1、1十三、圆锥曲线（逐题详解）第 I 部分 1.【2014 年重庆卷】设 分别为双曲线 的左、右21F， )0,(12babyx焦点，双曲线上存在一点 使得 则该P ,49|,3| 2121 aPFPF双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.334549【答案】B【解析】由于 ，所以221112(|)(|)4|PFPFPF分解因式得294ba3403,4,5baabc所以离心率 ，选择5ceB2.【2014 年福建卷】设 P，Q 分别为圆 x2+（y6） 2=2 和椭圆 +y2=1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是（ ）A 5B +C 7+D 6【答案】D【解析】设椭圆上的点为（x，y
2、） ，则圆 x2+（y6） 2=2 的圆心为（0，6） ，半径为 ，椭圆上的点与圆心的距离为 = 5，P，Q 两点间的最大距离是 5 + =6 故选：D3.【2014 年全国大纲卷】已知椭圆 C： 的左、右焦点为 、21xyab(0)1F，离心率为 ，过 的直线 交 C 于 A、B 两点，若 的周长为 ，2F32Fl 1AFB43则 C 的方程为（ ）A B C D213xy213xy218xy214xy【答案】A2【解析】AF 1B 的周长为 4 ，4a=4 ，a= ，离心率为 ，c=1，b= = ，椭圆 C 的方程为 + =1故选：A4.【2014 年全国大纲卷】已知双曲线 C 的离心率为
3、 2，焦点为 、 ，点 A 在1F2C 上，若 ，则 （ ）12|FA21cosAFA B C D4343【解析】双曲线 C 的离心率为 2，e= ，即 c=2a，点 A 在双曲线上，则|F 1A|F 2A|=2a，又|F 1A|=2|F2A|，解得|F 1A|=4a，|F 2A|=2a，|F 1F2|=2c，则由余弦定理得 cosAF 2F1= =，故选：A5.【2014 年山东卷】已知 ,椭圆 的方程为 1x2bya，双曲线 2C的0ba1C方程为 1x2bya， 与 的离心率之积为 23，则 的渐近线方程为_C2 2（A） 0（B） 0yx（C） 0yx（D） 0yx【答案】A【解析】
4、2212244123cabeabeabb6.【2014 年四川卷】已知 是抛物线 的焦点，点 ， 在该抛物线上且F2yxAB位于 轴的两侧， （其中 为坐标原点） ，则 与 面积之xOABOOF和的最小值是_3A B C D23172810【答案】B【解析】方法 1：设直线 AB 的方程为： ，点 ， ，又 ，直线xtym1(,)Axy2(,)By1(,0)4FAB 与 轴的交点 （不妨假设 ）x(0,)M0由 ，所以22tyty12y又 121212()0OABx 因为点 ， 在该抛物线上且位于 轴的两侧，所以 ，故x12y2m于是 1211199() 3488ABOFSyyy当且仅当 时取
5、“ ” 1192483y所以 与 面积之和的最小值是ABF3方法 2：7.【2014 年天津卷】已知双曲线 ， 的一条渐近线平行于21(0xyab)b直线 ： ，双曲线的一个焦点在直线 上，则双曲线的方程为_l210yxlA. B. C. D.2525y2352315xy【答案】A【解析】由题意知，双曲线的渐近线为 y x， 2.双曲线的左焦点ba ba( c，0)在直线 l 上，402 c10， c5.又 a2 b2 c2， a25， b220，双曲线的方程为 1.x25 y2208.【2014 年全国新课标】已知 是双曲线 ： 的一个焦FC23(0)xmy点，则点 到 的一条渐近线的距离为
6、_FC. .3 . .A3B3mD【答案】：A【解析】：由 ： ，得 ，C2(0)xy213xy23,3cmc设 ，一条渐近线 ，即 ，则点 到 的一条3,0Fmm0FC渐近线的距离 = ，选 A. .31d9.【2014 年全国新课标】已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，C28yxFl是 上一点， 是直线 与 的一个交点，若 ，则 =_PlQPF4PQ|. . .3 .2A72B5CD【答案】：C【解析】：过 Q 作 QM直线 L 于 M， 4FP ，又 ， ，由抛物34PF34P3Q线定义知10.【2014 年全国新课标】设 F 为抛物线 C: 的焦点，过 F 且倾斜角2yx为 30的直
7、线交 C 于 A,B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为（ ）A. B. C. D. 3493863294【答案】 D5【解析】 49)(4321.6 ),3-2(),32(-,432,OABDnmSnmnnBFABA故 选， 解 得可 得 ，定 义 和 直 角 三 角 形 知 识 ， 则 由 抛 物 线 的，分 别 在 第 一 和 第 四 象 限、设 点 11.【2014 年广东卷） 】若实数 k 满足 则曲线 与曲线0,215xyk的_2159xykA离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等【答案】D【解析】 ， ， ，曲线 与09k0k25k2159xyk均是
