1、椭圆的定义、标准方程和几何意义1求椭圆的标准方程1. 已知椭圆的焦点或离心率，求椭圆的标准方程.分析：主要考查椭圆的标准方程中 ， ， 的关系： 和离心率：abc22cba.ace例 1.（ 2015 年广东卷文科 8 题）已知椭圆 （ ）的左焦点为 ，则 （ ）1252myx0)0,4(1FmA. B. C. D.39解：椭圆焦点在 轴， ， ， ， ，则 .x5ambc162523考查：椭圆的标准方程.例 2.（ 2013 年广东卷文科 9 题）已知中心在原点的椭圆 的右焦点为 ，离心率为 ，则 的方程是（ ）C)0,1(F21CA. B. C. D.1432yx342yx42yx1342
2、yx解：椭圆焦点在 轴， ， ，所以 ，则 ，1cae 22cab所以 的方程是 .C342yx考查：椭圆的标准方程例 3. 已知椭圆的焦点在 轴上，若椭圆 的离心率为 ，则 的值为y12myx21m（ ）A. B. C. D.32343538解：因为椭圆的焦点在 轴上，所以 ， ， ，则yma22b22c， .4122mace38考查：椭圆的焦点和离心率.例 4. 椭圆 的离心率为 ，则 的值为（ ）1922kyx54kA. B. C. 或 D. 或12192519解：若 ，即 时， ， ， ，则04k4kakb4kc，则 ；25692ace2519若 ，即 时， ， ， ，则 ，4kka4
3、2b52kc251642kace则 .1综上所述 或 .259k1考查：椭圆的焦点和离心率.2. 已知椭圆的离心率和焦点三角形的周长，求椭圆的标准方程分析：主要考查椭圆的定义： ，焦点三角形 的周长为 .aPF212ABFa4例 1.（ 2011 年全国卷理科 14 题）在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 ， 在 轴上，离心率xOyC12x为 ，过 的直线 交 于 ， 两点，且 的周长为 ，那么 的方程21FlAB2AF6C为 .解：如图 的周长 ，2AB 14212 aBF则 ， ，所以 ，则 ，4aceaec82cab所以 的方程为： .C1862yx3.532.521.510
4、.50.511.522.533.57654321 1234567BF1 F2A考查：椭圆的离心率、焦点三角形的周长、标准方程例 2.（ 2014 年全国大纲卷理科 6 题）已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点为 ， ，离心率为 ，C12byax0a1F23过 的直线 交 于 、 两点，若 的周长为 ，则 的方程为（ ）2FlABBA134CA. B. C. D.3yx32yx82yx12yx解： 的周长 ，1 211aFFF则 ， ，所以 ，则 ，aaceaec2cb所以 的方程为 .C123yx考查：椭圆的离心率、焦点三角形的周长、标准方程2求椭圆的离心率1. 已知椭圆的标准方程，求椭圆的离心率
5、.例 1.（ 2017 年浙江卷理科 2 题）椭圆 的离心率是（ ）1492yxA. B. C. D.3353295解： ， ， ， ，所以 .3a2b52bacc35ace考查：椭圆的标准方程、椭圆的离心率例 2.（ 2011 年全国卷文科 4 题）椭圆 的离心率为（ ）1862yxA. B. C. D.332解： ， ， ， ，所以 .4a2b82baccace考查：椭圆的标准方程、椭圆的离心率2. 已知椭圆的几何性质，求椭圆的离心率.分析：可以将几何性质代数化，列出关于 ， ， 的等式，再求椭圆的离心率.abc例 1.（ 2016 年全国 1 卷文科 5 题）直线 经过椭圆的一个顶点和一
6、个焦点，若椭圆中心到 的距离为其短轴长的 ，l l41则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.31213243解：不妨设椭圆的方程为： （ ） ，直线 经过顶点 ，焦点12byax0al),0(b，则直线 的方程为： ，即： ，)0,(clcbcyx所以椭圆中心 到直线 的距离为 ，则 .Olbcd241221ae考查：椭圆的标准方程、几何性质、离心率、点到直线的距离例 2.（ 2017 年全国 3 卷理科 10 题）已知椭圆 ： （ ）的左、右顶点分别为 ， ，且以线段C12byax0a1A2为直径的圆与直线 相切，则 的离心率为（ ）21A02abyxCA. B. C. D.3633
