1、3 二维连续型随机变量及其概率密度,一、二维连续型随机变量（ ）的联合分布,则称 为二维连续型随机变量，称 为二维连续型随机变量 的联合概率密度或概率密度,与一维随机变量类似，对于二维随机变量 ,若存在定义域为整个 平面上的非负函数 ,使 的分布函数可表为： （3.1）,按定义，概率密度具有以下性质,(3) 设 是 平面上的区域，点 落在 内的概率为,(4)若 在点 连续，则有,(1),(2),由性质（4）和（1.1），如图3-3，在 的连续点处有,这表示若 在点 连续，则当 很小时,即 落在小长方形 内的概率近似地等于,几何上 表示空间的一个曲面由性质（2）知，介于它和 平面的空间区域的体积
2、为1由性质（3）， 的值等于以 为底，以 为顶面的曲顶柱体体积（如图3-4）,例 1 若二维随机变量 具有概率密度,其中 为区域 的面积，则称 服从 区域上的均匀分布特别地，设 在以圆点为中心、 为半径的圆域 上服从均匀分布，求二维联合概率密度.,解,当 时,当 时,其中 为常数由密度函数的性质得,例2 设二维随机变量 具有概率密度 (1)求分布函数(2)求概率.,解,(2)将 看作平面上随机点的坐标即有,其中 为 平面上直线 及其下方的部分，如图3-5于是,（1）,即有,例3 二维随机变量 的联合密度为 求 (1)系数 ; (2)随机变量 落在圆 内的概率,解,（1）由 得 用极坐标有：,（
3、2）,二、 二维连续型随机变量的边缘分布,与二维离散型随机变量类似，在等式中，令 得连续型随机变量 的边缘分布函数,由此得随机变量 的边缘概率密度函数(3.2),同理可得随机变量 的边缘分布函数（3.3）,的边缘概率密度函数（3.4）,例4 设二维随机变量 在以圆点为中心、 为半径的圆域 上服从均匀分布，求 及 的边缘概率密度.,在上面例1中，我们已经求出二维联合概率密度,所以，按公式（3.2）得 的边缘概率密度为,同理可得 的边缘概率密度为,这里值得注意的是，二维随机变量 在圆域上服从均匀分布，但是它们的边缘分布都不是均匀分布.,例5 设二维随机变量 的概率密度函数为 求边缘概率密度.,解
4、对任意,当 或 时, 对任意,可知边缘概率密度为：,其中 ，其中 都是常数， 且 .我们称 为服从参数 为 的二维正态分布（这五个参数的意义将在下一章说明），记为 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.,例6 设二维随机变量 的联合概率密度为,解,于是：,因为,（令 对 微分, 看作常数,从而， ）,同理,我们看到二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数 ，亦即对于给定的 不同的对应不同的二维正态分布，它们的边缘分布却都是一样的.这一事实表明，仅由关于 和关于 的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量 和 的联合分布的.,三、 二维连续型随机变量的条件分布,设 为二维连续型随
5、机变量 的概率密度为 如何规定这分布在条件 下 的概率分布呢？由于这时 服从连续型分布， 因此不能直接利用乘法公式来定义条件分布.,对二维离散型随机变量 ,设 ,在随机变量 取得可能值 的条件下，随机变量 取它的任一可能值 的条件概率 由上述随机事件的条件概率公式可得：,这就启发我们，对于二维连续型分布，规定在条件 下 的条件分布为如下连续型分布：,定义 设二维连续型随机变量 的概率密度为 关于 的边缘密度为 .若对于固定的 ， 则称 为在 的条件下 的条件概率密度， 记为 (3.5) 称 为在 的条件下的 条件分布函数，,记为 或,即,显然，条件概率密度满足条件： （1）,（2）,类似地，规
6、定在条件 下 的条件分布为一个连续型分布，它的概率密度函数和分布函数分别为,这里 为 关于 的边缘密度.,(3.6),例 7 随机变量 在矩形域 服从均匀分布，求 及 的条件概率密度.,解 按题意 具有联合概率密度,对于任意给定的值 ，在 的条件下， 的条件概率密度为,对于任意给定的值 ，在 的条件下， 的条件概率密度为,即 均服从均匀分布.,例8 设二维随机变量 在以圆点为中心、 为半径的圆域 上服从均匀分布，分别求关于 及 的条件概率密度.,解 我们有当 时： ，当 时： .其中c为常数.,得 的边缘概率密度为,由前面例5得二维联合概率密度为,同理得 的边缘概率密度为,所以按式（3.5）及
7、（3.6）即得 的条件概率密度,及 的条件概率密度,由此可见，在 的条件下 的条件概率密度或者在 的条件下 的条件概率密度都是均匀分布.,四、 二维连续型随机变量的相互独立性,定义： 设 及 ， 分别是二维随机变量 的联合分布函数和边缘分布函数.若对所有的 有 即 （3.7） 则称随机变量是相互独立的.,上面（3.7）式两边分别对 和 各微分一次， 即得 （3.8） 从而，随机变量是相互独立的充分必要条件为（3.8）几乎处处成立.此处“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去“面积”为零的集合外处处成立.,例9 设二维随机变量 在 上服从均匀分布，问 与 是否相互独立？,例10 设二维随机变量 具
8、有概率密度 问随机变量和是否相互独立的？,解 易求得 具有概率密度：,又得 的边缘概率密度为,事实上,如 服从区域 上的均匀分布，则只有 当 为矩形区域： 时， 与 分别服从 上的均匀分布，且 与 独立，反之亦然.,得 的边缘概率密度为,可见 ,故随机变量 和 不是独立的.,解,故有 ，因而随机变量 和 是 相互独立的.,例11 二维正态随机变量 的概率密度为 求证 相互独立等价于 .,证 仅证明二维正态分布的特殊情形 ，它的概率密度为,设 .这时 的概率密度为：,作代换 便得关于 的边缘概率密度为,即 的分布为 同理可得关于 的边缘概率密度为,即 的分布也为,因此，如果 ，则对于所有的 有
9、，因而随机变量 和 是相互 独立的.,反之，如果随机变量 和 相互独立，由于 都是连续函数，故对于所有的 有,令 ，这等式化成 ，从而 . 综上所述，得到以下结论：,反之，即,二维正态随机变量 ， 和 相互独立充分必要条件为 .,我们指出，如果随机变量 相互独立，则任一 变量的条件概率密度等于其边缘概率密度.事实上，这时我们有,以上所述关于二维随机变量的一些概念，容易推广 到 维随机变量的情况.,上面说过，对 个实数 , 元函数,称为 维随机变量 的联合分布函数或简称分布函数，它也具有类似于二维随机变量的分布函数的性质.,若存在非负函数 使对于任意实数 有,则称 为 的概率密度函数.设 的分布函数 为已知，则 的 维边缘分布函数就随之确定.,例如 关于 、关于 的边缘分布函数分别为,又若 为 的概率密度函数.则 关于 、关于 的边缘密度函数 分别为,若对于所有的 有,则称 是相互独立的.,若对于所有的,有,我们不加证明地给出以下定理，它在数理统计中是很有用的.,定理 设 和 相互独立， 和 相互独立，又若 是连续函数，则 和 相互独立.,
