1、n阶行列式一、全排列与逆序数1.全排列n个不同的元素排成一列，称为 n个元素的全排列。如： 12345678， 76532184，等等均为 8个元素的全排列。n个元素的全排列共有 n！个。 2.逆序与逆序数 全排列 123 n称为标准排列 ,此时元素之间的顺序称为标准顺序。在任一排列中，若某两个元素的顺序与标准顺序不同，就称这两个元素构成了一个逆序。213中， 2与 1就构成了一个逆序。 321中， 1与 2，2与 3， 1与 3都构成逆序。 在一个排列中，逆序的总和称为逆序数。如 213的逆序数为 1， 321的逆序数为 3。 逆序数怎样求 ? 从第一个元素起， 该元素前有几个数比它大，这个
2、元素的逆序就是几。将所有元素的逆序相加，即得到排列的逆序数 。例 1.求全排列 135(2n-1)24(2n)逆序数。解 : 1,3,5,(2n-1)不构成逆序 .2前面有 n-1个数比它大 ,故有 n-1个逆序 .4前面有 n-2个数比它大 ,故有 n-2个逆序 .依次下去 , 2n前面没有数比它大 ,故没有逆序 .将所有元素的逆序相加 ,得逆序数 :1+2+3+ +(n-1)=n(n-1)/2 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。如 : 在 3个元素的全排列中， 123， 231，312为偶排列，逆序数分别为 0,2,2. 132， 213， 321为奇排列 ,逆序
3、数分别为1， 1， 3. 3.对换 在一个排列中，任意对调两个元素，其余元素不变，即得到一个新排列，这样一种变换称为对换。对换有两个性质 :1.任意一个排列经一次对换后改变奇偶性 .2.在 n个元素的全排列中 ,奇偶排列各占一半 ,为 n!/2.332112322311312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa由三阶行列式可得如下结论 排列求和的全，对）（321321333231232221131211321)1(2jjjNaaaaaaaaaaaa的逆序数。为 321 jjjN321 321)1(
4、jjj aaannnnnnaaaaaaaaa212222111211nnijnaDjjjN记为有时简的逆序数为全排列其中 .21 2n 个数排成的一个 n行 n列的记号nnn njjjjjjjN aaa 2111 21)()1( nnaaa2211.1例nnaaa 2211nnnnjjjjjjjN aaa 211121)()1( 0)12( nN nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa2221121121222111.2 例nnaaa 2211nnnnjjjjjjjN aaa 211121)()1( 0)12( nN 1)1(2211)1(111)1(12)1(21.3nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa例1)1(212)1()1( nnnnnaaa nnnnjjjjjjjN aaa 211121)()1( 2)1()21(nnnN
