1、2018/3/8,1,自由度计算,自由度(Degree of Freedom, DOF) ： 物体能够对坐标系进行独立运动的数目。 刚体在三维空间中有6个自由度，显然机器人要完成任一空间作业，也需要6个自由度。机器人的运动是由手臂和手腕的运动组合而成的。通常手臂有3个关节，用以改变手腕的位置，称为定位机构；手腕也有3个关节，通常这3个关节轴线相交，用来改变末端件（手爪）的姿态，称为定向机构。机器人可以看成是定位机构连接定向机构,2018/3/8,2,自由度计算,自由度(Degree of Freedom, DOF) ： 对于6自由度并联机器人，其结构是闭环结构，主要优点是结构刚度大，由6个油缸
2、驱动，决定末端执行器的位置和姿态。油缸的1端与基座相连（2自由度虎克铰），另1端与末端执行器相连（3自由度球铰），该机器人将手臂和手腕的自由度集成在一起。主要特点为：刚度大，但运动范围十分有限，运动学反解特别简单，而运动方程的建立特别复杂，有时还不具备封闭的形式,2018/3/8,3,自由度计算,自由度(Degree of Freedom, DOF) ： 其自由度的计算不如开式链明显，根据机构自由度公式可以确定并联机器人的自由度,l连杆数，包括基座；n关节总数；fi第i个关节的自由度数,2018/3/8,4,自由度计算,自由度(Degree of Freedom, DOF) ： Stewart
3、平台有18个关节，14个连杆，18个关节有36个自由度，代入上式得,2018/3/8,5,第二章 机器人运动学,2-1概 述机器人运动学是研究机器人各关节运动的几何关系。,机器人关节由驱动器驱动，关节的相对运动导致连杆 的运动，使手爪到达所需的位姿,机器人可以看成开式运动链，由一系列连杆通过转动或移动关节串联而成。,机器人的执行机构是一个多刚体系统,2018/3/8,6,2-2 研究的问题和方法,本章研究的问题：机器人的正逆运动学,当已知所有的关节变量时，可以用正运动学来确定机器人末端手的位姿；如果要使机器人的末端手放在特定的点上并且具有特定的姿态，可用逆运动学来计算出每一关节变量的值。,本章
4、研究的方法：,首先用矩阵建立物体位姿以及运动的表示，然后研究直角、圆柱及球坐标等不同构型机器人的正逆运动学，最后利用DH表示法推导机器人所有可能构型的正逆运动学,2018/3/8,7,2-3 空间点的表示,空间点P可以用三个坐标来表示空间点的位置,可以用向量表示：,用矩阵表示：,2018/3/8,8,2-4 转动矩阵,1刚体位置和方向的矩阵表示,对于一个刚体，若给定了其上某一点的位置和该刚体在空间的姿态，则这个刚体在空间完全得到定位。,刚体在O系中的坐标可用一个列矩阵表示：,（2-1）,2018/3/8,9,2-4 转动矩阵,1刚体位置和方向的矩阵表示,刚体在固定坐标系内的方向可用由 三个矢量
5、组合起来的3阶矩阵C表示,（2-2）,2转动矩阵的一般形式 刚体的运动由转动和平移组成，而运动的描述可以用上述O系和O系的关系来表达，因此我们首先看反映刚体定点转动的坐标系变换矩阵转动矩阵，这是研究机器人运动姿态的基础。,2018/3/8,10,2-4 转动矩阵,2转动矩阵的一般形式设有两个共原点的右手坐标系 OXiYiZi和 OXjYjZj 空间有一点P，该点在i、j系内的坐标分别为,P点从j系变换到i系的坐标变换关系为：,2018/3/8,11,2-4 转动矩阵,2转动矩阵的一般形式,(23),（24）,（25）,2018/3/8,12,2-4 转动矩阵,2转动矩阵的一般形式,即为一般形式
6、的转动矩阵，也称为从j系向i系变换的转动矩阵。对i系来说， 描述了j系的姿态，故也称其为姿态矩阵，又因 内各元素皆为坐标轴之间的方向余弦，所以也可称之为方向余弦矩阵，也可用 表示。,当两个坐标系无相对转动时，,若取j系为参考系，则P点从i系到j系的坐标变换关系为：,（26）,2018/3/8,13,2-4 转动矩阵,转动矩阵为正交阵,（27）,2018/3/8,14,2-4 转动矩阵,3绕一个坐标轴旋转的转动矩阵,绕X、Y、Z坐标轴的旋转（图23）变换矩阵是最基本的转动矩阵，它们是一般转动矩阵的特例，故可直接由一般转动矩阵得到。,2018/3/8,15,2-4 转动矩阵,3绕一个坐标轴旋转的转
