1、24.1.2 垂直于弦的直径（垂径定理）,实践探究,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？,O,A,B,C,D,E,思考,（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴,（2） 线段： AE=BE,O,A,B,C,D,E,想一想：,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。,垂径定理,定理 垂直于弦的直径平分弦,并
2、且平分弦所的两条弧.,CDAB,如图 CD是直径,AM=BM,判断下列图形，能否使用垂径定理？,注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！,垂径定理的几个基本图形,作业评讲 如图，在O中，CD是直径，AB是弦，且CDAB，已知CD = 20，CM = 4，求AB、OM的长。,解：连接OA,在O中，直径CD弦AB, AB =2AM,OMA是Rt , CD = 20, AO = CO = 10, OM = OC CM = 10 4 = 6,在Rt OMA中，AO = 10，OM = 6,根据勾股定理，得：, AB = 2AM = 2 x 8 = 16,弦心距：过一个圆的圆心作弦的垂线,圆心
3、与垂足之间的距离叫做弦心距,如图：圆O中，AB是圆O中的一条弦，其中OCAB 圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，则d，r，a之间满足什么样的关系呢？,8cm,1半径为4cm的O中，弦AB=4cm,那么圆心O到弦AB的距离是 。2O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是 。3半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是 。,练习 2,A,B,O,E,A,B,O,E,O,A,B,E, OE AB,1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,O,A,B,E,解：,答：O的半径为5cm.,活 动 三,在RtAOE中,讲
4、解,垂径定理的应用,2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？,证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE。 AECEBEDE即 ACBD,1.在半径为30的O中，弦AB=36，则O到AB的距离是= 。,练一练,24mm,注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法,方法归纳:,解决有关弦的问题时，经常连接半径；过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。垂径定理经常和勾股定理结合使用。,G,a,b,c,d, a = b ，c = d, a c = b -
5、d,线段加减,圆弧加减,1、如图，AB、CD都是O的弦，且ABCD.求证：AC = BD。,F,E,解：过点O作OECD，交CD于点E,在O中，OF弦AB,G,交O于点G,交AB于点F，, OE弦CD,2、如图4，在O中，AB为O的弦，C、D是直线AB上两点，且ACBD求证：OCD为等腰三角形。,3、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？,4、如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。,2、如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦
6、心距，这是一条非常重要的辅助线。 弦心距、半径、半弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又 AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形.,再逛赵州石拱桥,如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高. 由题设知,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得 R27.9（m）.,答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.,
7、R-7.2,18.7,1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,G,a,b,c,d, a = b ，c = d, a c = b - d,线段加减,圆弧加减,1、如图，AB、CD都是O的弦，且ABCD.求证：AC = BD。,F,E,解：过点O作OECD，交CD于点E,在O中，OF弦AB,G,交O于点G,交AB于点F，, OE弦CD,2、如图4，在O中，AB为O的弦，C、D是直线AB上两点，且ACBD求证：OCD为等腰三角形。,3、如图，两个圆都以点
8、O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？,练一练,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.,变形题,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.,D,C,练习:如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦AB的长。,H,方法规律,已知：如图，直径CDAB，垂足为E . 若半径R = 2 ，AB = , 求OE、DE 的长. 若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长
9、.,由 、两题的启发，你能总结出什么规律吗？,方法总结,对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：,d + h = r,解这个方程，得R=545.,例1。如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD,点0是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE垂直于CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。,解：连接OC，,设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。, OE CD,CF= CD= x600=300(m).,根据勾股定理，得OC=CF +OF,即 R=300+(R-90).,所以
10、，这段弯路的半径为545m,11.矩形ABCD与圆O交A,B,E,FDE=1cm,EF=3cm,则AB=_,A,B,F,E,C,D,O,5cm,挑战自我画一画,4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,3.已知O半径为2cm,弦AB长为 cm,则这条弦的中点到这条弦所对的劣弧中点的距离为( ) A.1cm B.2cm C. cm D. cm,C,A,请围绕以下两个方面小结本节课： 1、从知识上学习了什么？、从方法上学习了什么？,课堂小结,圆的轴对称性； 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。,（）垂径定理和勾股定理结合。 （）
11、在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线过圆心作垂直于弦的线段；连接半径。,探索垂径定理的逆定理,1.想一想：如下图示，AB是O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M 同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。,驶向胜利的彼岸,由 CD是直径, AM=BM,CDAB,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,O,A,B,C,D,M,推论：,垂径定理及推论,直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； (3)
12、平分弦 ； (4)平分劣弧； (5)平分优弧.,知二得三,注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗? ( ),错,垂径定理及逆定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.,驶向胜利的彼岸,挑战自我
13、填一填,1、判断：垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ） 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ） 经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） 圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ） 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）,一、判断是非：,（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。,（2）平分弦的直线，必定过圆心。,（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。,(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。,（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。,（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。,C,(4),判断下列说法的正误,平分
14、弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧,辨别是非,挑战自我垂径定理的推论,如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?,老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:,垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.,挑战自我画一画,3、已知：如图，O 中， AB为 弦，C 为 弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ， CD = 1cm. 求O 的半径OA.,例已知:如图,是直径,AB=10,弦A
15、C=8,D是弧AC中点,求CD的长.,E,5,4,3,2,变式提高,O,A,B,C,（1）已知O的半径为4.5，它的内接ABC中，AB=AC,ADBC于D,AD+AB=10,求AD的长。 （2）若D是BC的中点，AD BC,BC=24, AD=9,求O的半径。,D,B,A,C,D,O,(1)解：连结OB,延长AD，则必过圆心O。 若设AD=x，则OD=4.5-x,AB=10-x 在RtABD和RtOBD中，BD2=AB2AD2=OB2OD2 即（10x）2x2 =4.52（4.5x）2解得x=4 即AD=4,2.P为O内一点,且OP=2cm,若O的半径为3cm,则过P点的最短弦长等于( )A.
