1、1 从真空 铃想 到托 里拆 利、 伯努利 的几 个疑 惑 广州番 禺王 耀强 一、从 真空 铃到 托里 拆利 实验 1、怎样 制造 真空 环境 来做真 空 铃实 验，想 到托 里拆 利实验 中玻 璃管 内是 真空 的。从 而设 想用 水替 代水 银制造 真 空，如 图： 图1 蜂鸣器 用软 弹簧 吊着 ，利 用弹簧 的吸 能作 用弱 化弹 簧的传 声性 能， 把振 动的 力弱化 。 （ 或在 蜂鸣 器下 面 垫弹簧 、 软海绵 减振 ） 在 流 水状 态下 先关 闭阀门B， 然后 关闭 阀门 A ， 再打开 阀门 B 或去 掉阀门 B。 2、但想 到时 间长 了的 话，管 内 上端 还是 会
2、蒸 发出 水 蒸气的 ，一 直累 积直 至达 到饱和 蒸气 压为 止， 真空 度理想 吗？ 水蒸发 的速 度多 快？ 开始 时相对 湿度 为零 ，后 来湿 度变大 ，蒸 发速 度变 慢， 直至稳 定需 要多 久？ 如果蒸 发速 度很 慢的 话就 不怎么 会影 响实 验时 的真 空度。 本想找 常温 时水 和水 银的 饱和蒸 气密 度的数 值，但 找不到 ，从 网上 只能 搜到 的以下 间接 数据 做对 比， 做大概 的判 断： 20C 时，空 气的 密度 为1.204kg/m 3 。 20C 时， 水 的饱 和蒸 气压 2338.8Pa 。 水 的 沸点是 100C ，饱 和 蒸气的 密 度为
3、 0.59764kg/m 3 ，饱 和蒸 气压 等于 标准 大气压 。 20C 时， 水 银的 饱和 蒸气 压为 160.1Pa 。 水银 沸点 357C 。 可见， 常温 下水 银的 挥发 性比水 小得 多， 管内 上端 的真空 度较好 。 还有一 个问 题， 除非 装置 内部非 常光 滑平 整， 且呈 良好的 流水 线形 状， 不然 在装置 内壁 处处 （尤 其是 小穴、 小 缝、拐 角处 ）都 可能 残留 （粘着 ）大 量大 大小 小的 气泡， 很难 冲出 来。 如果装 置中 水面 以上 的空 间足够 大， 或许 可以 一定 程度上 稀释 这些 气体 ，至于 效果 如何 ，不 太乐 观。
4、 3、图1 中 ，硬水 管需 要10 米多 ，不 太方 便， 如果 改为软 水管 的话 ，操 作就 方便很 多了 。 但是， 软水管 上段 的管 内水 压 变得 很小 直至 为 零， 会被大 气压 强压扁 而断 流吗？（ 或者 采用 上段 硬水 管，下 段软 水管） 这又联想 到下 面的 疑问 3 ，想着 想着 ，慢 慢发 现一 些表象 貌似 矛盾 的疑 问 2 二、疑 问 疑问1 ：越 深时 ，水 压越 大，水 流速 度越 快。 图2 疑问2 ：水 流速 度越 快， 水压越 小。 图3 疑问3 ：捏 扁软 水管 口时， 管 口横 截面 积变 小， 水流 速 度变 快。 疑问4 ：关 小水 龙
5、头 时， 水流速 度变 慢。 但这时 用手 指或钢 板堵住 一部分 水 龙头 的管 口，水 流速度 又变 快， 问题 又回到 疑问 3。 疑问5 ： 但如 果捏 扁的 不是 软水管 的管 口， 而是 水管 中段 某位 置， 水流 速度 不变。 但捏得 很 扁时 ， 水流 速度 变慢。 （如 果没 有特 别说 明 ，后文 提到 “捏 扁” 都是 指捏得 不是 很扁 。同 理， “ 变 小”也 不是 指小 得极 端的 情况） 图4 疑问6 ：图2 中， 同 一深 度时， 小孔 的大 小不 影响 水流速 度。 （v= 2 ） 这规律 叫托 里拆 利定 律（ 不是托 里拆 利实 验， 尽管 主人公 还
