1、导数的概念一选择题（共 16 小题）1 （2013河东区二模）已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）A3 B 2 C 1 D2 （2012汕头一模）设曲线 y=ax2 在点（1，a ）处的切线与直线 2xy6=0 平行，则 a=（ ）A1 B C D 13 （2011烟台一模）设曲线 在点（3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a=（ ）A2 B C D 24 （2010泸州二模）曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）AB C D5 （2010辽宁）已知点 P 在曲线 y= 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（ ）A0， ） B
2、 C D6 （2010江西模拟）曲线 y=x32x+4 在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ）A30 B 45 C 60 D1207 （2009辽宁）曲线 y= 在点（1，1）处的切线方程为（ ）A y=x2B y=3x+2 C y=2x3 D y=2x+18 （2009江西）若存在过点（1，0）的直线与曲线 y=x3 和 都相切，则 a 等于（ ）A1 或 B 1 或 C 或 D或 79 （2006四川）曲线 y=4xx3 在点（ 1，3）处的切线方程是（ ）Ay=7x+4 B y=7x+2 C y=x4 D y=x210 （2012海口模拟）已知 f（x）=alnx+ x2（a0） ，若对
3、任意两个不等的正实数 x1，x 2，都有2 恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A（0，1 B （1，+） C （0，1） D1，+ ）11 （2013安徽）函数 y=f（x）的图象如图所示，在区间a ，b 上可找到 n（n2）个不同的数 x1，x 2，x n，使得 = ，则 n 的取值范围是（ ）A3，4 B 2，3，4 C 3，4，5 D2，312 （2010沈阳模拟）如图一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟 9.3 升的速度注入容器内，则注入水的高度在 分钟时的瞬时变化率（ ） （注：3.1）A27 分米/分钟 B 9 分米/分钟 C 81 分米/分钟 D分米/分钟13若函
4、数 f（x）=2x 21 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x，1+ y） ，则 等于（ ）A4 B 4x C 4+2x D4+2x214如果 f（x）为偶函数，且 f（x）导数存在，则 f（0 ）的值为（ ）A2 B 1 C 0 D 115设 f（x）是可导函数，且 =（ ）A 4B 1 C 0 D16若 f（x 0） =2，则 等于（ ）A 1B 2 C D二填空题（共 5 小题）17 （2013江西）设函数 f（x）在（0，+）内可导，且 f（e x）=x+e x，则 f（1）= _ 18 （2009湖北）已知函数 f（x）=f（ ）cosx+sinx，则 f（ ）的值为 _ 19已
5、知函数 y=x2x，当 f（x）=0 时，x= _ 20如果函数 f（x）=cosx，那么 = _ 21已知函数 f（x）在 R 上可导，且 f（x）=x 3+2xf（2） ，比较大小：f（1） _ f（1） （填“ ”“”或“=”）2013 年 10 月 panpan781104 的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共 16 小题）1 （2013河东区二模）已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）A3 B 2 C 1 D考点： 导数的几何意义4126984分析： 根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间解答： 解：设切点的横坐标为（x 0，y 0）曲线
6、 的一条切线的斜率为 ，y= = ，解得 x0=3 或 x0=2（舍去，不符合题意） ，即切点的横坐标为 3故选 A点评： 考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域比如，该题的定义域为x02 （2012汕头一模）设曲线 y=ax2 在点（1，a ）处的切线与直线 2xy6=0 平行，则 a=（ ）A1 B C D 1考点： 导数的几何意义4126984分析： 利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解解答： 解：y=2ax，于是切线的斜率 k=y|x=1=2a， 切线与直线 2xy6=0 平行有 2a=2a=1故选项为 A
