|-|MT|0,b0)的右焦点为 F,右顶点为 A,过 F作 AF的垂线与双曲线交于 B,C两点,过 B,C分别作 AC,AB的垂线,两垂
10、线交于点 D.若 D到直线 BC的距离小于 a+ ,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( A )2+27(A)(-1,0)(0,1)(B)(-,-1)(1,+)(C)(- ,0)(0, )2 2(D)(-,- )( ,+)2 2解析:由题知 F(c,0),A(a,0),不妨令 B点在第一象限,则 B(c,),C(c,-),kAB= ,2()因为 CDAB,所以 kCD= ,()2所以直线 CD的方程为 y+= (x-c).由双曲线的对称性,知点 D在 x轴上,得 xD=()2+c,点 D到直线 BC的距离为 c-xD,42()所以 0,b0)上有一点 A,它关于原点的对称点为 B,点 F为双曲
11、线的右焦点,且满足 AFBF,设ABF=( ,),则双曲线的离心率 e的取值范围为 .12解析:设左焦点为 F,令|AF|=r 1,|AF|=r 2,则|BF|=|FA|=r 2,所以 r2-r1=2a,因为点 A关于原点 O的对称点为 B,AFBF,所以|OA|=|OB|=|OF|=c,所以 + =4c2,2221所以 r1r2=2(c2-a2),因为 SABF =2SAOF ,所以 r1r2=2c2sin 2,8所以 r1r2=2c2sin 2,所以 c2sin 2=c 2-a2,所以 e2= ,112因为 ,所以 sin 2, ,12 32所以 e2= 2,( +1)2,112 3所以
12、e , +1.2 3答案: , +12 3精彩 5分钟1.过双曲线-=1(a0,b0)的左焦点 F作圆 O:x2+y2=a2的两条切线,切点为 A,B,双曲线左顶点为 C,若ACB=120,则双曲线的渐近线方程为( A )(A)y= x (B)y= x333(C)y= x (D)y= x222解题关键:数形结合求出 a,c的关系.解析:如图所示,连接 OA,OB, 设双曲线-=1(a0,b0)的焦距为 2c(c0),则 C(-a,0),F(-c,0).由双曲线和圆的对称性知,点 A与点 B关于 x轴对称,则ACO=BCO=ACB=120=60.因为|OA|=|OC|=a,所以ACO 为等边三角
13、形,所以AOC=60.因为 FA与圆 O切于点 A,所以 OAFA,在 RtAOF 中,AFO=90-AOF=90-60=30,所以|OF|=2|OA|,即 c=2a,所以 b= = = a,22 (2)22 3故双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,即 y= x.故选 A.32.若双曲线-=1(a0,b0)上存在点 P,满足以|OP|为边长的正方形的面积等于 2ab(其中点 O为坐标原点),则该双曲线的离心率的取值范围是 . 解题关键:设出点 P坐标,建立关于 a,b的关系式,再利用|OP| 2a 2即可求解.解析:设 P(x0,y0),则以|OP|为边长的正方形的面积 S=|OP|2= + =2ab,又 + a 2,所以2020 202092aba 2,则,故 e2=1+()2,所以 e ,+).52答案: ,+)52