7、31解：以线段 为直径的圆的方程为 ，圆心为 ，半径 ，21 22yx)0,(ar则圆心到直线 的距离为 ，则 ，0abyx abd22 23b所以 ， ，所以 .22ac32ce36e考查：椭圆的几何性质、圆的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系例 3.（ 2016 年全国 3 卷理科 11 题）已知 为坐标原点， 是椭圆 ： （ ）的左焦点， ， 分OFC12byax0aAB别为 的左、右顶点， 为 上的一点，且 轴.过点 的直线 与线段CPxPFl交于点 ，与 轴交于点 .若直线 经过 的中点，则 的离心率为（ PFMyEBMOEC）A. B. C. D.31213243解：如图设
8、的中点为 ，在 中， ，则OEHAEacAOF，在 中， ，acFMBFMB则 ，所以 ，即 ， .cH2121caca31e32.521.510.50.511.522.53654321 123456M BA OFPEH例 4.（ 2014 年江西卷文科 14 题）设椭圆 ： （ ）的左右焦点为 ， ，过 作 轴的垂线与C12byax0a1F22x相交于 ， 两点， 与 轴相交于点 ，若 ，则椭圆 的离心率ABF1yDBA1C等于 .解：如图将 代入 得： ，解得 ，所以cx2ba2byacaby2，因为点 为 的中点，且 ，BFA22 DBF1 BFAD1所以 ，由椭圆的定义得： ，即 ，a
9、21 ab232123ab所以 ，则 ， ，所以 .223c23c2aee2.521.510.50.511.522.554321 12345DF FAB例 5.（ 2013 年全国二卷文科 5 题）设椭圆 ： （ ）的左右焦点为 ， ， 是 上的点，C12byax0a1F2PC， ，则 的离心率为（ ）212FP321CA. B. C. D.6323解:如图将 代入椭圆方程 得 ，解得 ，则cx12byax12byacaby2，又因为 ，所以在 中，abPF2 cF21 PFRt21，则 ，3tn21221 acb)(322cabc，则 ， ， .03322ac02e0e3e方法二：因为 ，所
10、以 ，由椭圆的定义知：21FPabPF221，则 ，所以 ， ，abF213)(32cb23c312ae所以 .e2.521.510.50.511.522.55 4 3 2 1 1 2 3 4 5F FP例 6.（ 2013 年四川卷文科 9 题）从椭圆 （ ）上一点 向 轴作垂线，垂足恰为左焦点 ，12byax0aPx1F是椭圆与 轴正半轴的交点， 是椭圆与 轴正半轴的交点，且ABy（ 是坐标原点） ，则该椭圆的离心率是（ ）OPB/A. B. C. D.4221223解：如图将 代入椭圆方程 得 ，解得 ，则cx12byax12byacaby， ，又因为 ， ，则 ，因为),(2abcPc
11、kOP22 )0,(A),(BkAB，所以 ，即 ，所以 ， ， .AB/ABPab2c212aee1.210.80.60.40.20.20.40.60.811.22.5 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5B APOF例 7.（ 2012 年江西卷理科 13 题）椭圆 （ ）的左、右顶点分别是 ， ，左、右焦点分别是 ，12byax0aAB1F，若 ， ， 成等比数列，则此椭圆的离心率为 .2F1A2FB1解： ， ， ，cccF21因为 ， ， 成等比数列，所以 ，121 BFA121则 ， ，所以 ，所以 .)(2cac25a52e5e考查：椭圆的几何性质、离心率、等比
12、数列例 8.（ 2013 年辽宁卷文科 11 题）已知椭圆 ： （ ）的左焦点为 ， 与过原点的直线相交于C12byax0aFC， 两点，连接 ， ，若 ， ， ，则 的离ABAFB18B54cosABC心率为（ ）A. B. C. D.53755476解：如图设椭圆 的右焦点为 ，在 中，由余弦定理得C2FAB，所以 ，36cos222 BAF 6F由对称性可知 ，所以 ，则 ，62BFAaBF21427由因为 ，所以 为直角三角形， ，2AAFB由对称性可知 ，所以 ，2 2则 ，所以 ，所以 ，则 .1022BFFcF102575ace543211234510 8 6 4 2 2 4 6