7、点评： 本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率3 （2011烟台一模）设曲线 在点（3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a=（ ）A2 B C D 2考点： 导数的几何意义4126984分析： （1）求出已知函数 y 在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系 k1k2=1，求出未知数 a解答：解： y= y=x=3y= 即切线斜率为 切线与直线 ax+y+1=0 垂直直线 ax+y+1=0 的斜率为 2a=2 即 a=2故选 D点评： 函数 y=f（x）在 x=x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y=f（x）在点 P（x 0，y 0）
8、处的切线的斜率，过点 P的切线方程为：yy 0=f（x 0） （x x0）4 （2010泸州二模）曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）AB C D考点： 导数的几何意义4126984专题： 压轴题分析： （1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在 P（x 0，y 0）处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积解答： 解：若 y= x3+x，则 y|x=1=2，即曲线 在点 处的切线方程是 ，它与坐标轴的交点是（ ，0） ， （0， ） ，围成的三角形面积为 ，故选 A点评： 函数 y=f（x）在 x=x0 处的导数的几
9、何意义，就是曲线 y=f（x）在点 P（x 0，y 0）处的切线的斜率，过点 P的切线方程为：yy 0=f（x 0） （x x0）5 （2010辽宁）已知点 P 在曲线 y= 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（ ）A0， ） B C D考点： 导数的几何意义4126984专题： 计算题；压轴题分析： 利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围解答：解：因为 y= = 1，0） ，即 tan1，0） ，0 故选 D点评： 本题考查导数的几何意义及直线的斜率等于倾斜角的正切值6 （2010江西模拟）曲线 y=x32x+4 在点（1，3）处
10、的切线的倾斜角为（ ）A30 B 45 C 60 D120考点： 导数的几何意义4126984专题： 计算题分析： 欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知 k=y|x=1，再结合正切函数的值求出角 的值即可解答： 解：y /=3x22，切线的斜率 k=3122=1故倾斜角为 45故选 B点评： 本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题7 （2009辽宁）曲线 y= 在点（1，1）处的切线方程为（ ）A y=x2B y=3x+2 C y=2x3 D y=2x+1考点： 导数的几何意义4126984专题： 计算题分析： 根据导数的几何意义求出函数
11、 f（x）在 x=1 处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可解答：解：y=（ ）= ，k=y|x=1=2l：y+1= 2（x1 ） ，则 y=2x+1故选：D点评： 本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则，本题属于基础题8 （2009江西）若存在过点（1，0）的直线与曲线 y=x3 和 都相切，则 a 等于（ ）A1 或 B 1 或 C 或 D或 7考点： 导数的几何意义4126984专题： 压轴题分析： 已知点（1，0）不在曲线 y=x3 上，容易求出过点（1，0）的直线与曲线 y=x3 相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与 y=ax2+