6、是 那位 ） ， 是伯 努 利定律 的特 例。 3 三、伯 努利 定律 1、 理想 状态 下 的 伯努 利方程 （1） 以 上的 问题 都是 流体力 学 的问 题， 我参 考了 两本 书（ 普朗 特流 体力 学基础 . 欧特 尔、 我所 理解 的流体 力 学. 王洪 伟） 以及维 基百科 ， 上面 的问 题大多 基本 符合最简 单的 伯努 利定律 的适用 条件 ： 定常流 动（ 稳定 流） ：流 体 在任何 一点 的性质 不随 时间 改 变。 流体沿 着流 线流 动： 流体 元素沿 着流 线流 动， 流线 间彼此 不相 交。 不可压 缩：密 度为 常数 ，如液 体或 马赫 数小于 0.3 的气
7、体 。 无摩擦 （无粘 ） ： 忽略 摩擦效 应 和 粘滞 效 应。 伯努利 方程 的推 导依 据： 连续性 原理 （质量 守恒）， 能量、 动量 守恒 。 伯努利 方程 ： 1 2 2 + + = 常数 由方程 可见 ，压强 越小 ， 流速越 快。 但这结 论好 像有 点反 直觉 ，会令 人有 点费 解。 如果清 楚伯 努利 方程 推导 过程的 话就 不难 理解 。 图5 由连续 性原 理可 知，va=vcvb 。 那么vb 为 什么 会比 va 快的 ？流体 加速 所得 的动 能是 从哪里 来的 ？ 原因就 是在 流体 元素 从 1 处到2 处的 过程 中存 在压 强差而 加速 。可 见，
8、pApC 。 同理， 从 3 处到 4 处是 减速 。 （2） 对于 伯努 利方 程“ 1 2 2 + + = 常数 ”的理 解， 在流 动力 学中 有更多 的表 述， 如： 其中 1 2 2 表征动能 （动 压） 、p 表征压 强（ 静压 、压 力能 、压力 潜能 ） 、 表 征重 力势能 ， “常 数” 表征 机械 能。 当流体 完全 满足 伯努 利方 程的条 件时 ，没 有能 量损 耗，机械 能守恒 。 4 本文所谈 的物 理情 景中 ，能 量 来源 本质 上都是 重力 势能 ，但当 研究 水流 从容 器底部 沿水 平方 向流 出时 ，是压 力能（ 静压 ）转 化为 动能 （动压 ）的
9、过程 。 这时， 1 2 2 + = 常数 （ 水平 流出 时， 重力势 能没 有变化 ） 这时的 常数 也叫 总压 （其 实还是 表征 机械 能） ， 即总压 不 变， 即 ： 动压（ 1 2 2 、 动能 ）+ 静压 （p 、压力 能）= 总压 （机 械能 ） 动压、 压力 能、 总压 都是 流动力 学中 引入 的概 念。 压力能 是由 于流 线沿 途的 压强分 布不 均， 存在 压强 差而产 生的 能量 。我 把它 类比重 力势 能来 解说 一下 ： 把图5 类 比成图 6， 小 球从 A 处滚到 C 处（ 类似 于伯 努 利定 律， 机械 能守 恒） ， 压强 高低 类比 高度 高低
10、，压强 差类 比高度 差， 压力 做正 负功 类比重 力做 正负 功， 压力 能类比 重力 势能 。 所以， “压 强小 （高 度低 ） 处，速度 快” 就变 得很 好理 解 了。 图6 （3） 以上 几个 疑问 中都 涉 及到水 流从 管口 自由 流出 ，这叫 做射 流， 除了 流速 达到声 速等 极端 情况 外， 管口处 水 流的静 压等于 外界 大气 压强 。 所以， 射 流的 动压 = 总压 - 大气 压强 - （结 论 1 ） 管口流 速的 大小 取决 于总 压的大 小， 与管 口横 截面 积无关 。 理想状 况时 ，总 压不 变， 所以动 压不 变， 射流 速度 不变。 这是一 个
