1、立体几何,2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系,平面内两条直线的位置关系,复习引入,螺 母,新课探究,观察下列图形，说说空间中两条直线的位置关系,探究一,立交桥,思考：存在不存在一个平面同时过上面两条直线？,问题1：在平面几何中，两直线的位置 关系如何？,讲授新课,问题2：没有公共点的直线一定平行吗？,问题3：没有公共点的两直线一定在同 一平面内吗？,1.异面直线的定义:,不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。,1)异面直线既不平行也不相交,一、空间两条直线的位置关系,2)定义中“任何”是指两条直线永远不具备确定平面的条件，即是不可能找到一个平面同时包含这两条直线； 不能认为分
2、别在两个平面内的两条直线叫异面直线。,a与b是相交直线,a与b是平行直线,a与b是异面直线,它们可能异面，可能相交，也可能平行。,它们可能异面，可能相交，也可能平行。,也不能认为不在同一平面内的两条直线叫异面直线。,说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.,如图：,(1),(3),(2),3）异面直线的画法,4）异面直线的判定方法：,不同在任何一个平面内。,既不相交也不平行的直线。,连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面 内不经过此点的直线是异面直线。,已知：如图,求证：直线AB和a是异面直线。,证明:(反证法),假设直线AB和a不是异面直线。,则
3、直线AB和a一定共面，设为,（公理2的推论1）,所以直线AB和a是异面直线。,这与已知A矛盾，,按平面基本性质分,同在一个平面内,相交直线,平行直线,不同在任何一个平面内:,异面直线,有一个公共点:,按公共点个数分,相交直线,无 公 共 点,平行直线,异面直线,2 、空间中直线与直线之间的位置关系,A1,B1,C1,D1,C,B,D,A,练习1、 如图所示：正方体的棱所在的直线 中，与直线A1B异面的有哪些？,答案：,D1C1、C1C、CD、,D1D、AD、B1C1,A1,B1,C1,D1,C,B,D,A,练习1、 如图所示：正方体的棱所在的直线 中，与直线A1B异面的有哪些？,下图长方体中,
4、平行,相交,异面, BD 和FH是 直线, EC 和BH是 直线,BH 和DC是 直线,(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条?,4,分别是 ：CG、HD、GF、HE,课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线?,(1)说出以下各对线段的位置关系?,练习3,1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： 平行直线；相交直线；异面直线.,巩固：,1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： 平行直线；相交直线；异面直线.,a,巩固：,1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： 平行直线；相交直线；异面直线.,a,a,b,巩固
5、：,1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： 平行直线；相交直线；异面直线.,a,a,b,a,b,巩固：,2. 两条异面直线指：,A. 空间中不相交的两条直线； B. 不在同一平面内的两条直线； C. 不同在任一平面内的两条直线； D. 分别在两个不同平面内的两条直线； E. 空间没有公共点的两条直线； F. 既不相交，又不平行的两条直线.,巩固：,( ),填空： 1、空间两条不重合的直线的位置关系有_、 _、 _三种。2、没有公共点的两条直线可能是_直线，也有可能是 _直线。3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系有_。,平行,相交,异面,平行,异面,相
6、交、异面,练习提升,“a，b是异面直线”是指 ab=,且a不平行于b； a 平面 ，b 平面 且ab= a 平面 ，b 平面 不存在平面 ，能使a 且b 成立,1、,上述结论中，正确的是 （ ） （A） （B） （C） （D） 2、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （ ）（A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对,C,C,3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )
7、 （A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异面,D,D,探究:,H,G,C,A,D,B,E,F,如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB, CD , EE , GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对?,答:共有三对,我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?,观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, 之间有何关系？,ab c d e ,公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行,平行线的传递性,二、空间直线的平行关系,若ab，bc，,1、平行关系的传递性,则
8、ac。,公理4的作用：它是判断空间两条直线平行的依据,公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行,推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行,二.空间直线的平行关系：,例2.已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC， CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：EFGH是一个平行四边形。证明：连结BD EH是ABD的中位线 EH BD且EH = BD 同理，FG BD且FG = BD EH FG且EH =FG EFGH是一个平行四边形,如果再加上条件AC = BD,那么四边形EFGH是什么图形？,在平面内, 我们可以证明 “ 如果一
9、个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”空间中这一结 论是否仍然成立呢？,定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补,观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ADC与A1D1C1 , ADC与A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?,二.空间直线的平行关系：,2.等角定理 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 问：这两个角什么时候相等，什么时候互补？,三.异面直线所成的角,在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度,
10、 如图.,在空间,如图所示, 正方体ABCDEFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?,问题提出,复习回顾,解决问题,异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 aa , b b 则把 a 与 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).,O,思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题,思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?,思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?, aa , a a a a
11、 (公理4),解答： 如图,设a 与 b 相交所成的角为1, a 与 b 所成的角为2 ,同理 bb, 1 = 2 (等角定理),答 :这个角的大小与O点的位置无关.,说明：,1、分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的 锐角（直角）叫做两异面直线所成的角,2、定义由等角定理解释：,为了简便，在求作异面直线所成的角时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等),如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。,因此，异面直线所成角的范围是（0， ,3、特例：,求异面直线所成的角的步骤是:一作(找)：作（或找）平行线二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。三
12、求：在一恰当的三角形中求出角,4、解题时，常将异面直线所成的角转化相交直线所成的角实现了空间问题平化。,5、求异面直线所成的角的基本法则：,作平行线，构三角形,探究？,（1）如图，观察长方体 ABCD-A1B1C1D1，有没有两条棱 所在 的直线是相互垂直的异面直线？,（2）如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直， 另一条直线是否与这条直线垂直？,（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？,如图，已知正方体ABCDABCD 中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？ （2）直线BA 和CC 的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA 垂直？,，,A,B,C,D,A,B,C,D,例3
13、,如图，已知正方体 中。 （1）哪些棱所在直线与直线 是异面直线？ （2）直线 和 的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线 垂直？,解：（2）由 可 知， 等于异面直线 与 的夹角,所以异面直线 与 的夹角为450 。,(3) 直线,与直线 都垂直.,A,B,C,D,A,B,C,D,例3,解：分别取AB、BC、CD、BD的中点，E、F、G、H，连接EF、FG、GH、EH、EG，,1,P,2,课堂练习1,如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求(1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？,连接HA、AF，,(2)连接FH，,四边形BFHD为平行四边形，HFBD,HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角,则AH=HF=FA, AFH为等边,如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = , AD = , AE = 2(1)求BC 和EG 所成的角是多少度?(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?,解答：,课堂练习2,课堂小结,作业：,名师一号,再见！,
