1、盐城市、南京市 2019 届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题2019.01(总分 160 分，考试时间 120 分钟)注意事项：1本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 160 分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上参考公式：锥体体积公式： ，其中 为底面积, 为高.13VShh一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 . 不 需 写 出 解 答 过 程 ，请 把 答 案 写 在 答 题 纸 的 指 定 位 置 上
2、 ）1已知集合 ， ，则 ,A,2BABI2设复数 （其中 为虚数单位） ，若 ，则实数 的值为 zaiiza 3某工厂生产 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 ，,C2:35现用分层抽样的方法抽取一个容量为 的样本，其中样本中 型号产品nA有 件，那么此样本的容量 164从 中选 个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概2， ，率为 5如图所示流程图中，若输入 的值为 ，则输出 的值为 x4c6若双曲线 的离心率为 ，则实数 的值为 21xym2m7已知 为定义在 上的奇函数，且当 时，()fR0x，则 的值为 xfe(ln)f8已知等比数列 为单调递增数列，设其前 项和为 ，若
3、 ， annS2a，则 的值为 3S59如图， 平面 ， ， ， ， ， 分别为PABCA4P3AC1B,EF的中点，则三棱锥 的体积为 ,BEF10设 ，点 ，过点 引圆,)4(7xy的两条切线 ，若 的最大值为 ，则 的值为 221(0)r,B3r11设函数 ，其中 若函数 在 上恰有 个零点，则 的取()sin)3fx0()fx0,2值范围是 12若正实数 、 、 满足 ， ，则 的最大值为 abc2abacbc13设函数 ， 为坐标原点， ， 若对此函数图象32()(,)fxO(3,1)A(,)Ca上的任意一点 ，都满足 成立，则 的值为 BABCurrua14若数列 满足 ， ， ，
4、其中 ，n1041243nn412nnN且对任意 都有 成立，则 的最小值为 Nam二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分 14 分)在 中，设 分别为角 的对边，记 的面积为 ，且ABCabc、 、 ABC、 、 ABCS2Sur（1）求角 的大小；（2）若 ， ，求 的值7c4os5a16(本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱 中， 分别是棱 上的点（点 不同于点 ） ，1ABCDE、 1BC、 DC且 ， 为棱 上的点，且 DEF11AF求证：（1）平面 平面 ；（2） 平面 /11
5、7(本小题满分 14 分)盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数 ，其中 为每天的时260()ln(42,)1xfxmmRx刻若在凌晨 点时刻，测得空气质量指数为 69.（1）求实数 的值；（2）求近期每天在 时段空气质量指数最高的时刻 （参考数值： ）42， ln61.818(本小题满分 16 分)已知椭圆 的两个焦点之间的距离为 2，两条准线间的距离为 8，直2:1(0)xyC
6、ab线 与椭圆 相交于 两点()lykmR： CPQ、（1）求椭圆 的方程；（2）设椭圆的左顶点为 ，记直线 的斜率分别为 AA、 12k、若 ，求 的值；012k若 ，求实数 的值124k19(本小题满分 16 分)若函数 在 处取得极大值或极小值，则称 为函数 的极值点设函数(yfx0 0x()yfx32)1)ftR（1）若函数 在 上无极值点，求 的取值范围；f， t（2）求证：对任意实数 ，在函数 的图象上总存在两条切线相互平行；t()fx（3）当 时，若函数 的图象上存在的两条平行切线之间的距离为 4，间；这样的平行t()f切线共有几组？请说明理由20(本小题满分 16 分)已知数列
7、 ，其中 naN（1）若 满足 11(0,)nq当 ，且 时，求 的值；2q4a若存在互不相等的正整数 ，满足 ，且 成等差数列，求 的,rst2srt,rstaq值（2）设数列 的前 项和为 ，数列 的前 n 项和为 ， ， ，若nanbnc23nbN， ，且 恒成立，求 的最小值12212akk盐城市、南京市 2019 届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分2019.01（本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟）21选做题 （本题包括 A、 B、C 三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A.（选修 4-2
8、：矩阵与变换） （本小题满分 10 分）直线 经过矩阵 变换后还是直线 ，求矩阵 的特征值l： 30xy 0=1adMlMB.（选修 4-4：坐标系与参数方程） （本小题满分 10 分）在极坐标系中，圆 的极坐标方程为 以极点 为原点，极轴 所在的直C2cosOx线为 轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，求直线xl32,1xty被圆 截得的弦长lCC(选修 4-5：不等式选讲） （本小题满分 10 分）已知正实数 ，满足 ，求 的最小值xyz、 、 3xyzxyzx必做题 （第 22、23 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内）22 （本小题满
9、分 10 分）如图，四棱锥 中 ， 底面 是矩形， 平面 ， ，PABCDPABCD1A，点 是棱 的中点2E（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；（2）求二面角 的余弦值23 （本小题满分 10 分）已知数列 满足 ，且对任意 ，都有na12,3anN0121231nnnaCaCL成立12()n（1）求 的值；3（2）证明：数列 是等差数列n盐城市、南京市 2019 届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.1. 1, 2. 1 3. 80 4. 13 5. 4 6. 6 7. 3 8. 6 9. 36 10. 11. ,6 12.
