1、1、 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年后因意外死亡，则公司赔付 20 万元，若投保人因其他原因死亡，则公司赔付 5 万元，若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为 0.0002，因其他愿意死亡的概率为 0.0010，求公司赔付金额的分布律。解：设 X 为公司的赔付金额， X=0,5,20P（X=0）=1-0.0002-0.0010=0.9988P（X=5）=0.0010P（X=20）=0.0002X 0 5 20P 0.9988 0.0010 0.00022.(1) 一袋中装有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 只球，
2、以 X 表示取出的三只中的最大号码，写出随机变量的分布律.解：方法一: 考虑到 5 个球取 3 个一共有 =10 种取法，数量不多可以枚举来解此题。35设样本空间为 SS=123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 易得，PX=3= ；PX=4= ；PX=5 = ；110 310 610方法二：X 的取值为 3,4,5当 X=3 时，1 与 2 必然存在 ，PX=3 = = ;2235 110当 X=4 时，1,2,3 中必然存在 2 个， PX=4= = ；2335 310当 X=5 时，1,2,3,4 中必然存在 2 个， PX=5= = ；2435 6
3、10(2)将一颗骰子抛掷两次，以 X 表示两次中得到的小的点数，试求 X 的分布律.解：PX=1= P ( 第一次为 1 点)+P（第二次为 1 点）- P（两次都为一点）= = ；16+16- 136 1136PX=2= P (第一次为 2 点，第二次大于 1 点)+P（第二次为 2 点，第一次大于 1点）- P （两次都为 2 点）= = ；1656+1656- 136 936PX=3= P (第一次为 3 点，第二次大于 2 点)+P（第二次为 3 点，第一次大于 2点）- P （两次都为 3 点）X 3 4 51/10 3/10 6/10X 3 4 51/10 3/10 6/10= =
4、 ；1646+1646- 136 736PX=4= P (第一次为 4 点，第二次大于 3 点)+P（第二次为 4 点，第一次大于 3点）- P （两次都为 4 点）= = ；1636+1636- 136 536PX=5= P (第一次为 5 点，第二次大于 4 点)+P（第二次为 5 点，第一次大于 4点）- P （两次都为 5 点）= = ；1626+1626- 136 336PX=6= P (第一次为 6 点，第二次大于 5 点)+P（第二次为 6 点，第一次大于 5点）- P （两次都为 6 点）= = ；1616+1616- 136 136X 1 2 3 4 5 611/36 9/3
5、6 7/36 5/36 3/36 1/363.设在 15 只同类型的零件中有 2 只是次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样.以 X 表示取出的次品的只数 .(1)求 X 的分布律 .解：PX=0= = ;313315 2235PX=1= = ;213 12315 1235PX=2= = ;11322315 135X 0 1 222/35 12/35 1/35(2)画出分布律的图形.22/3512/351/350.00_0.10_0.20_0.30_0.40_0.50_0.60_0.70_分 布 律 图 形XPX=k0 1 24、进行独立重复试验，设每次试验的成功率为 p，失败
6、概率为 q=1-p（03,即P（ X3） =1P（ X3） =1P（ X=0） P（ X=1） P（ X=2） P（ X=3）=14444242! 4343!=17134=0.566513.某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼叫的次数 X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计） 。（1） 求某一天中午 12 点至下午 3 点未收到紧急呼叫的概率；（2） 求某一天中午 12 点至下午 5 点至少收到 1 次紧急呼叫的概率。解：(1)设某一天中午 12 点至下午 3 点未收到紧急呼叫的概率为 P，时间间隔长度 t=3，依题意有 P（ X=0）=(2)t
7、2! =(32)0320! =32=0.2231(2)依题意，即 X1，时间间隔长度 t=5，则 P（ X1） =1P（ X=0）=1(2)t2!=1(52)0520!=152=0.917914.某人家中在时间间隔 t（小时）内接到电话的次数 X 服从参数为 2t 的泊松分布。（1）若他在外出计划用时 10 分钟，问其间有电话铃响一次的概率是多少？（2）若他希望外出时没有电话的概率至少为 0.5，问他外出应控制最长时间是多少？解：(1)设其间有电话铃响一次的概率为 P，t=1/6，依题意有P（ X=1） =(2)2! =(13)1131! =1313=0.2388(2)外出时没有电话的概率至少
