1、第一篇 力学基础,第一章 刚体受力分析 第二章 金属力学性能 第三章 受拉构件的强度计算 与受剪切构建的实用计算 第四章 直梁的弯曲 第五章 圆轴的扭转,1 弯曲概念和梁的分类 2 梁的内力分析 3 纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件 4 直梁弯曲时的剪应力 5 梁的变形 6 本章小结,第四章 直梁的弯曲,第一节 弯曲概念与梁的分类,一、弯曲变形的宏观表现与实例,图4-1 受力分析,图4-1所受到的外力有如下特点：,(1)外力均与梁的轴线垂直;,(2)外力彼此相距较远.,凡具备以上受力特点，并产 生弯曲变形的杆统称为梁。,三、梁的外力、梁的支座,（1）集中力P 作用面积很小时可视为集中力（N）
2、 （2）分布力q 沿梁轴线分布较长（N/m） （3）集中力偶m 力偶的两个力分布在很短的一段梁上（Nm）,第一节 弯曲概念与梁的分类,第一节 弯曲概念与梁的分类,梁的支座：,a)活动铰链支座,b)固定铰链支座,c)固定端,第一节 弯曲概念与梁的分类,二. 梁的几个主要类型和名称,简支梁,悬臂梁, 外伸梁,：一个固定铰链支座和一个活动铰链支座，有一端或两端伸出支座以外,：一端固定，另一端自由。,例1 简支梁的受力分析,利用静力学平衡方程：,第一节 弯曲概念与梁的分类,思考题：悬臂梁的受力分析,第一节 弯曲概念与梁的分类,1 弯曲概念和梁的分类 2 梁的内力分析 3 纯弯曲时梁的正应力及正应力强度
3、条件 4 直梁弯曲时的剪应力 5 梁的变形 6 本章小结,第四章 直梁的弯曲,第二节 梁的内力分析,一、梁横截面内的内力,1. 从力的平衡看梁中的内力,用截面法求1-1截面内力：以任一段如左段为对象，受力如图所示。,由静力平衡方程知：,剪力,弯矩,RA=RB=P,1,1,求2-2截面内力：以右段为对象,弯曲变形时梁横截面上的内力包括剪力Q和弯矩M。,剪力,弯矩,AC段和BD段截面内有剪力和弯矩，属于剪切弯曲。CD段截面内只有弯矩，没有剪力（=0），属于纯弯曲。,2,2,第二节 梁的内力分析,第二节 梁的内力分析,2. 从弯曲变形看弯矩,1）纵向纤维变成了弧线，凹入边纵向纤维缩短了，突出边 n1
4、n2伸长了， O1O2长度不变。,2）横向线a1b1、a2b2仍为直线，说明变形前的横截面变形后仍然保持为平面。,加载后发生弯曲：,第二节 梁的内力分析,3）a1b1与a2b2不再平行（互相倾斜），说明横截面a1b1与a2b2发生了相对转动。,第二节 梁的内力分析,中性层：梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。,中性轴：中性层与横截面的交线,中性层,梁的弯曲，实际是上各个截面绕着中性轴的相对转动。,第二节 梁的内力分析,将梁沿中性轴纵向切开,(1)作用在中性轴上面的是压应力； (2)作用在中性轴下面的是拉应力。,根据弯矩的定义,第二节 梁的内力分析,剪力计算法则：梁任一横截面上
5、的剪力等于该截面一侧（左侧或右侧都可）所有横向外力的代数和。截面左侧向上的外力和截面右侧向下的外力取正值；截面左侧向下的外力和截面右侧向上的外力取负值。,二、剪力和弯矩的计算,Q=P0,Q=P0,Q=P0,Q=P0,第二节 梁的内力分析,弯矩计算法则：梁在外力作用下，其任意截面上的弯矩等于该截面一侧所有外力对该截面中性轴取矩的代数和。凡是向上的外力，其矩取正值；凡是向下的外力，其矩取负值；若梁上有集中力偶，截面左侧顺时针方向的力偶或截面右侧逆时针方向的力偶取正值，反之取负值。,第二节 梁的内力分析,梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变化的，其变化规律，可以用坐标 x 表示横截面沿梁轴线的位
6、置，将梁各横截面上的剪力和弯矩表示为坐标 x 的函数，即：,剪力图和弯矩图,剪力方程 弯矩方程,以平行于梁轴线的横坐标x，表示横截面的位置，以纵坐标表示各对应横截面上的剪力和弯矩，画出剪力和弯矩与x的函数曲线，称为剪力图和弯矩图。,第二节 梁的内力分析,B,例4-1 如图所示的简支梁，跨度l =1m， 作用三个集中载荷，P1=500N， P2=1000N，P3=300N， a=0.25m, b=0.2m,试做出该梁 的剪力图和弯矩图,解 以A为支点，据平面力系的平衡条件 SM=0,P1*a+P2* l /2 +P3*(l -b)-Rb* l =0,500*0.25+1000*0.5+300*0
