1、第 7 讲 适当放缩在数列中的应用（上）题一：已知 ，求证： ， .*21,naN12312naan*N题二：已知 为正数，且 ，试证：对每一个 ，b,ba.12)(nnna题三：设实数数列 的前 n 项和 ，满足nS)(*1NnSan（I）若 成等比数列，求 和 ；12,aS23（II）求证：对 1430kka有题四：已知数列a n满足 (nN*)，S n是a n的前 n 项的和，a 2=12nS（1）求 Sn；（2）证明： .132na题五：设数列 的前 项和为 ，且 （1）求数列 的通项公式；nanS24nna（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： bnbTnT题六：已知数列 na满足
2、 112, .24nnaaN（1）求 234,a；（2）已知存在实数 ，使 n为公差为 的等差数列，求 的值；（3）记213nnbNa，数列 nb的前 项和为 nS，求证： 21n.第 8 讲 适当放缩在数列中的应用（下）题一：已知数列 是公差不为 0 的等差数列， 的等比中项.（1）求na2846,aa为 和数列 的通项公式；na（2）设 2 *1231(), ()1n nnbbbN求 证题二：已知数列的首项为 1a，前项和为，且对任意的，当 n2 时，a n 总是 3Sn4 与2 Sn 的等差中项 （）求数列a n的通项公式；（）设 ，是数列的前项和，求；52（）设，是数列的前项和， ，
3、，试证明：题三：设无穷数列 an具有以下性质： a1=1；当 （）请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式 对于任意的都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明） ； （）若，其中，且记数列 bn的前 n 项和 Bn，证明：题四：已知数列满足（）求数列的通项公式；（）若数列满足，证明：是等差数列；（）证明：题五：已知数列的首项， ， （）求的通项公式；（）证明：对任意的， ， ；（）证明：题六：已知数列a n满足 a1=5，a 2=5，a n+1=an+6an1 （n2，nN*） ，若数列是等比数列.（）求数列a n的通项公式； （）求证：当 k 为奇数时， ； （）求证：第 7 讲 适当放
4、缩在数列中的应用（上）题一：证明：，.题二：证明：由得，又，故，而，令，则=，因为，倒序相加得=，而，则=，所以，即对每一个，.题三：见详解详解：（I）由题意，由 S2是等比中项知由解得（II）由题设条件有故从而对有因，由得要证，由只要证即证此式明显成立.因此最后证若不然又因矛盾.因此题四：详解：（1）由题意得，两式相减得即（n-1）a n+1=nan，所以（n+1）a n+1=nan+2再相加得 2nan+1=nan+nan+2即 2an+1=an+an+2所以数列a n是等差数列a 1= a1a 1=0，又 a2=1，则公差为 1，a n=n-1，所以数列a n的前 n 项的和为（2）当
5、n=1 时：， ，不等式成立当 n2 时：一方面另一方面： ，综合两方面.于是对于正整数 n，都有 题五：详解：当时， 当时， 不适合上式, （2）证明: 当时， 当时，, 得:得，此式当时也适合N， 当时， ， 故，即综上， 题六：详解：（1） ，由数列的递推公式得， ，.（2）=.数列为公差是的等差数列.由题意，令，得.（3）由（2）知，所以.此时=，=.第 8 讲 适当放缩在数列中的应用（下）题一：详解：设解得（2）证明：题二：a n2详解：（）当 n2 时，2a n3S n42 Sn，即 2(SnS n1 )3S n42 Sn，52 52所以 Sn Sn1 2 (n2)12 an 1a
6、n Sn 1 SnSn Sn 1 (f(1,2)Sn 2) (f(1,2)Sn 1 2)Sn Sn 1 12又 2a 2 223 a21 数列a n是首项为 2，公比为 的等比数列a n2 (nN *)12 a2a1 12 12（）由（）知 an2 2n (nN *)则Tn b1b 2b n22 314 (n 1)212 Tn 213 n2 3n (n 1)2,12 12作差得： Tn22 1 2 3n (n1)2612 12 14 n 32n 1T n12 (nN *)n 32n 2（）证明：题三：证明：（）令， 则无穷数列 an可由 a1 = 1，给出.显然，该数列满足，且 （） 又题四：详解：（1） ，故数列是首项为 2，公比为 2 的等比数列。 ，（2） ，得，即得，即所以数列是等差数列（3）设，则 题五：详解：（） ， ， ，又，是以为首项，为公比的等比数列 ， （）由（）知，原不等式成立（）由（）知，对任意的，有取，则原不等式成立题六：详解：是等比数列,则应为常数，得=2 或= 3当=2 时，可得为首项是 ，公比为 3 的等比数列，则 当=3 时，为首项是 ，公比为 2 的等比数列， 得， （注：也可由利用待定系数或同除 2n+1 得通项公式）（）当 k 为奇数时， （）由（）知 k 为奇数时， 当 n 为偶数时， 当 n 为奇数时，=
