1、机械振动学习题解答（二）,2013-04-19,41 如图所示，质量为 m 的油缸与刚度为k的弹簧相连，通过阻尼系数为 c 的黏性阻尼器以运动规律 y = A sin t的活塞给予激励，求油缸运动的振幅以及它相对于活塞的相位。,解：设油缸位移为 x，活塞位移为 y，对油缸建立方程即方程的解为x的振幅而活塞的运动为所以x相对于y的相位差,y,c,m,k,x,相位,42 如图所示，质量可忽略的直角刚性杆可绕铰链O自由转动，弹簧一端有简谐位移扰动 A cos t 。试导出系统的振动微分方程，并求系统的稳态响应。,解：设刚性杆向顺时针方向转动角，则图中B点的位移和速度分别为对刚性杆用动量矩定理,c,m
2、,k,A cos t,mg,a,L,由 化简得微分方程,B,微分方程,稳态响应其中或其中,43 求弹簧-质量系统在库仑阻尼和简谐激励力 F0 sin t 作用下的振幅。在什么条件下运动能继续？,解：库仑阻尼的等效阻尼系数振幅,上式可化简为,要使运动能继续，X不能为虚数，所以,45 带结构阻尼的单自由度系统，若刚度和阻尼的作用可用复数形式 表示，系统的等效质量为 m，求系统在简谐激励下的响应。,解：系统的微分方程为设系统的稳态响应,，代入上式得,解得,所以,其中,47 弹性支承的车辆沿高低不平的道路运行可用图示单自由度系统模拟。若每经过距离为 L 的路程，路面的高低按简谐规律变化一次，试求出车辆
3、振幅与运行速度 v 之间的关系，并确定最不利的运行速度。,解：将路面看成简谐激励，其周期 ，则角频率,系统方程为,稳态响应,振幅,系统发生共振时为最不利的情况,48 图示系统中，集中质量 m = 20 kg，弹簧刚度 k = 3.5 kN/m，阻尼器的黏性阻尼系数为c = 0.2 kNs/m，凸轮的转速为60r/min，行程为0.01m。试求系统的稳态响应。,解：设凸轮的行程为a，则凸轮的位移可表示为 ，并由题意知：a = 0.01m，周期 = 1s。将x0(t)展开为Fourier级数,其中所以,奇函数的Fourier级数只有正弦项，偶函数只有余弦项。,系统的微分方程为即于是稳态响应,静载荷
4、,多个简谐激励,其中,49 一个弹簧-质量系统从倾斜角为30的光滑斜面下滑。求弹簧从开始接触挡板到脱开挡板的时间。,解：设弹簧接触挡板的时刻为t=0，此后质量块做无阻尼自由振动，以弹簧平衡位置为原点，其运动方程为t=0时的初速度初始位移（即弹簧自由长度与静平衡长度的差值）质量块的运动规律为求出运动规律后，要求弹簧从开始接触挡板到脱开挡板的时间，有两种办法。,m,k,S,解法二：将此简谐运动写作式中由图可见，弹簧从接触挡板到脱离的时间为,解法一：设弹簧运行至最低点时t = ，则弹簧脱离挡板的时刻应为t = 2。令 ，可得弹簧从接触挡板到脱离的时间为 。,2,0,x0,55 机器质量为453.4k
5、g，安装时使支承弹簧产生的静变形为5.08mm，若机器的旋转失衡为0.2308kgm，求：在1200 r/min时传给地面的力；在同一速度下的动振幅。,解：旋转失衡的微分方程为振幅其中,所以传给地面的力,56 如果题5-5的机器安装在质量为1136kg的大混凝土基础上，增加基础下面弹簧的刚度，使弹簧静变形为5.08mm，则动振幅将是多少？,解：频率比振幅,（与上题相同）,（比上题小了）,57 质量为113kg的精密仪器通过橡皮衬垫装在基础上，基础受到频率为20Hz、幅值为15.24cm/s2的加速度激励，设橡皮衬垫有如下参数：k=2802N/cm，=0.1，问：传给精密仪器的加速度是多少？,解
6、：微分方程位移传递率,式中加速度传递率所以,59 机器重2500kN，弹簧刚度k=800kN/m，阻尼比=0.1，干扰力频率与发动机转速相等。试问：在多大转速下，传递给基础的力幅大于激振力幅；传递力幅为激振力幅20%时的转速是多大？,解： 力传递率于是,故最大转速为力传递率于是,转速,510 一仪器要与发动机的频率从1600到2200r/min范围实现振动隔离，若要隔离85%，仪器安装在隔振装置上时，隔振装置的静变形应为多少？,解：根据传递率与频率比的关系曲线，要在r1, r2的频率区间内使隔振达到85%，只要在r1时传递率Tr0.15即可。,511 悬挂系统的固有频率为0.5Hz，箱子从0.
7、5m高处落下，求所需的振荡空间。,解：设x为质量m的绝对位移，y为箱子的绝对位移，z为质量m相对于箱子的位移，当箱子做自由落体运动时，微分方程：即此系统受到阶跃激励，其响应为（课本p.110）,此运动一直持续到箱子落地的时刻，设此时刻为t1，则将t1代入z(t)的表达式，可得此时的位移和速度，分别记为,箱子落地后，相对速度 瞬间增加了gt1，而相对位移不变，即此后，质量m做有阻尼自由振动，初始条件即为其响应为（课本p.54, 式(3-53)）,求此响应的最大幅值即为箱子所需的振荡空间。,两大通用方法：1 Duhamel积分2 Laplace变换特殊函数激励的响应（无阻尼系统）：1 单位脉冲响应
8、2 阶跃激励F(t)=F0的响应3 斜坡激励F(t)=at的响应,单自由度系统瞬态激励下的响应,解：t t0时，系统响应有两种解法。解法一：将激励看成两个阶跃函数的叠加，其响应分别为,411 如图所示，一弹簧-质量系统，从t = 0开始作用一不变的F0力，作用时间为t0。求系统在t t0两种情况下的响应，并找出t t0时最大位移与t0/的关系。如果t0与系统自振周期相比很小，最大位移为多少？请与脉冲响应函数比较。,=,+,于是,解法二： t t0时系统作自由振动，初始条件为,于是,为求t t0时的最大位移，上式可用和差化积公式改写为,最大值当 时，t0很小的阶跃响应与脉冲响应类似，但由于阶跃激励的瞬时值是有限值，而脉冲激励的瞬时值是无穷大，故二者仍有区别： t0很小的阶跃响应最大值趋近于0，而脉冲响应不是。,412 如图所示，一单自由度无阻尼弹簧-质量系统，受到图示力的激励，用杜哈美积分求系统在t t1两种情况下的响应，并概略图示之。,解：t t1时，系统受到的激励可看成两个斜坡函数的叠加,=,+,因此系统的总响应为如图所示,f1(t)和f2(t)的响应分别为于是,解： t t0时，仍然看成两个阶跃响应的叠加）,