7、.8-Rb*1=0,Rb=865N,同理，根据 Sy=0 = Ra=935N,第二节 梁的内力分析,CD段：,DE段：,EB段：,第二节 梁的内力分析,例2 图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。,解：1）求支反力,2）列剪力方程和弯矩方程,第二节 梁的内力分析,在均布载荷作用下，弯矩图为抛物线；q向下时抛物线开口向下；q向上时，抛物线开口向上。,第二节 梁的内力分析,1 弯曲概念和梁的分类 2 梁的内力分析 3 纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件 4 直梁弯曲时的剪应力 5 梁的变形 6 本章小结,第四章 直梁的弯曲,第三节 纯弯曲梁的正应力,一、 纯弯曲时梁横截面上的
8、正应力,1. 变形几何关系,(1)横向线a1b1和 a2b2仍然为直线，但相互倾斜，与弯后纵线m1m2和n1n2仍然正交；,(2)纵线m1m2和n1n2变为弧线，凹入边m1m2缩短，凸出边n1n2伸长。,纯弯曲试验现象：,距中性层距离为y处的纵向纤维,变形前, ：中性层的曲率半径,变形后,伸长量：,线应变：,第三节 纯弯曲梁的正应力,第三节 纯弯曲梁的正应力,2. 正应力分布规律,根据虎克定律，当应力不超过比例极限时：,横截面上任意一点的正应力，与该点到中性轴的距离成正比。距中性轴越远，应力越大。距中性轴同一高度上各点的正应力相等。中性轴上y=0，=0。,正应力分布规律：,第三节 纯弯曲梁的正
9、应力,例 4-3 直径为1mm的钢丝缠绕在一圆柱体上，要保持收弯 钢丝的弹性，试问圆柱体的直径不得小于多少？已知钢丝 的比例极限时400MPa，弹性模量E=2105MPa。,解：根据,所以圆柱体的直径不得小于2r即500mm,启发：对承载用的钢丝绳，在横截面积相等的条件下 ，钢丝 细些，根数多些，钢丝绕性越好，便于捆绑物体,第三节 纯弯曲梁的正应力,3. 曲率与弯矩的关系,弯矩M即截面上分布内力的合力偶矩，所以,令,横截面对中性轴z的轴惯性矩,轴惯性矩Iz只与横截面的几何形状有关。,第三节 纯弯曲梁的正应力,4. 正应力的计算公式,弯曲正应力计算公式 适用范围：,弯曲正应力计算公式,1）纯弯曲
10、和l/h5剪切弯曲 2）有纵向对称面的梁（未必为矩形） 3）弹性变形阶段（ ）,第三节 纯弯曲梁的正应力,最大正应力、及位置：,最大正应力发生在离中性轴最远处上、下边缘,令,横截面对中性轴z的抗弯截面模量,横截面上最大正应力计算式,第三节 纯弯曲梁的正应力,5. 截面的Iz与Wz,第三节 纯弯曲梁的正应力,二、正应力的强度条件,一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；,2. 正应力强度条件,1. 危险面与危险点,许用弯曲应力,脆性材料（如铸铁）抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑。,梁横截面不对称于中性轴时（如T字型钢），上下表面抗弯截面模量不同。,说明：,第三节 纯弯曲梁的
11、正应力,例题4-4：已知：l=3m，h=15cm，b=10cm，q=3000N/m，许用弯曲应力b =10MPa。按正应力校核强度。,所以强度足够,解：最大弯矩,第三节 纯弯曲梁的正应力,例4-5： 已知许用弯曲应力b =120MPa ，l=1.6m，矩形截面a/b=2，其它如图所示。试确定三种梁截面的尺寸。,解：梁的最大弯矩,梁为矩形平放时：,a=10.6cm b=5.3cm,第三节 纯弯曲梁的正应力,梁为矩形立放时：,a=10.6cm b=5.3cm,A=53.2cm2,a=8.4cm b=4.2cm,A=35.3cm2,梁为工字钢时：,查表取10号工字钢，横截面积A=14.3cm2,三种
12、不同截面的梁所需的横截面积之比：,工字钢：矩形立方：矩形平放=1：2.47：3.72,满足相同的强度条件，工字钢用料最省。,第三节 纯弯曲梁的正应力,三、梁的合理设计,在一般情况下，弯曲正应力是控制梁弯曲强度的主要因素，根据正应力强度条件，要提高梁的弯曲强度，可从以下方面考虑： 1. 选择合理的截面形状 2. 合理安排梁的受力情况,第三节 纯弯曲梁的正应力,1）将荷载分散,2）合理设置支座位置,第三节 纯弯曲梁的正应力,2. 合理选取截面形状,M一定时，Wz越大，越小，强度增加。,当截面积一定时，材料分布在离中性轴较远处可获得较大的Wz。,实例：工字形、空心矩形（竖放）、圆环形均属合理截面。,
