1、考无忧论坛-考霸整理版 高等数学微分和积分数学公式（集锦） （精心总结） 一、00101101lim 0nnnmmxmanmbax ax anmbx bx bnm=+=+nullnull（系数不为 0 的情况） 二、 重要公式 （1 ）0sinlim 1xxx= （2 ） ()10lim 1xxx e+ = （ 3） lim ( ) 1nnaa o= （4 ） lim 1nnn= （ 5） lim arctan2xx= （ 6） lim tan2xarc x= lim arc cot 0xx= （8 ） lim arc cotxx = （7 ） （9 ）（10） （ 11）lim 0xxe=
2、limxxe+= 0lim 1xxx+= 下列常用等价无穷小关系（ 0x ） 三、211cos2x x sin x x arcsin x x tan x x arctan x x ()ln 1 x x+ 1 1lna ()11xexxax x x+ 、导数的四则运算法则 四()uv u v= ()uv u v uv =+ 2uuvuvvv =五、基本导数公式 () 0c= 1x x = ()sin cosx x= ( sin)cos x=(2ectan s)= x ()2x x cot cscx x= () ansec sec txx= csc cotx (csc ) xx= x()1ln x
3、x= ()x xee= ()lnxxaaa= 考无忧论坛-考霸整理版 ()1loglnxax a(=)211arcsin xx()21arcco= 1xsx=()12xx= ()21arctan1xx=+ ()21arccot1xx=+()x=1 高阶导数的运算法1）六、 则 () ()( )()()()()nnnux vx ux vx=（2 ） ()( )()()nncu x cu x=（()( )()()nnnu ax b a u ax b+= +（ ） 3 本初等函数的 n 阶导数公式 1）（ 4）() ()()()() ()()0nnnkkknkux vx cu xv x=七、基()(
4、 )!nnx n= （2 ）()( )nax b n ax beae+ += (3)( )( )lnnxxaa= （na(4)()()sin sin2nnax b a ax b n+= + (5) ()()cos cos2nnax b a ax b n+= +(6)( )()()11!1nnnnanax bax b+=+(7) ()()()()()11!ln 1nnnnanax bax b+=+八、微分公式与微分运算法则 () 0dc= ()1dx x dx= ( )sin cosdx xd= xx ()cos sindx xdx= ()2tan secdx xd= ( )2cot cscdx
5、 xd= x x ()sec sec tandx xxd= ( )csc csc cotdx xxd= x ()xxde edx= ()lnxxd a a adx= ()1lndx dxx= ()1loglnxaddxx a= ()21arcsin1dx dx=()21arccos1dxx=xdx()21arctan1dx dxx=+()21arccot1dx dxx=+九、微分运算法则 ()du v du dv= ( )dcu cdu= 考无忧论坛-考霸整理版 ()d uv vdu udv=+ 2u vdu udvdvv=十、基本积分公式 kdx kx c=+1xx dx 1c+lndxx
6、cx= += + +lnxxaadx ca=+ xxedx e c= +cos sinxdx x c= + 221sec tancosdx xdx x cx= =+ sin cosxdx x c= +2cot21cscsinxdx x21arctan1dx x cx= +cx=+ 21arcsin x1dx cx=+、下列常用凑微分公积分型 换元公式 十一 式 uaxb= + () ()(1)f ax bdx f ax bd axa+= +b+() ()()11f xxdx fxdx =ux= () ()()1ln ln lnf xdxfxdxx=lnux= () ( )( )x xxf ee
7、xdx fed=exue= () ()()1lnx xxxf aadx fadaa=xua= () ()( )sin cos sin sinf xxdxfxd= x sinux= () ()( )cos sin cos cosf xxdxfxd=xcosux= () ()( )2tan sec tan tanf xxdxfxd= xtanux= () ()( )2cot csc cot cotf xxdxfxd=xcotux= () ()()21arctan arc n arc n1f xdxftaxdtaxx=+arctanux= () ()()21arcsin arcsin arcsin1
8、f xdxfxdx=xarcsinux= 考无忧论坛-考霸整理版 十二、补充下面几个积分公式 tan ln cosxdx x c= +cot ln sinxdx x c= +sec ln sec tanxdx x x c=+ csc ln csc cotxdx x x c= +2211arctanxdx cax a a=+2211ln2xadx cxa axa= +221arcsinxdx caax=+22221lndx x x a cxa= +十三、分部积分法公式 形如naxx edx，令nux= ，axdv e dx= sinnx xdxnx， sindv xdx= 令 =u形如cosnx
9、 xdxcosdv xdx= 令 ，nux=形如arctannx xdx形如 ，令 ，形如arctanux=ndv x dx= lnnx xdx，令 ，形如，x x均可。 的三角换元公式 lnux=ndv x dx= xdx令axue=sinaxexdx cosaxe ,sin ,cos十四、第二换元积分法中22ax+ (1)2a s2x inx at= tanx at= (3)22x a secx at= (2) 【特殊角的三角函数值 】 （1 ） （ 2）sin 0 0=1sin62= （3 ）3sin32= （4 ） sin 12= ） （5 ） sin 0 = （ 2）3cos62=
10、（1 ） cos 0 1= （3 ）1cos32= （ 4） cos 02= ） （5 ） cos 1 = （1 ） （ 2）tan 0 0=3tan63= （3 ） tan 33= （4 ） tan2不存在 （5 ） tan 0 = 3cot33=（1 ） cot 0 不存在 （2 ） cot 36= （ 3） （ 4） cot 02= （ 5） cot 不存在 考无忧论坛-考霸整理版 十五、三角函数公式 1.两角和公式 sin( ) sin cos cos sinA BABA+= + B sin( ) sin cos cos sinA BABAB = cos( ) cos cos sin
11、sinA BABA+= B cos( ) cos cos sin sinA BABAB =+ tan tantan( )1tan tanA BBAA B+=ta tan)ntan(1tan tanA BAB=A B+cot cot 1cot( )cot cotABABBcot cot 1cot( )A += +cot cotABABB A+=.二倍角公式 2n 2 2sin cosAAA=si22 2 2cos 2 cos sin 1 2sin 2cos 1A AA A A= = = 22tatan 2n1tanAAA=3.半角公式 1cossin22A A= 1coscos22A A+= 1
12、cos sintan21cos 1cosA AAA1cos sincot2 1 cos 1 coA AAA=+A s A+=4.和差化积公式sin sin 2sin cos22 ab abab+= sin sin 2cos sin22ab abab+ = cos cos 2cos cos22ab abab+= cos cos 2sin sin22ab abab+ = ( )sintan tancos cosababab+=5.积化和差公式 ()()1sin sin cos cos2ab ab ab= + () ()1cos cos cos cos2ab ab ab=+ ()()ab1sin c
13、os sin sin2ab ab=+ ()()1cos sin sin sin2ab ab ab=+ 考无忧论坛-考霸整理版 6.万能公式 22tan2sin1tan2aaa=+221tan2cos1tan2aaa22tan2tan1tan2aaa=+7.平方关系 22sin cos 1x x+= 22sec n 1x ta x= 22csc cot 1x x = .倒数关系 8tan cot 1x x= sec cos 1x x= csin 1cs x x = 9.商数关系 sintancosxxx= coscotsinxxx= 十六、几种常见的微分方程 .可分离变量的微分方程 ：()()dyf xgydx= ， ( ) ( ) ( )()11 2 20f x g y dx f x g y dy+ =1 2.齐次微分方程：dy yfdx x=一阶线性非齐次微分方程：() ()dypxy Qxdx+=3. 解为： ()()()pxdx pxdxye Qxe dxc =+