7、动矩阵,由式（25）可得到绕x轴旋转角的转动矩阵为：,（28）,2018/3/8,16,2-4 转动矩阵,3绕一个坐标轴旋转的转动矩阵,（29）,（210）,2018/3/8,17,2-4 转动矩阵,3绕一个坐标轴旋转的转动矩阵,从上述三个矩阵可以总结出转动矩阵的若干特点：1)主对角线上有一个元素为1，其余均为转角的余弦；2)绕轴转动的次序与元素1所在的行、列号对应； 3)元素1所在的行列，其它元素为零； 4)以元素1所在的行为准，至上而下，先出现的正弦为负，5)后出现的为正。这四个特点可以帮助我们有效地记忆。,2018/3/8,18,2-4 转动矩阵,4绕两个坐标轴旋转的转动矩阵,设坐标系
8、先绕Zi旋转角形成坐标系 ，再绕Xm轴旋转角，形成坐标系 如图24，,（211）,（212）,2018/3/8,19,2-4 转动矩阵,4绕两个坐标轴旋转的转动矩阵,（213）,此式表明，运用转动矩阵的连乘可以进行坐标系的连续变换，此时的转动矩阵为：,（214）,2018/3/8,20,2-4 转动矩阵,5绕三个坐标轴旋转的转动矩阵,三次旋转的方式很多，机器人学中多采用欧拉角（Euler）旋转，所谓欧拉角即对绕轴转动的转角规定一个序列，由于欧拉角的不同取法，转动矩阵有不同的表达式。,1) 用欧拉角 、 、 表示,（215）,2018/3/8,21,2-4 转动矩阵,5绕三个坐标轴旋转的转动矩阵
9、,此式右边表示三次连续旋转的转动矩阵。反之，右边三个矩阵从右向左连乘，表示各次旋转均绕参考系i的有关轴进行，即先绕Z轴旋转 角，再绕Y轴旋转角，最后再绕Z轴旋转 角，如此可同样得到j系对i系的姿态。可见多个转动矩阵连乘时，次序不同则含义不同，右乘的次序说明连续绕新的坐标轴转动，往左乘的次序则表明绕固定参考系坐标轴依次转动。,2018/3/8,22,2-4 转动矩阵,5绕三个坐标轴旋转的转动矩阵,（216）,2018/3/8,23,2-4 转动矩阵,5绕三个坐标轴旋转的转动矩阵,2) 用横滚角 、俯仰角、侧摆角 表示,这三个角是导航专业中常用的，如图26所示，j系开始时与i系重合，横滚（Roll
10、）是绕Zi轴旋转 角，俯仰（Pitch）是绕Yi轴旋转角，侧摆（Yaw）是绕Xi轴旋转 角。我们规定旋转次序为先绕Xi轴、再绕Yi轴、最后绕Zi轴，则三次转动矩阵为：,2018/3/8,24,2-4 转动矩阵,2018/3/8,25,2-4 转动矩阵,（217）,2018/3/8,26,2-5 齐次坐标变换,刚体的运动是由转动和平移组成的，纯转动变换阵如上节所述用33矩阵来表示，显然此三阶矩阵内的元素均与转动有关，已不可能反映平移，为了能让同一矩阵表示转动和平移，有必要引入44的齐次坐标变换矩阵。,1 齐次坐标,在三维直角坐标系中，一个点可以表示为 ，若用4个数组成一个列向量：,2018/3/
11、8,27,2-5 齐次坐标变换,来表示上述点 ，且令它们的关系为：,则称 称为三维空间点 的齐次坐标，如 是点 的齐次坐标。,2018/3/8,28,2-5 齐次坐标变换,坐标系在固定参考坐标系原点的表示,2018/3/8,29,2-5 齐次坐标变换,坐标系在固定参考坐标系中的表示,2018/3/8,30,2-5 齐次坐标变换,例：如图所示，F坐标系原点在参考坐标系中的坐标（3，5，7），它的n轴与x轴平行，o、a分别相对于y、z轴的角度均为45度，求该坐标系与参考坐标系的齐次变换矩阵,2018/3/8,31,2-5 齐次坐标变换,刚体的表示,2018/3/8,32,2-5 齐次坐标变换,空间