8、双曲线，且 = = ，即焦距相等.故215xy22cab()k)选 D.第 II 部分 1.【2014 年上海卷】若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，2ypx2195xy则该抛物线的准线方程为 .【答案】 2x【解析】：椭圆右焦点为 ，即抛物线焦点，所以准线方程(,0) 2x2.【2014 年上海卷】已知曲线 ，直线 .若对于点 ，2:4Cxy:6lx(,0)Am存在 上的点 和 上的 使得 ，则 的取值范围为 .CPlQAPm【答案】 2,3m【解析】：根据题意， 是 中点，即， ，62PQPx0Px,33.【2014 年江西卷（理 15） 】过点 (1,)M作斜率为 12的直线与椭圆 C
9、：621(0)xyaba相交于 ,AB，若 M是线段 AB的中点，则椭圆 C的离心率为 【答案】 2【解析】122211212122, 00AxyBabxxyyabbe设则4.【2014 年北京卷】设双曲线 经过点 ，且与 具有相同渐近线，C2,214yx则 的方程为_；渐近线方程为_.C【答案】y=2x【解析】与 x 2=1 具有相同渐近线的双曲线方程可设为 x 2=m， （m0） ，双曲线 C 经过点（2，2） ，m= ，即双曲线方程为 x 2=3，即 ，对应的渐近线方程为 y=2x，故答案为： ，y=2x5.【2014 年安徽卷】设 分别是椭圆 的左、右焦点，21,F)10(:2byxE
10、过点 的直线交椭圆 于 两点，若 轴，则椭圆 的1FEBA, xAFB21,3E7方程为_【答案】 123yx【解析】设 ，由 轴)0,(,(1cFxA2得 ，又由 得 代入椭圆),2bcAB13)3,5(2bc得 ，将 代入得95222bc122yx6.【2014 年湖南卷】如图 4，正方形 和正方形 的边长分别为ABCDEFGba,. 原点 为 的中点，抛物线 经过 、 两点，则)(baOD)0(2pyC_.【答案】 21【解析】由题可得 ,2aCFb则 ,故填2pb1 .217.【2014 年辽宁卷（理 15） 】已知椭圆 C： 94xy，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C
11、的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN的中点在 C 上，则 . |ANB【答案】12【解析】如图：MN 的中点为 Q，易得 ， ，xyO1F2AB8y xODF2F1PCBAyxOF2F1Q 在椭圆 C 上，|QF 1|+|QF2|=2a=6，|AN|+|BN|=12第 III 部分1.【2014 年重庆卷（理 21） 】如下图，设椭圆 的左右焦21(0)xyab点分别为 ，点 在椭圆上， ，12,FD12F12|D， 的面积为 .12（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在 轴上的圆，使圆在 轴的上yx方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半
12、径解：（1）设 ，代入椭圆方程中求出 ，故 ，而(,)Dcy2bya21bFa12F由已知： ，联立解出12121,FD1212,FD即 ，联立解出22,bcabc2,abc所以椭圆的标准方程为21xy（2）由于所求圆的圆心 在 轴上，故圆和椭圆的两个交点 关于 轴对称，C,ABy从而经过点 所作的切线也关于 轴对称，如下图所示。,ABy当切线互相垂直时，设两条切线交于点 ，则 恰好形成一个边长为 正方PCr形。其中 表示圆的半径，由几何关系r 22FPr， ，因为2211BFPr912BFa所以 ， 故所求圆的半径为4223rrr4232.【2014 年福建卷】已知双曲线 E： =1（a0，
13、b0）的两条渐近线分别为 l1：y=2x，l 2：y=2x（1）求双曲线 E 的离心率；解：（1）因为双曲线 E 的渐近线分别为 l1：y=2x，l 2：y=2x，所以 =2所以 =2故 c= a，从而双曲线 E 的离心率 e= = 3.【2014 年湖南卷（理 21） 】 (本小题满分 13 分)如图 7， 为坐标原点，椭圆 的左、右焦点为O:1C)0(12byax，离心率为 ；双曲线 的左、右焦点为 ，离心率21,F1e243,F为 . 已知 ，且 .e323|4F（1）求 、 的方程；1C解：（1）因为 ，所以2e 2322aba，因此得，即 ，从而443ab2b )0,(2bF， ，于
