1、椭圆中的焦点三角形及求离心率问题1、若椭圆方程为 1，PF 1F290，试求 PF 1F2 的面积x24 y23【解】 椭圆方程 1，知 a2，c1，由椭圆定义，得|PF 1|PF 2|2a4，且|F 1F2|2，x24 y23在PF 1F2 中， PF 1F2 90.|PF 2|2| PF1|2|F 1F2|2.从而(4|PF 1|)2| PF1|24，则|PF 1| ，32因此 SPF 1F2 |F1F2|PF1| .故所求PF 1F2 的面积为 .12 32 322、设 F1，F 2 是椭圆 1 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|PF 2|21，则x29 y24F1PF2 的面
2、积等于( B ) A5 B 4 C3 D 1【解】 由椭圆方程，得 a3，b2，c ，|PF 1|PF 2|2a6，又5|PF1|PF 2|21，|PF 1|4，| PF2|2，由 22 42(2 )2 可知，F 1PF2 是直角三角形，故5F1PF2 的面积为 |PF1|PF2| 424，故选 B.12 123、过椭圆 1(ab0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F 2 为右焦点，若x2a2 y2b2F 1PF260，则椭圆的离心率为_【解】由题意，PF 1F2 为直角三角形，且 F 1PF260 ，所以|PF 2|2| PF1|.设|PF 1|x ，则|PF2|2x，|F
3、1F2| x，又|F 1F2|2c ，所以 x .即| PF1| ，|PF 2| .由椭圆的定义知，32c3 2c3 4c3|PF1|PF 2|2a，所以 2a，即 e .2c3 4c3 ca 334、已知椭圆的两焦点为 F1、F 2，A 为椭圆上一点，且 0，AF 2F160，则该椭圆AF1 AF2 的离心率为_【解】 0，AF 1AF 2，且AF 2F160. 设|F 1F2|2c，|AF 1| c，| AF2|c.由椭圆AF1 AF2 3定义知： cc 2a 即( 1) c2a.e 1.3 3ca 23 1 35、椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为(A )A. B
4、. C. D.12 13 14 226、设椭圆 1(ab0)与 x 轴交于点 A，以 OA 为边作等腰三角形 OAP，其顶点 P 在椭x2a2 y2b2圆上，且OPA 120，求椭圆的离心率【解】设 A(a,0)，点 P 在第一象限，由题意，点 P 的横坐标是 ，设 P ，由点 P 在椭圆上，得a2 (a2，y) 1， y2 b2，即 P ，又OPA 120，所以POA30，故(a2)2a2 y2b2 34 (a2，32b)tanPOA ，所以 a3b，所以 e .32ba2 33 ca a2 b2a 3b2 b23b 2237、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结
5、这四个点与两焦点，恰好组成一个正六边形，求这个椭圆的离心率【解】 如图，设椭圆两焦点为 F1，F 2，与正六边形其中两个交点为 A，B，并设正六边形边长为 m，则根据正六边形的性质有：FAB 120 ，|OF1|m，根据余弦定理 F1B2m 2m 22mmcos 1203m 2，F 1B m，又32aF 1BBF 2 mm，3a m，又 cm， 1，即椭圆的离心率为 1.3 12 ca m3 12 m 3 38、已知椭圆 C： 1(ab0) 的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连结x2a2 y2b2AF，BF.若|AB |10，|BF| 8，cosABF ，则 C 的离心率为( B ) A. B. C. D.45 35 57 45 67【解】 在ABF 中，|AF| 2| AB|2| BF|22|AB|BF|cosABF 10 28 22108 36，则45|AF|6.由|AB| 2|AF |2|BF| 2 可知，ABF 是直角三角形，OF 为斜边 AB 的中线，c|OF| 5.|AB|2设椭圆的另一焦点为 F1，因为点 O 平分 AB，且平分 FF1，所以四边形 AFBF1 为平行四边形，所以|BF|AF 1|8.由椭圆的性质可知 |AF| AF1|14 2aa7，则 e .ca 57