12、的一个刚体有六个自由度；上式给出了12条信息，其中9条为姿态信息，3条为位置信息；表达式中必定存在一定的约束条件将上述信息数限制为6。因此，需要用6个约束方程将12条信息减少到6条信息,2018/3/8,33,2-5 齐次坐标变换,三个向量 ， ， 相互垂直 ；每个单位向量的长度必须为1 。这些约束条件可转换为六个约束方程：,2018/3/8,34,2-5 齐次坐标变换,前三个方程也可以换用如下三个向量的叉积来代替：,例：对于下列坐标系，求解所缺元素的值，并 用矩阵来表示这个坐标系。,2018/3/8,35,2-5 齐次坐标变换,解：,将数值代入上式，得,2018/3/8,36,2-5 齐次坐
13、标变换,解这个方程组得：,2018/3/8,37,2-5 齐次坐标变换,2 齐次变换（H变换）,1 )平移的齐次变换,（218）,（219）,2018/3/8,38,2-5 齐次坐标变换,2 齐次变换（H变换）,1 )平移的齐次变换,例21 向量U=3i+4j+6k沿向量P=2i+5j-k平移，求平移后生成的新向量V,2018/3/8,39,2-5 齐次坐标变换,如果一坐标系(它也可能表示一个物体)在空间以不变的姿态运动，那么该变换就是纯平移。在这种情况下，它的方向单位向量保持同一方向不变。所有的改变只是坐标系原点相对于参考坐标系的变化，相对于固定参考坐标系的新的坐标系的位置可以用原来坐标系的
14、原点位置向量加上表示位移的向量求得。若用矩阵形式，新坐标系的表示可以通过坐标系左乘变换矩阵得到。由于在纯平移中方向向量不改变，变换矩阵T可以简单地表示为：,2018/3/8,40,2-5 齐次坐标变换,2018/3/8,41,平移的齐次变换,新的坐标系位置为：,这个方程也可用符号写为：,2018/3/8,42,平移的齐次变换,例：坐标系F沿参考坐标系的x移动9，沿z 移动5，求新的坐标系位置,2018/3/8,43,平移的齐次变换,解：,2018/3/8,44,2-5 齐次坐标变换,2 齐次变换（H变换）,1 )平移的齐次变换,平移变换不改变向量之间，向量与平面之间的关系,2)旋转的齐次变换,
15、（220）,2018/3/8,45,2-5 齐次坐标变换,2 齐次变换（H变换）,2)旋转的齐次变换,（221）,（222）,2018/3/8,46,2-5 齐次坐标变换,2 齐次变换（H变换）,2)旋转的齐次变换,例22 已知齐次坐标系一点U7 3 2 1T，将此点 绕Z旋转90度，再绕Y转90度，求旋转后的 点W。,2018/3/8,47,2-5 齐次坐标变换,2 齐次变换（H变换）,2)旋转的齐次变换 解：,2018/3/8,48,2-5 齐次坐标变换,2 齐次变换（H变换）,3) 平移加旋转的齐次变换,例23如果W再沿矢量4i3j7k平移，得到最后矢量E解：,2018/3/8,49,2
16、-5 齐次坐标变换,2 齐次变换（H变换）,3) 平移加旋转的齐次变换,2018/3/8,50,2-5 齐次坐标变换,变换图说明：,第一次变换后,第二次变换后,第三次变换后,2018/3/8,51,2-5 齐次坐标变换,上例中，如果变换顺序为：1）绕z轴旋转90度，接着平移【4，3，7】，然后再绕y轴旋转90度，求该点相对于基坐标系的坐标。,2018/3/8,52,2-5 齐次坐标变换,图表说明,2018/3/8,53,2-5 齐次坐标变换,3 杆件空间位姿的描述 用齐次变换描述机器人的空间位姿，一般采用两个坐标系： 固定在基座上的固定坐标系，不随杆件运动，叫基准参考 坐标系；一个为固连在杆件
17、上，随杆件运动，叫杆件坐标 系或杆系 例24 一个棱柱体原始位置如图（a），变换前固定 系OXYZ与动系OXYZ重合，棱柱体在动系中的姿态可 用6个点描述：,2018/3/8,54,2-5 齐次坐标变换,3 杆件空间位姿的描述,2018/3/8,55,2-5 齐次坐标变换,3 杆件空间位姿的描述,若让棱柱体绕Z旋转90度，再绕Y转90度，再沿X平移4，则变换为,2018/3/8,56,2-5 齐次坐标变换,2018/3/8,57,2-5 齐次坐标变换,由于动系与杆件的关系是固定不变的，动系与固定系的相对位姿可以用变换矩阵来表示，只要动系的位姿确定了，则杆件在空间中的位姿也就可以确定，也就是说，