8、为 0.5,即为 P（ X=0） 0.5P（ X=0） =(2)2! =(2)020! 0.5即 20.5求解得（小时） 12ln2=0.3466即外出时间不得超出 20.79 分钟.15.保险公司在一天内承保了 5000 张相同年龄，为期一年的寿险保单，每人一份，在合同有效期内若投保人死亡，则公司需赔付 3 万元。设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各投保人是否死亡相互独立。求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过 30 万元的概率（利用泊松定理计算） 。解：设投保人在一年内死亡人数为 X,则 Xb（5000,0.0015） ，若公司赔付不超过 30 万元，则死亡人数不该超过 =10
9、 个人，303PX10= 10=0(5000)(0.0015)(0.9985)5000根据泊松定理，=np=50000.0015=7.5PX10 .10=07.57.5! =0.862216.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为 0.0001。在某天的该时间段内有 1000 辆汽车通过。问出事故的车辆数不小于 2 的概率是多少？（利用泊松定理计算）解：设某天该时段汽车站汽车出事故的辆数为 X，则 Xb（1000,0.0001） ，所求为 PX 2=1-PX=0-PX=1.其中，根据泊松定理，=np=1000 0.0001=0.1.PX=k= .(1)
10、 !所以，PX 2=1-PX=0-PX=11- 0.10.10.1=0.0047.17.（1）设 X 服从（0-1）分布，其分布律为 PX=k=pk(1-p)1-k,k=0，1，求 X 的分布函数，并作出其图形。（2）求第 2 题（1）中的随机变量的分布函数。解：（1） X 服从（0-1）分布，即，当 X=0， ；当 X=1，=1 =.当 x0，0， 0. （1）P至多 3 分钟.（2）P至少 4 分钟.（3）P3 分钟至 4 分钟之间.（4）P至多 3 分钟或至少 4 分钟.（5）P恰好 2.5 分钟.解：（1）P至多 3 分钟=PX3= （3）=1- =1- 0.43 1.2（2）P至少
11、4 分钟=PX4=1-PX4=1- （4） = = 0.441.6（3）P3 分钟至 4 分钟之间=P3X4= （4）- （3）=（1- ）-（1- 0.44）= -0.43 1.21.6（4）P至多 3 分钟或至少 4 分钟=PX3UX4=PX3+PX4=（1- ）+1.21.6=1+ -1.61.2（5）P恰好 2.5 分钟=PX=2.5=020.设随机变量 X 的分布函数为 （x）= 0， ， 1， 1 ，1， . （1）求 PX2，P0X3，P2X2.5.（2）求概率密度 （x）.解：（1）根据连续型随机变量的分布函数的定义和性质可得PX2= （2）=ln2P0X3= （3）- （0）
12、=1-0=1 P2X2.5= （2.5）- （2）=ln2.5-ln2=ln1.25 （2）根据概率密度的定义可得（x） = =（ x） 1， 1 0， 其他 21.设随机变量 X 的概率密度为（1）f（x）= 2（ 112） ， 120， 其他 . （2）f（x）= ， 0 1，2， 1 2，0， 其他 求 X 的分布函数 F（x） ，并画出（2）中 f（x）及 F（x）的图形.解：（1）F（x）=P（Xx）= （ t） dt当 x1 时，F（x）= =00dt当 1x2 时，F（x）= + =2（x+ -2）10dt12（ 112） dt 1当 2x 时，F（x）= + + =110dt2
13、12（ 112） dt20dt故分布函数为 F（x）= 0， 12（ x+1 -2） ， 1 x 21， 2 （2）F（x）=P（Xx）= （ t） dt当 x0 时，F（x）= =00dt当 0x1 时，F（x）= + =00dt0dt22当 1x2 时，F（x）= + + =2x- -100dt10dt1（ 2） dt 22当 2x 时，F（x）= + + + =100dt10dt21（ 2） dt20dt故分布函数为 F（x）=0， x 022， 0 x 12x- 22 -1， 1 x 21， 2 x F（x）和 F（x）的图形如下22.（ 1）分子运动速度的绝对值 X 服从麦克斯韦（M