11、 恒压 系 统， 流 量不 恒定 ，随着 管口 大小 的 变化而 变化 。 2、 能量 损耗 ： （1） 实 际上 ， 往往 有些 情 形下会 大大 增大 了阻 力， 能量发 生损 耗， 机械 能转 化为内 能， 机械 能（ 总压 ）减小 。 这时， 射 流的 动压 = 剩 余总压 - 大气 压强 - （结 论 2 ） 管口流 速的 大小 取决 于管 口附 近 剩余 总压 的大 小，与 管 口横 截面 积无 关。 如果管 口处 的剩 余总 压不 变，这 也构 成一个 恒压 系统 ， 流量 不恒 定。 常见的耗 能情 况： 流体的 粘度 较大 （如 油、 蜂蜜等 液体 ） ， 或水管 太长、太细
12、 时要 考虑 摩擦 力、 粘滞性 。 水路突然 明显 收缩 时 管壁 对水流 产生 较大 的正 面阻 力。 水路突 然明 显放大 ，水 路会 发 生分 离， 会产 生漩 涡（ 湍流 ） ，甚 至出 现空 隙。 水路快 速转 弯（ 如把 软水 管卷起 好几 个小 圈时 ） 5 把水管 捏得 很扁 时， 以及 水龙头 内部 水路 的缩 、放 、转弯 都能 导致 能量 的大 量损耗。（ 如 图 7、图 8） 这时适用 结论 2 。 图7 图8 （2） 减小 流量 的方 法： 增大能 耗， 剩余 总压 变小 ，从而 减慢 流速 ； 减小 水路的 横截 面积 。 可见， 把水 管捏 得很 扁时 ，以及
13、水龙 头的 结构 都同 时满足 以上 两点 ，所 以能 起到压 降和 节流 的作 用。 而且， 能够 实现 节流 （控 制流量 ）的 主要 原因 是能量 损耗 。 （这就 解释 了疑问 4 ） 水龙头 前后 断开 为两 个系 统，不 满足 “定 常” 、 “沿 流线” 的伯 努利 定律 条件 。 水龙头 后的 水路 系统 是“ 流量恒 定” （阀 门大 小不 变时） ， 而不 是“ 剩余 总 压恒定 ”。 但是， 当 图3 中B 处水 管横截面 积、 手指 堵住 自来 水管口 或 捏扁 水管 后的 缺口 不是 很小 的时 候， 能量 损耗很小 ， 可以忽 略，这 就不 满足 减小 流 量的 第
14、 点， 所以 不 能减小 流量 。 四、释 疑 1、先 解释 疑问1 和疑 问6 ： 条件： （1）出 水管 很短 很短 ， 甚 至没有 出 水管 ，水 桶壁 很薄 ； （2）水 桶较 大， 小孔 较小，A 处液 面远 远 大于B 处横 截 面积 。所 以， 这时 A 处的水 可看 成静 止。 证法1 ：用 伯努 利方 程对A 、B 两处 列式 ， + 0 = 1 2 2 + 0p0 是大 气压 强 所以，v = 2 证法2 ：对C、B 两 处 列式， （C 处的 水同 样可 看成 静止） = 1 2 2 + 0其中pc=p0+ gh ，所 以同 样解得v = 2 图 9 6 证法3 ： 直接
15、 套用 结论 1 ， 动压 = 总压 - 大气 压强 1 2 2 =( + 0 ) 0所以 v = 2 速度v = 2 的大小 与相 等高 度落 下的自 由落 体速 度（ 没有 空气阻 力时 ）相 等， 这就 是托里 拆利 定律 。 由此可 见，vB 的大 小与 成正比， 而与 小孔 的大 小无 关。 所以， 水越 深， 水流 速度 就越快 。 在 疑问 1 中 ，有 人产 生“ 水压越 大， 流速 越快 ”与 伯努利 定律 貌似 矛盾 的疑 问，原 因在 于没 有分 清楚 ：“水 压 大”是 指 pC ， “流速 快” 是指 vB ， 这是 两个点 而不 是同一 个点 。 2、疑问 2 和