18、我们可以用齐次变换来描述物体在空间的位置和方向。,2018/3/8,58,2-5 齐次坐标变换,4 齐次变换的性质,4.1 变换过程的相对性,本节所讲的齐次变换都是对固定坐标系而言的，如前面例子中：,其变换过程如右图所示，动系先绕固定系Z轴旋转90度，再绕Y轴旋转90度，最后平移4i3j+7k，变换从右往左进行。 如果按相反顺序变换，即从左往右进行，变换过程如图左所示 最后结果是一样的 一般说来，当变换矩阵左乘时，产生的变换是相对于固定系进行的，变换矩阵右乘时，所产生的变换是相对于动系的。,2018/3/8,59,2-5 齐次坐标变换,4.2 变换过程的可逆性,齐次坐标变换是可逆的，逆变换就是
19、使被变换的动系回到固定系中以例24中的齐次变换为例：,若从逆方向看图（b），固定系的X轴与动系的Z轴方向一致，故X轴在动系中可表示为0,0,1,0T 同样固定系的Y轴可表示为1, 0,0, 0TZ轴为0, 1, 0, 0T，原点可表示为0,0,4,1T于是逆变换表示为: 可通过HH1I检验逆变换的正确性,2018/3/8,60,2-5 齐次坐标变换,4.3 变换过程的封闭性,为了说明封闭性，见下图，机器人的手部的中心点在固定系中的位姿可以用两种变换来表示。一种是通过固定系原点机器人机座机器人胸部手部中心点的变换来表示，即Z一T6一E。另一种是通过固定系原点被夹持物体的角点机器人手部中心的变换来
20、表示，即BG。由于两个变换的起终点相同，故两个变换相同，即,2018/3/8,61,2-5 齐次坐标变换,此式叫变换方程，该方程可以用一个有向变换图来表示，见图，图中每一个弧段表示一个变换，从变换的起点向外指，封闭于共同的终点，组成一个封闭的圆形。 利用此变换图，可以求出变换方程（223）中的任意一个变换，只需要从所要求的变换的弧段的尾部出发，沿着圆周转一圈到该变换的头部，凡顺着箭头的为正变换，反之为逆变换，这样就可以写出变换的结果。如要列出G变换，可从G弧段的尾部出发，逆时针转到G的头部，于是可得到 可见使用变换图简化了变换方移的求解。,2018/3/8,62,2-6 一般旋转变换及等效变换
21、,讨论绕通过坐标系原点的任意向量K的旋转变换,1 一般旋转变换,K为某坐标系C的Z轴单位向量，而K向量在基准坐标系A中，设,2018/3/8,63,2-6 一般旋转变换及等效变换,若i、j、k为基准坐标轴的单位向量，则K可表示为：,绕K轴旋转等于绕C系内的Z轴旋转，即：,设坐标系D相对于A的变换矩阵ATD ，那么我们就知道D相对于C的坐标变换矩阵CTD。,（227）,（228）,（225）,（226）,2018/3/8,64,2-6 一般旋转变换及等效变换,绕K轴转动D，相当于绕C系的Z轴旋转D，即,（229）,（230）,（231）,2018/3/8,65,2-6 一般旋转变换及等效变换,式
22、中：,2018/3/8,66,2-6 一般旋转变换及等效变换,令,定义：,则有：,上式即为绕任意向量K旋转时变换矩阵的一般表达式绕坐标轴旋转只是其特例,2018/3/8,67,2-7 一般旋转变换及等效变换,这里讨论的是一般旋转变换的逆过程，即任给一个旋转变换，如何根据式(2-33)求出相应的转轴和转角。,2 等效旋转角与转轴,设已知一个旋转变换R,我们不妨认为这个变换是绕K轴旋转角得到的，即R = Rot(K,)，展开此式得,2018/3/8,68,2-7 一般旋转变换及等效变换,将式（2-34）两边的主对角线元素相加，并整理得,再将式（2-34）中的有关元素相减，得,将此三式平方相加，可得：,2018/3/8,69,2-7 一般旋转变换及等效变换,我们规定当,这样我们就求得了角。 再由是（2-36）有,研究一般旋转变换的意义在于它可以简化绕坐标轴的旋转变换，取得同样的效果，即绕坐标轴的多次旋转组合变换可以由绕某个K轴旋转角一次完成。,时，是绕K轴的正方向旋转，则：,