10、87 13. 2 14. 8二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15解：（1）由 2SABC，得 sincosbA,因为 0,A，所以 tan1A46分（2） C中， 4cos5,所以 3si5，所以 72siinsicosi0CBB.10 分由正弦定理 siniaA，得 7210a，解得 =5a 14 分（评分细则：第一问解答中不交代“ ,A”而直接得到“ 4A”的，扣 1 分；第二问解答中不交代“由正弦定理得的” ，扣 1 分.）16证明：（1）在直三棱柱 1CB中， 1平面 BC . . . .2 分
11、因为 AD平面 BC，所以 1D,又因为 E，在平面 1中， 1B与 DE相交，所以 平面 1，又因为 A平面 ,所以平面 AD平面 .6 分(2) 在直三棱柱 1中， 1B平面 1C . . . . . 8 分因为 1AF平面 1BC,所以 F,又因为 1B，在平面 1BC中 1B，所以 平面 , . . 10 分在（1）中已证得 AD平面 1BC，所以 /1FAD，又因为 1AF平面 DE， A平面 E,所以 /1F平面 E. . . . 14 分（评分细则：第一问和第二问中应该由“直三棱柱得到侧棱 1B与底面垂直”，从而得到“1B和 1”，如果直接由“直三棱柱得到线线垂直”的，各扣 2
12、分；第二问中证明线面平行时若不交代“ A平面 ”，扣 2 分.）17 （1）由题 629.f，代入 60ln4,1xfxmmR，解得 2m5 分（2）由已知函数求导得： )14(260)2()(12)(2 xxf 令 0)(xf得 1，9 分)1,4(x12x)2,(xfx +=0f A极大值 A 所以函数在 12时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为 12 时. 12 分答：（1）实数 m的值为 12；（2）每天空气质量指数最高的时刻为 12 时.14 分（评分细则：第一问若不列表或文字说明单调性的扣 3 分；最后未给出“答”再扣 2 分.）18解：（1）椭圆 C中， c，两准
13、线间的距离为28ac得24，所以 a， 1c，所以 23b，所以椭圆的方程为2143xy.3 分（2）设 0(,)Pxy，由于 0m，则 0(,)Q，由20143xy得220034x，5 分所以20200012 34=xyykxx8 分（3）由（1）得 ,A.方法一：设 1(,)Pxy，设直线 P的方程为 A： 12ykx，联立 2143xyk，消去 y，得 222111(34)60kxk，所以21634Akx，10 分所以2118k， 代入 12ykx得 11234ky，所以 22116(,)34P12 分由 k得 k，整体代换得2112(,)Q13 分设 0Mm，由 P、 、 三点共线得
14、/PMQ，即2 211112468()()334kkm，化简得 2164=0k，所以 =16 分方法二：设 1(,)Pxy， 2(,)Q，联立 2:xylk，消去 y，得22(34)8410kmk，所以2128+34mx，1221x10 分而 22111212 1+4kxxkxyk ， 13 分化简得 2234164mkk，即 220mk，显然 20k，所以2+0，解得 =或 （舍去）此时 1 ， 16 分19. 解：（1）由函数 32()1fxt，得 2()3fxtx，由 ()0f，得 x，或 23t，因函数 ()fx在 0,1） 上无极值点，所以 0t或 1t，解得 或 32t. 4 分（
15、2）方法一:令 23=fxtp，即 23xtp， 2=41tp，当243t时， 0，此时 30xtp存在不同的两个解 12,.8 分（方法二：由（1）知 2()3fxtx，令 ()f，则 2310xt，所以 2()10t，即对任意实数 t， ()1fx总有两个不同的实数根 12,x，所以不论t为何值，函数 在两点 ， 2x处的切线平行.8 分）设这两条切线方程为分别为 232113+yxtt和 2323+1yxtxt，若两切线重合，则 3212+=xt,即 1212x，即21112xt，而 12x= 3t，化简得 12=9t，此时22111409tx，与 12x矛盾，所以，这两条切线不重合，综