14、axwell ）分布，其概率密度为：f（x）= 22/， 0,0, 其他 . 其中 b=m/(2kT)，k 为玻尔兹曼常数， T 为绝对温度，m 是分子的质量，试确定常数 A。（2）研究了英格兰在 1875 年1951 年期间，在矿山发生导致不少于 10 人死亡的事故的频繁程度。得知相继两次事故之间的时间 T（日）服从指数分布，其概率密度为（t）= 1241/241， 0,0, 其他 . 求分布函数 F(t)，并且求概率 P（500 时， （ ） =（ t） =0+01241/241=1241故所求的分布函数为（t）= 1241， 0,0, 其他 . 而 P501000,0, 其他 . 现有一
15、大批此种器件（设各种器件损坏与否相互独立） ，任取 5 只，问其中至少有 2 只寿命大于 1500 小时的概率是多少？解：任取一只该种器件，其寿命大于 1500h 的概率为P=150010002=1000| 1500=23任取 5 只这种器件，其中寿命大于 1500 小时的只数记为 X，则 Xb(5， ).23故所求概率为 PX2=1-PX=0-PX=1=1（ 123） 21523(123)4=23224324.设顾客在某银行的窗口等待服务时间 X(min)服从指数分布，其概率密度为(x)= 15/5, 0,0, 其他 . 某顾客在窗口等待服务，若超过 10min，他就离开，他一个月要到银行
16、5 次，以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出 Y 的分布律，并求 P(Y1).解：顾客在窗口等待服务超过 10min 的概率为P=10(x)=10155=2故顾客去银行一次因未等到服务而离开的概率为 ，从而 Yb(5, )2 2那么，Y 的分布律为 PY=k= ， k=0,1,2,3,4,5.5(2)(12)5PY1=1-PY=0=1- =0.5167(12)525、设 K 在（0,5）服从均匀分布，求 x 的方程 4 +4Kx+K+2=0 有实根的概率。2解：4 +4Kx+K+2=0 有实根2即 4（ 4） 2 4（ +2） 0解得 K 或 K1 2由题知 K 在（0,5）
17、服从均匀分布即 02 3(2)确定 c 使得 =(3)设 d 满足 0.9， 问 至多 为 多少 ?解： =(0,1)(1) 22=2 3212=(52)+(12)=0.69773=1-(32 =即 3232=32321-32 32 =32 32 =0.5即32=0 可得 =3(3) 0.9即 32320.9即 (32 )0.9即 321.29即 0.42则 d 至多为 0.4227、某地区 18 岁的女青年的血压（收缩压，以 mmHg 计）服从 N(110， ) 分布，在该122地区任选一 18 岁的女青年，测量她的血压 X，求(1)105， 1000.05.解： =(0,1)(1) 105
18、=1101210511012=(0.417)=0.33831000.05即 11012110120.05即 110120.05.28.由某机器生产的螺栓的长度（cm ）服从参数 =10.05,=0.06 的正态分布。规定长度在范围 10.05 内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率。0.12解：设螺栓的长度为 X。 0.12=2，根据 3法 则 ，产品合格的概率 (合格 )= (10.050.1210.05+0.12)=95.44%不合格概率 ： (不合格 )=1(合格 )=4.56%29.一工厂生产的某种元件的寿命（h）X 服从参数为 的正态分布，若=160， （ 0）要求 P ，允许 最大为
19、多少？1202000.80 解：由正态分布图形得， 越小时， 落在 附近的概率越大 。当 120200=16040160+40=0.8时（ 40） =0.9根据标准正态分布表查得， 40=1.2831.20即 最大为 31.20.30.设在一电路中，电阻两段的电压（V）服从 今独立测量了 5 次，试确定 2(120， 22)，次测定值落在区间118,122之外的概率。解：设第 i 次测定值为 Xi， i=1,2,3,4,5，则 Xi-N（120,22）P118 Xi122= （ ）- （ ）210210-8=（1）-（-1）=2（1）-1=0.6826PXi【 118,122】=1-P118X
20、122=0.3174 （i=1,2,3,4,5）Xi 之间相互独立若以 Y 表示 5 次测量其测定值 Xi 落在【118,122】之外的个数Yb（5,0.3174）所求概率PY=2=C2 5（0.3174）2(0.6826)3=0.320431某人上班，自家里去办公室要经过一个交通指示灯，这指示灯有 80%时间亮红灯，此时他在指示灯旁等待直至绿灯亮。等待时间在区间0，30（以秒计）服从均匀分布。以X 表示他的等待时间，求 X 的分布函数 F（x） 。画出 F（x）的图形，并问 X 是否为连续性随机变量，是否为离散型的？（要说明理由）解 当他到达交通指示灯处时，若是亮绿灯则等待时间为 0，若是亮