16、1cm B.2cm C. Cm D.,D,垂径定理的应用,解法训练: 二、请你选择正确的答案,1. 同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D,已知AB=4,CD=2,AB的弦心距为1,则两个同心圆的半径之比为( )A.3:2 B. : C. :2 D.5:42.已知:AB是O的直径,OA=10,弦CD=16,则A,B两点到CD的距离之和等于( )A.24 B.12 C.16 D.6,B,B,垂径定理的应用,解法训练: 二、请你选择正确的答案,已知：如图，AB是的直径，CD是弦,AECD,垂足为E.BF CD垂足为F. 求证：EC=DF,已知：如图，AB是的直径，CD是弦,CE CD,DF CD 求
17、证：AE=BF,G,G,一题多变,达标检测,一、填空 1、已知AB、CD是O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm的两部分，则弦和圆心的距离为cm. 2、已知O的半径为10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为. 3、已知O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 4、在半径为25cm的O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是 5、 O的直径AB=20cm, BAC=30则弦AC=,14cm或2cm,2,5cm,10cm和40cm,4.如图,在O中,AB,AC是互相垂直的两条弦,ODAB于D,OEAC于E,且
18、AB=8cm,AC=6cm,那么O的半径为( ) A.4cm B.5cm C6cm D8cm,5.在半径为2cm的圆中,垂直平分半径的弦长为 .,6.如图,O直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cm,BE=2cm,CEA=30,则CD长为 .,B,F,8.已知:如图,AB,CD是O直径,D是AC中点,AE与CD交于F, OF=3,则BE= .,9.如图,DE O的直径,弦ABDE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则 CD= ,OC= .,10.已知O的直径为10cm,弦ABCD,AB=12cm,CD=16, 则弦AB与 CD的距离为 .,6,9,4,2cm或14cm,3.为改善市区人民生活
19、环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100 cm，截面如图，若管内污水的面宽AB=60 cm，则污水的最大深度为 cm；,能力提升：若遇下雨天，管内污水水面上升了70cm，则污水的水面宽AB= cm；,船能过拱桥吗,变形题：如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,船能过拱桥吗,在RtOAD中，由 勾股定理，得,解得 R3.9（m）.,船能过拱桥吗,在RtONH中，由勾股定理，得,此货船能顺利通过这座拱桥.,例题讲解,例1.一条米宽的河上架有一半径为m的圆弧形拱桥
20、，请问一顶部宽为米且高出水面米的船能否通过此桥，并说明理由,4.已知:ABC中,A=900,以AB为半径作A交BC于D,AB=5,AC=12.求CD的长.,A,B,C,E,D,垂径定理的应用,1.已知:AB,CD是O的两条平行 弦,MN是AB的垂直平分线. 求证:MN垂直平分CD 2.在直径为130mm的圆铁片 上切去一块高为32mm的弓形 铁片.求弓形的弦AB的长.,作业:,问题：车间工人要将一个如图所示的破损的圆盘复原，你有办法吗？,生活生产中的启示,A,B,方法:寻求圆弧所在圆的圆心,在圆弧上任取三点,作其连线段的垂直平分线,其交点即为圆心.,现在你知道了怎样要将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？,方法:寻求圆弧所在圆的圆心, 在圆弧上任取三点,作其 连线段的垂直平分线,其 交点即为圆心.,3.已知:AB和CD是O的两条等弦,点E,F分别在AB和CD的延长线上且BE=DF. 求证:EF的垂直平分线经过圆心O.,O,F,D,C,E,A,B,K,L,如图，已知AB是O的弦，MN是直径,MCAB于C, NDAB于D. 1、求证：(1)AC=BD;(2)OC=OD,2、若O的半径为17cm，AB=30cm,求ND-MC,H,E,C,新颖题赏析,1.已知:ABC内接于O,弦CMAB,CN 是直径,F为AB中点,求证:CF平分MCN.,F,o,