12、 x9 相切，只有一个公共点，两个方程联系，得到二元一次方程，利用判别式为 0，解出 a 的值解答： 解：由 y=x3y=3x2，设曲线 y=x3 上任意一点（x0，x 03）处的切线方程为 yx03=3x02（xx 0） ， （1，0）代入方程得 x0=0 或当 x0=0 时，切线方程为 y=0，此直线是 y=x3 的切线，故 仅有一解，由=0，解得 a=当 时，切线方程为 ，由 ，a=1 或 a= 故选 A点评： 熟练掌握导数的几何意义，本题是直线与曲线联立的题，若出现形如 y=ax2+bx+c 的式子，应讨论 a 是否为 09 （2006四川）曲线 y=4xx3 在点（ 1，3）处的切线
13、方程是（ ）Ay=7x+4 B y=7x+2 C y=x4 D y=x2考点： 导数的几何意义4126984分析： 已知点（1， 3）在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程解答： 解： y=4xx3，y x=1=43x2 x=1=1，曲线在点（ 1，3）处的切线的斜率为 k=1，即利用点斜式求出切线方程是 y=x2，故选 D点评： 本题属于求过曲线上点的切线方程的基础题，只要利用导数的几何意义，求出该切线的斜率即可10 （2012海口模拟）已知 f（x）=alnx+ x2（a0） ，若对任意两个不等的正实数 x1，x 2，都有2 恒成立，则 a 的取值范围是
14、（ ）A（0，1 B （1，+） C （0，1） D1，+ ）考点： 导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性4126984专题： 计算题；压轴题分析：先将条件“对任意两个不等的正实数 x1，x 2，都有 2 恒成立” 转换成当 x0 时，f（ x）2 恒成立，然后利用参变量分离的方法求出 a 的范围即可解答：解：对任意两个不等的正实数 x1，x 2，都有 2 恒成立则当 x0 时，f（x）2 恒成立f（ x）= +x 2 在（0，+）上恒成立则 a（2xx 2） max=1故选 B点评： 本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题11 （20
15、13安徽）函数 y=f（x）的图象如图所示，在区间a ，b 上可找到 n（n2）个不同的数 x1，x 2，x n，使得 = ，则 n 的取值范围是（ ）A3，4 B 2，3，4 C 3，4，5 D2，3考点： 变化的快慢与变化率4126984专题： 函数的性质及应用分析： 由 表示（x，f（x） ）点与原点连线的斜率，结合函数 y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案解答： 解： 表示（x，f（x ） ）点与原点连线的斜率若 = ，则 n 可以是 2，如图所示：n 可以是 3，如图所示：n 可以是 4，如图所示：但 n 不可能大于 4故选 B点评： 本题考查的知识点是斜率公式，正确理解 表示（
16、x，f（x） ）点与原点连线的斜率是解答的关键12 （2010沈阳模拟）如图一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟 9.3 升的速度注入容器内，则注入水的高度在 分钟时的瞬时变化率（ ） （注：3.1）A27 分米/分钟 B 9 分米/分钟 C 81 分米/分钟 D分米/分钟考点： 变化的快慢与变化率4126984专题： 应用题分析： 圆锥的轴截面是个等边三角形，设经过 t 分钟的水面高度为 h，求出水面的半径，用 t 和 h 表示经过 t 分钟圆锥形容器内水的体积，解出 h，并求出它的导数，t= 时的导数值，就是注入水的高度在 分钟时的瞬时变化率解答： 解：由题意知，圆锥的轴截
17、面是个等边三角形，经过 t 分钟的水面高度为 h，则水面的半径是 h，t 分钟时，圆锥形容器内水的体积为 9.3t= h，h3= =27t，h=3 ，h= ，t= 时，h= =32=9，故选 B点评： 本题考查圆锥的体积公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，函数在某点的导数，就是函数在该点的变化率13若函数 f（x）=2x 21 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x，1+ y） ，则 等于（ ）A4 B 4x C 4+2x D4+2x2考点： 变化的快慢与变化率4126984专题： 计算题分析： 明确y 的意义，根据函数的解析式求出 y 的表达式，即可得到答案解答： 解：y=2（1+x
18、） 211=2x2+4x， =4+2x，故选 C点评： 本题考查y 的意义，即函数在点（ 1，1）的变化量，先求 y，即可得到 14如果 f（x）为偶函数，且 f（x）导数存在，则 f（0 ）的值为（ ）A2 B 1 C 0 D 1考点： 导数的概念；偶函数4126984专题： 阅读型分析： 由函数为偶函数得到 f（x）等于 f（ x） ，然后两边对 x 求导后，因为导函数在 x=0 有定义，所以令 x 等于0，得到关于 f（0）的方程，求出方程的解即可得到 f（0）的值解答： 解：因为 f（x）为偶函数，所以 f（x）=f（x） ，此时两边对 x 求导得：f（x）=f （x） ，又因为 f（