14、是)0,(F 13|342，所以 ， .故 、 的方程121C2 分别是 ， .2yxyx4.【2014 年辽宁卷】圆 的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面24x积最小时，切点为 P（如图） ，双曲线 过点 P 且离心率为 .21:xyCab3（1）求 的方程；1C10（）设切点坐标为 ，则切线斜率为 ，切线方程为00(,),)xy0xy，即 ，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成0()xy04的三角形面积为 .由 知当且仅当00182Sxy 2004xyxy时 有最大值，即 S 有最小值，因此点 P 得坐标为 ，0xy0 (2,)由题意知解得 ，故 方程为 .221
15、3ab21,ab1C21yx5.【2014 年全国大纲卷】已知抛物线 C： 的焦点为 F，直线2(0)p与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且 .4 5|4FP（1）求 C 的方程；（2）过 F 的直线 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 与 C 相较于l lM、N 两点，且 A、M、B、N 四点在同一圆上，求 的方程.l解：（1）设 ，代入 得0(,4)Qx2ypx08所以 ，8PpF由题设得 .解得 或5242p所以 的方程为C2yx（2）依题意知 与坐标轴不垂直，故可设 的方程为 （ ）l l1xmy0代入 得yx20m设 ， ，则 ，1(,)A(,)B124
16、y124y故 的中点为 .2,D21()AB又 的斜率为 ，所以 的方程为l l 23xm将上式代入 ，并整理得24yx24()0y设 ， ，则 ，3(,)Mx(,)N34234()y11故 的中点为 .MN2(3,)Em24321(1y由于 垂直平分 ，故 、 、 、 四点在同一圆上等价于ABMBNAE从而 ，即2221144DN2224(1)()()()()mm化简得 ，解得 或2101所求直线 的方程为： 或 .l 0xy0xy6.【2014 年天津卷】 ）设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，右顶点为 ，上顶点21()xyab1F2A为 .已知 .B123|AF求椭圆的离心率；解：(1)设
17、椭圆右焦点 F2的坐标为( c，0)由| AB| |F1F2|，可得 a2 b23 c2.32又 b2 a2 c2，则 ，c2a2 12所以椭圆的离心率 e .227.【2014 年全国新课标】已知点 （0，-2） ，椭圆 ：AE的离心率为 ， 是椭圆的焦点，直线 的斜率为21(0)xyab32FAF， 为坐标原点.3O()求 的方程；E（）设过点 的直线 与 相交于 两点，当 的面积最大时，求 的AlE,PQOPl方程.12【解析】：() 设 ，由条件知 ，得 又 ，,0Fc23cc32ca所以 a=2 ， ,故 的方程 . .6 分221baE214xy（）依题意当 轴不合题意，故设直线
18、l： ，设lx2kx12,PxyQ将 代入 ，得 ，k214xy241620kx当 ，即 时，216(3)023k1,2283k从而 22124kPQkxA又点 O 到直线 PQ 的距离 ，所以 OPQ 的面积21dk，21432PQSd设 ，则 ， ，43kt0241OPQtSt当且仅当 ， 等号成立，且满足 ，所以当 OPQ 的面积最大时，2t7k0的方程为： 或 . 12 分lyx72yx8.【2014 年广东卷】已知椭圆 2:1(0)Cab的一个焦点为 (5,0)，离心率为 53，（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若动点 0(,)Pxy为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相
19、互垂直，求点 P 的轨迹方程。【解析】 （）可知 5c，又 3ca， ， 224bac，13椭圆 C 的标准方程为2194xy；（）设两切线为 12,l，当 1lx轴或 /轴时，对应 2/lx轴或 2l轴，可知 (3,2)P当 与 轴不垂直且不平行时， 03，设 1的斜率为 k，则 0， l的斜率为 k，1l的方程为 00()ykx，联立294xy，得 2 0(94)18()360k，因为直线与椭圆相切，所以 ，得 2220()(94)()40kykx，22036()4kykx，00(9)x所以 是方程 22004yx的一个根，同理 1k是方程 2(9)x的另一个根，()204y，得 013，其中 03x，所以点 P 的轨迹方程为 2xy（ ） ，因为 (3,)满足上式，综上知：点 P 的轨迹方程为 213y