13、 8 10ABF F2例 9.（ 2013 年福建卷理科 14 题）椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，焦距为 ，若直12byax0a1F2c线 与椭圆 的一个交点 满足 ，则该椭圆的离)(3cyM1221心率等于 .解：如图因为直线 的斜率 ，设其倾斜角为 ，则)(3cxy3k，所以 ， ， ，tank21F612F21M所以 ， ，由椭圆的定义得：cMFos21 cMsin212，所以 .a3213ceOF2F1例 10.（2012 年全国卷理科 4 题）设 ， 是椭圆 ： （ ）的左、右焦点， 为直线 上1F2E12byax0aP23ax一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率
14、为（ ）12P30EA. B. C. D.4354解：如图 ， ， ，cF212caQ2 602PF则在 中， ，则 ，2PQRt13os22cac34所以 .43ace543211238 6 4 2 2 4 6 8QPF1 F例 11.（2015 年浙江卷文科 15 题）椭圆 （ ）的右焦点 关于直线 的对称点 在椭圆12byax0a)0,(cFxcbyQ上，则椭圆的离心率是 .解：如图直线 的一般式方程为： ，所以右焦点 到直线xcycybx)0,(F的距离为： ，则 ，0cbx aPFd2 abcPQ2在 中， ，则 ，OPFRt2422 bcO2所以 ，由椭圆的定义得： ，abQ21
15、abcF21 所以 ，即 ， ，所以 ，则 .22cb2c2acee3.532.521.510.5 0.511.522.533.5PFQFO3求椭圆离心率或参数的取值范围例 1. 椭圆 ，离心率 ，则实数 的取值范围是（ ）142kyx)1,2(ekA. B. C. D. 3,036,316,02,0解：若 时， ， ， ，即4k2akc4,24kace，解得 ；1230k若 时， ， ， ，即 ，4ka4c1,24kace 14k解得 ；316综上所述： .,316,0k例 2.（ 2015 年福建卷文科 11 题）已知椭圆 ： （ ）的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直E12byax0aF
16、M线 ： 交椭圆 与 ， 两点.若 ，点 到直线 的距离l043AB4Bl不小于 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）5A. B. C. D.23,043,01,231,43解： ，所以 ，不妨设 ，则 到直线 的距离为aBFA2)0(bMl，所以 ，则 ，则 .54bd14222 ace 2,0e考查：椭圆的定义、标准方程、几何性质、离心率、点到直线的距离例 3.（ 2017 年全国 1 卷文科 12 题）设 ， 是椭圆 ： 长轴的两个端点，若 上存在点 满足ABC32myxCM，则 的取值范围是（ ）20MA. B. C. D.,91,9,410,43,0解：若 ，则长轴 ，设短轴的一个端
17、点为点 ，)3(m32ABE，在 中，EBAE由余弦定理得 ，m3212cos22若 上存在点 满足 ，则 ，CM10AB10AB，则 ，232cos1mE若 ，则长轴 ，设短轴的一个端点为点 ，,3mF，在 中，由余弦定理得FBAABE，mE 263242cos22 若 上存在点 满足 ，则 ，CM1010B，则 ，26cos1mAB9综上所述， .,904其他例 1.（ 2013 年上海卷文科 12 题）设 是椭圆 的长轴，点 在 上，且 ，若 ， ，则ABC4BA2BC的两个焦点之间的距离为 .解：如图 ，所以 ，过点 作 轴，42a2xC1则 ， ， ，1sin1BACcosBA11B
18、O则 ，代入方程： 得 ，所以 ， ，),(2byax42342b3822bac则 ，所以 的两个焦点之间的距离为 .362c6c1.61.41.210.80.60.40.20.20.40.60.811.21.42.521.510.5 0.511.522.53BA OCC例 2.（ 2014 年辽宁卷理科 15 题）已知椭圆 ： ，点 与 的焦点不重合，若 关于 的焦点的对称C92yxMCMC点分别为 ， ，线段 的中点在 上，则 .ABNBNA解：如图3.532.521.510.50.511.522.53654321 123456xN BA FF1MP设 ， 为椭圆 的左右焦点， 的中点为 ， ， ，1F2CMNP12FAN2P有椭圆的定义得： ，所以 .621aPFB考查：椭圆的定义