19、0）存在，把 x=0 代入得：f（0）= f（0） ，解得 f（0）=0故选 C点评： 此题考查了导数的运算，考查偶函数的性质，是一道综合题15设 f（x）是可导函数，且 =（ ）A 4B 1 C 0 D考点： 导数的概念4126984专题： 计算题分析：由导数的概念知 f（x 0）= ，由此结合题设条件能够导出 f（x 0）的值解答：解： =2，f（x 0）= =4故选 A点评： 本题考查导数的概念，解题时要注意极限的应用，属于基础题16若 f（x 0） =2，则 等于（ ）A 1B 2 C D考点： 导数的概念；极限及其运算4126984专题： 计算题分析：由导数的定义知 f（x 0）=
20、，由此提出分母上的数字 2 能够求出 的值解答：解： f（x 0）= =2= =故选 A点评： 本题考查导数的概念和极限的运算，解题时要认真审题，解题的关键是凑出符合导数定义的极限形式，属于基础题二填空题（共 5 小题）17 （2013江西）设函数 f（x）在（0，+）内可导，且 f（e x）=x+e x，则 f（1）= 2 考点： 导数的运算；函数的值4126984专题： 计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的概念及应用分析： 由题设知，可先用换元法求出 f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出 f（1）解答： 解：函数 f（x）在（0，+）内可导，且 f（e x）=x+e x，令 ex
21、=t，则 x=lnt，故有 f（t）=lnt+t，即 f（x）=lnx+xf（ x）= +1，故 f（1）=1+1=2故答案为 2点评： 本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式，属于基本题型，运算型18 （2009湖北）已知函数 f（x）=f（ ）cosx+sinx，则 f（ ）的值为 1 考点： 导数的运算；函数的值4126984专题： 计算题；压轴题分析： 利用求导法则：（sinx）=cosx 及（cosx）=sinx，求出 f（x） ，然后把 x 等于 代入到 f（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出 f（ ）的值，把 f（ ）的值代入到 f（x）后，把 x= 代入到 f（x
22、）中，利用特殊角的三角函数值即可求出 f（ ）的值解答： 解：因为 f（x ）=f（ ）sinx+cosx所以 f（ ）=f（ ）sin +cos解得 f（ ）= 1故 f（ ）=f （ ）cos +sin = （ 1）+ =1故答案为 1点评： 此题考查学生灵活运用求导法则及特殊角的三角函数值化简求值，会根据函数解析式求自变量所对应的函数值，是一道中档题19已知函数 y=x2x，当 f（x）=0 时，x= 考点： 导数的运算4126984专题： 导数的概念及应用分析： 先求得函数的导数，然后根据 f（x）=0，求出 x 的值解答： 解： 函数 y=x2x f（x）=0y=2x+x（2 x）=
23、2 x+x2xln2=2x（1+xln2）=02x 恒大于 01+xln2=0xln2=1x=故答案为：点评： 此题考查了导数的运算，熟练掌握导数运算法则是解题的关键，属于基础题20如果函数 f（x）=cosx，那么 = 考点： 导数的运算；函数的值4126984专题： 计算题分析： 根据解析式求出 和 f（x） ，再求出 ，代入 求解即可解答： 解：由题意知，f（x）=cosx ， =cos = ，f （x）=sinx ， =sin = ，故答案为： 点评： 本题考查了求导公式的应用，以及求函数值，属于基础题21已知函数 f（x）在 R 上可导，且 f（x）=x 3+2xf（2） ，比较大小：f（1） f（1） （填“ ”“”或“=” ）考点： 导数的运算；不等关系与不等式4126984专题： 计算题分析： 先对 f（x）=x 3+2xf（2）两边求导，然后令 x=2 可解得 f（2） ，从而得到 f（x） ，计算出 f（1） ，f（1）可得答案解答： 解：f（x）=3x 2+2f（2） ，令 x=2，得 f（2）=3 22+2f（ 2） ，解得 f（2）=12，所以 f（x）=x 324x，则 f（ 1）=23， f（1）= 23，所以 f（1）f（1） ，故答案为：点评： 本题考查导数的运算、不等式与不等关系，属基础题