21、红灯则等待时间 X服从均匀分布。记“指示灯亮绿灯”为事件 A。则对于固定的 x0，全概率公式有=()+()当 0x30 时， =10.2+x300.8=0.2+275当 x30时， =10.2+10.8=1于是得到 X 的分布函数为(x)=x)=0 0 0.2+275 030 1 0 F（x）的图像如图所示因 F(x)在 x=0 处有不连续点，故随机变量 X 不是连续型，又因不存在一个可列的点集，使得在这个点集上 X 取值的概率为 1，所以随机变量也不是离散型的，X 是混合型随机变量。32 设 f（x） ，g(x) 都是概率密度函数，求证h（x）=f（x）（1）g（x） ，01 也是一个概率函
22、数。解 因为 f（x） ，g(x) 都是概率密度函数，故有f（x）0，g(x) 0 且 +-f（ x） dx=1， +-g（ x） dx=1.因 01，故 10，所以有f（ x）0 ， （1）g（x）0，于是 h（x）0.又 +-h（ x） dx= +-f（ x） dx+（ 1） +-g（ x） dx= +（ 1） =1所以 h（x）是一个概率分布函数。33.设随机变量 X 的分布律为X -2 -1 0 1 3 15 16 15 115 1130求 Y=X的分布律。解 Y=X的所有取值为 0，1, 4, 9.=0=0=15=1=(=1)+=1= 115+16= 730=4=2=15=9=3=1
23、130所以 Y 的分配率为Y 0 1 4 9 15 730 15 113034.设随机变量 X 在区间（0,1）服从均匀分布。（1 ） 求 的概率密度。eY（2 ） 求 的概率密度。ln2解：（1）由 X 服从均匀分布可知 其 他01)(xxfX） 严 格 单 调 递 增在 （故） 恒 有在 （，1,0)( ,xggy eexx 由 可得 01)(ln)(yhyh故 其 他）（ 01eyyfY（2 ） 由 X 服从均匀分布可知 其 他）（ 01xxfX） 严 格 单 调 递 减，在 （故 ） 上 恒 有在 （，10)( ,02)(1,ln2xg xgy 由 可得l 21)()(2eeyyhhx
24、故 02)yyfY（35.设 XN(0，1)。（1）求 的概率密度。eXY（2）求 的概率密度 .2（3）求 的概率密度 .解：由 XN(0，1) 可知 xyefX21）（1） ） 严 格 单 调 递 增在 （故 ） 恒 有在 （， ,-)( 0)(,-xggyx由 可得 e1)(ln)(yhyh0021)(2)(lyyfyY（2） )21()1()()2yXPXPyFY当 时， =0， =01yY）（ yfY当 时，1yeFf FyYY XXy yyXPX41)(2)()( )21(21)2 ）（综上10)1(24yyyfyY）（3）eFyyf yFXPXfyyYY XYY2)()( )()
25、(00),)(时 ，时 ，）（综上 02yY）（36、 （ 1）设随机变量 X 的概率密度为 。的 概 率 密 度求 3XY.),(xf（2 ）设随机变量 X 的概率密度为 ，求 的概率密度。其 他0ef 2解：（1） 严 格 单 调 递 增，在 （ -)(3)(23xgxgy)031)()(2313 yyhyhy （可 得由0),(31)(312yfyfY（2 ）yY XXYYeyf yFyxPXfFyy 21)( )()()(),00,()22当当综上 0yfyY）（37、设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= ， 0x20， 其他 求 Y=sinX 的概率密度解：X 在（0，）取值Y=
26、sinX 在（0,1）取值当 y0 或 y1 时，f（y）=0当 0y1 时，Y 的分布函数为F(y)=PYy=P0Yy=P0sinXy=P（0Xarcsiny）（-arcsinyX） =P0Xarcsiny+P-arcsinyX= dx+ dx0 2 2= （arcsiny）+1- （-arcsiny）1 1= arcsiny2当 0y1 时，f（y）= F（y）= 21所求概率密度为：， 0y121f（y）=0 ， 其他38、设电流 I 是一个随机变量，它均匀分布在 9A11A 之间。若此电流通过 2的电阻，在其上消耗的功率 W=2I。求 W 的概率密度。解：电流 I 的概率密度为 f（i
27、）= ，9i11，120 ，其他W=2I 即 w=g（i）=2i在 i0 时，g（i）严格单调增加且反函数 h(w)= -12212g(9)=162 g(11)=242由书中定理（5.2） ，可知 W=2I的概率密度为f（w）= （ - ） ， 162w24212 122120 ， 其他即f（w）= 162w24214 120 ， 其他39、设物体的温度 T（F）是随机变量，且有 TN（98.6,2） ，已知 Y= （T-32） ，试求 Y（C）的概率密度。59解：T 的概率密度为 f（t）= e- ，-t12（ 98.6） 4将 Y 的分布函数记为 F（y） ，则F（y）=PYy=P （T-32）y59PT 95+32=95+32（ ） 关于 y 求导得关于 Y 的概率密度f（Y）=f（ ）59+32 95= e- （9512 1459+32-98.6） f（Y）= e-91081（ -37） 100