13、1 弯曲概念和梁的分类 2 梁的内力分析 3 纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件 4 直梁弯曲时的剪应力 5 梁的变形 6 本章小结,第四章 直梁的弯曲,第四节 直梁弯曲时的剪应力,对一般细长梁，剪力对强度和刚度影响很小，可不考虑，强度计算时只考虑正应力即可。但对跨距短、截面高而窄的矩形截面梁，腹板薄的工字梁等则不能忽视。无论何种截面，最大剪应力均发生在中性轴上。,梁弯曲时，既有剪力，又有弯矩，弯矩形成正应力，剪力产生剪应力。因此梁弯曲时，截面上既有正应力（纯弯曲只有正应力），又有剪应力。,第四节 直梁弯曲时的剪应力,一、矩形截面梁,最大剪应力：中性轴上，是平均剪应力得1.5倍,剪应力：,第四
14、节 直梁弯曲时的剪应力,例题4-7 图示一矩形截面悬臂梁，试比较横截面内发生的最大剪应力和最大正应力。,非薄壁梁的剪应力比正应力小得多，剪切弯曲的强度可只按正应力计算，不必考虑剪应力。,第四节 直梁弯曲时的剪应力,二、工字形截面梁,翼缘部分max腹板上的max，只需计算腹板上的max。 剪应力主要由腹板承受（9597%），且腹板上maxmin 工字钢最大剪应力约等于最大剪力除以腹板面积：,第四节 直梁弯曲时的剪应力,Q所讨论截面上的剪力 A圆环的截面面积,实例：卧式容器,最大剪应力：中性轴处，其值为平均剪应力的2倍。,三、环形截面梁,第四节 直梁弯曲时的剪应力,四、实心圆截面梁,最大剪应力在中
15、性轴上：,第四节 直梁弯曲时的剪应力,例4-8 试对例题4-5和4-6中的工字梁进行剪切强度校核，已知材料的需用剪应力=40MPa。,解：例题4-5中所求的工字钢为10号，查附表A-1钢板厚度d=4.5mm，腹板高h0=100-27.6=84.8mm,由表4-1知，,根据例题4-6结果，,查附表A-1知，钢板厚度d=5.5mm,腹板高h0=140-29.1=121.8mm,工字钢等梁正应力达到许用应力时，最大剪应力仍远低于许用剪应力。,第四节 直梁弯曲时的剪应力,需要校核剪应力的几种特殊情况：,对一般细长梁，剪力对强度和刚度影响很小，可不考虑，强度计算时只考虑正应力即可。,1）梁的跨度较短，M
16、 较小，而Q较大时，要校核剪应力；2）铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力； 3）各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。,1 弯曲概念和梁的分类 2 梁的内力分析 3 纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件 4 直梁弯曲时的剪应力 5 梁的变形 6 本章小结,第四章 直梁的弯曲,第五节 梁的变形,一、梁的挠度和转角,梁除去应满足强度条件不发生破坏外，还应满足刚度条件，以保证工况良好。,梁变形时，横截面的位移有两种： 梁的各个横截面都发生了绕各自中性轴的转动 梁的各个横截面的形心出现了程度不同的位移,转角：横截面绕中性轴转过的角度,转角逆时针为正
17、,挠度y：截面形心在y方向的位移，向上为正。,第五节 梁的变形,二、梁的刚度校核,梁的弯曲刚度主要用最大挠度和转角来控制。只要最大挠度不超过许用挠度f ，最大转角不超过许用转角，就认为有足够的刚度，即,梁弯曲变形时的刚度条件,许用挠度f 和许用转角可从有关的手册中查到,1 弯曲概念和梁的分类 2 梁的内力分析 3 纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件 4 直梁弯曲时的剪应力 5 梁的变形 6 本章小结,第四章 直梁的弯曲,本章小结,销钉,梁,受剪,按剪力强度计算,弯曲,弯曲正应力,弯曲变形的主要参数,相对转角，曲率改变,转角，挠度,弯曲正应力的计算公式，该计算公式在纯弹性条件下使用,梁的合理截面,第五节 梁的变形,作业,习题5，7，8，9,第五节 梁的变形,习题讲解 5,习题讲解 7,1.计算最大弯曲应力,2.查表,1.根据弯矩强度计算，画出弯矩强度分布图,2.利用弯矩强度和许用应力之间的关系进行校核计算,第五节 梁的变形,习题讲解 8,习题讲解 9,1.计算剪切强度,2.查表,