16、疑问 5 ： 图3 中的 A 、C 两 处的 水 面高 度 相平 。 这已 在 前文 解释 了。 形成这 现 象的 条件是 A、C 距 离 不远 ，而且 C 处 后的 水管很 长很 长或 装有 阀门 等耗能 装置 ，否 则实 验中 的竖直 水 管中会 没有 水柱 （因 为根 据伯努 利方 程， 这时 A、C 处静压 等于 管口 处水 压， 即等于 大气 压强 ）。 3、实际 应用 中， 存在 摩擦、 粘 滞性 等能 耗时 ： （1） 如 果水 管很 长很 长，管 内 剩余 总压 降至 大气 压强 时 （假 定就 是下 图中 A 点处） ， 管口 就 流 不出 水。 水管各 处的 水压 不断 下
17、降 。 水管越 长、越 细，能 量损 耗越大 ， 剩余 总压 就越 小。 这类似 于电 学中 导线 越长 、越细 ，电阻 越大 ，由 于热效应 而分 压越多 ，导 致终端电 路的 电压 变小 。 大水箱 类似 于恒 压电 源（ 内阻为 零） ，水 箱中 水位 高度类似 电源 电压 。 可见， 流动 力学 中的 概念 不但可 以类 比力 学中 的重 力势能 等， 还可 以类 比成 电学中 的电 压（ 电势 ）等 。 7 （2） 如下 图， 如 果把 水管截短 至B 处就 能流 出水 来。 根据结 论 2 可 知： 水 管越 短，压 降后 的剩 余总 压越 大，水 流速 度越 快。 水流速 度只
18、与剩 余总 压有 关，与 管口 大小 无关 。 如果管 口 B 处的 剩余 总压 不变， 构成 一个 恒压 系统， 流 量不 恒定 ，随着 管口 大小的 变化 而变 化。 （当然 ，管 口不 能太 大或 太小， 否则 水流 变得 不稳 定，从 而不 符合 伯努 利定 律的条 件） 图10 如果这 是自 来水 供水 系统 ，那 么 B 点 处竖 直水 管的 液面高 度就 是该 地楼 房的 最高供 水高 度。 4、 解释 疑问 3 ： 前文讲 述到 ： （1） 水 龙头 是个 耗能 装置 ， 起到 压降 和节 流的 作用 ， 即既 能减 小流 速，也 能 减 小流量 。 但捏扁 管口 （用 手指
19、或钢 板堵住 一部 分水 龙头 管口 ） 没 有损 耗能 量， 不能 减小 流量 。 （2） 而 且， 水龙 头前 后断开 为 两个 系统 ，水 龙头 不 满足“ 定常 ” 、 “ 沿流 线” 的伯努 利定 律条 件。 下图中 ，流量 很小 时， 阀芯 后 的水管 A 内 甚至 出现 空隙， 这时 即使 捏扁 管口 ，流速 也不 会变 快。 只 有 当水管 A 内 充满 水， 水压增 大， 管口 流速 才会 增大。 （3） 阀芯 后的 水管A、B 组成的 水路 系统 是“ 流量 恒定” （阀 门大 小不 变时 ），而 不是 “剩 余总压 恒定 ”，A 处 压强随着 管口 变小 而增 大。 （这
20、 与图 10 中的 “剩 余总压 恒定 ，但 流量 不恒 定”不同 ） 由于流 量恒 定， 根据 连续 性原理 ，vASA = vBSB 。所 以，SB 越小 时，vB 就越 大。 当阀门 开大 时，流量 vASA 才会变 大，vB 也越 大。 五、文 中涉 及到 的待 验证 实验： 1、图3 中， 水管 较短 ，C 的后方 没有 阀门 等耗 能装 置时，A、B 、C 处的 竖直 水管中 没有 水柱 。 2、图9 中， 在一 个薄壁 大 水桶的底 部侧 壁钻 几 个大 小不一 的小 孔， 看是 否流 速相同 。 3、把水 管的 水龙 头去 掉（或 试 试把 阀门 打 开至 最大 ）后接 上软 水管 ，捏 扁管 口一些 时， 看是 否流 速不 变。 把软 水管 尽量 绕成 许多个 小 圈， 但要 注意 绕 圈时 不要弄 扁水 管， 看能 否起 到压降 、节 流的 作用 。