16、上，对任意实数 t，函数 ()f的图象总存在两条切线相互平行10 分（3）当 =t时 32()+fx， 236x，由（2）知 12+=x时，两切线平行.设3211,Ax, 1B,不妨设 1x，过点 的切线方程为 232116yx11 分所以，两条平行线间的距离 23221112211 2399xxxdx ，化简得2611=+x，13 分令 210，则 2319，即 22191，即8，显然 =为一解， 80=有两个异于 的正根，所以这样的 有 3 解，而 211212, , xxx，所以1x有 3 解，所以满足此条件的平行切线共有 3 组 .16 分20解：（1）由 43a， 32a， 21a，
17、累加得 48a.3 分（2）因 11nnq，所以 21nnq， ， 21，当 1q时， na，满足题意；当 q时，累加得 11nnaaq，所以1nnqaa5 分若存在 ,rst满足条件，化简得 2srtq，即 22rstsrtsqq，此时 1q（舍去）7 分综上所述，符合条件 的值为 1. 8 分（2）由 *2,3Nnbcn可知 31nbc,两式作差可得： 123nnb，又由4,12，可知 74故 123，所以 nb12对一切的 *N恒成立11 分对 123nn， n12两式进行作差可得 123nna,又由 7,4b可知 3,43a，故 )(,12ann13 分又由 )(121213 nna)
18、2()( 1121nnnaa,221nn,所以 232 ，15 分所以当 时 5|21nna,当 1时 3|21nna,故 k的最小值为 5.16附加题答案21（ A）解：设直线 l上一点 (,)xy，经矩阵 M变换后得到点 (,)xy，所以 01daxy，即 xayd，因变换后的直线还是直线 l，将点(,)x代入直线 l的方程，于是 2()30ady，即 (21)30axdy，所以 21ad，解得321ad，6 分所以矩阵 M的特征多项式 0()()01af add，解得 a或 d，所以矩阵的 M的特征值为 32与 1.10 分21（ B）解：由 2cos，得 2cos，所以 20xy，所以
19、圆 C的普通方程为2(1)xy，圆心 (1,0)C，半径 1r，3 分又321xty，消去参数 t，得直线 l方程为30x，6 分所以圆心到直线 l的距离 221(3)d，所以直线l被圆 C截得的弦长为 2. 10 分21.（ C）因 +3xyz，所以 13xyz，5 分又 21()()()9xyzxyz，3，当且仅当 1yz时取等号，所以 xyz的最小值为 3. 10 分22.解：（1）因 PA底面 BCD，且底面 AB为矩形，所以 ,ABDP两两垂直，以 为原点， ,分别为 ,xyz轴建立空间直角坐标系，又因 2B， 1，所以 (0,)，(2,0)， (,0)C， (,)D， ,2P，2
20、分因 E棱 P的中点，所以 ,2E.所以 2(,1)EC， (0,12)PD，所以 16cos, 322ECPD ，所以异面直线 EC与 PD所成角的余弦值为 636 分（2）由（1）得 2(,1)EC， (0,1)BC， (2,0)D，设平面 B的法向量为 11(,)nxyz，所以 1120xyz，令 1x，则 1z，所以面 BEC的一个法向量为 1(,)n，设平面 DEC的法向量为 22(,)nxyz，所以 2200xyz，令 2z，则 21y，所以面 DEC的一个法向量为 2(,1)n，所以 123cos,2n，由图可知二面角 BECD为钝角，所以二面角 BEC的余弦值为 3. 10 分23.（1）解：在 012 112312()nnnnaaCa 中，令 n，则 C，由 ， 3，解得 35. 3 分（2）假设 1a， 2， 3， ， ka是公差为 2 的等差数列，则 21ka 当 n时， =,5, 此时假设成立4 分当 k时，若 1a， 2， 3， ， ka是公差为 2 等差数列5 分由 012121231()kkkkkkaCaCa ， ，对该式倒序相加，得 1()，所以 112ka，1kk根据、可知数列 是等差数列.10 分na
