1、第页 12019 届江苏省盐城市高三年级第一学期期中模拟考试数学试题（解析版）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合 ， ，则 =_.【答案】【解析】【分析】由交集的定义可得出结论【详解】 ， ，则 =【点睛】本题主要考察集合的交集运算，即取两个集合中的公共元素2.已知函数 的最小正周期为 4，则 =_.【答案】【解析】【分析】的周期计算公式 可得答案【详解】由周期计算公式可得 ，解得 =【点睛】 或 的最小正周期计算公式均为3.函数 的定义域是 【答案】【解析】试题分析：根据题意，由于则可知 ,解不等式组可知 x 的范
2、围是 ，故答案为 。第页 2考点：函数定义域点评：主要是考查了对数函数的定义域的运用，属于基础题。4.已知命题 ， 则 ： 【答案】【解析】试题分析：根据全称命题的否定为特征命题及“” 的否定为“”可知：考点：本题主要考查了全称命题的否定点评：全称（特称）命题的否定是近年高考热点问题，难度较低，要注意分清命题的否定与否命题的区别.5.在 中， ， ，面积为 ，则边长=_.【答案】4【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求 c【详解】A =60,b=1,面积为 = bcsinA= 1c ，解得：c=4，【点睛】在解三角形面积时有三个公式可选择，但是题上已知角 A，所以我们需抓取 S= bcs
3、inA6.将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数相同的概率是_.【答案】【解析】【分析】列举出所有情况，让出现相同点数的情况数除以总情况数即为所求的概率【详解】同时抛掷两枚骰子，出现点数情况共有 66=36 种情况如下表。1 2 3 4 5 61 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 1，6()2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (35) (3,6)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)第页 35 (5,1) (5,2) (5,3) (5,
4、4) (5,5) (5,6)6 (6,1) (6,2) (6,3) (64) (6,5) (6,6)点数相同的有 6 种，即(1,1)，(2,2)，(3,3)， (4,4)，(5,5)，(6,6)，点数相同的概率为 .故答案为：【点睛】本题考查古典型概率计计算公式，古典型事件需满足两个条件：每种事件出现的概率相等，事件的结果有有限中可能；7.若数列 的首项 ，且 ，则 =_.【答案】【解析】【分析】将 变形为 ，即 得出 是以 2 为首相，1 为公差的等差数列。【详解】得 且所以即 是以 2 为首相，1 为公差的等差数列。=n+1，从而【点睛】本题主要考察等差数列的定义及通项公式，考察的核心要
5、素是数学运算及推理逻辑。8.已知函数 的图像的一个最高点为 ，其图像的相邻两个对称中心之间的距离为 ，则 =_.【答案】第页 4【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由最高点的坐标求出 的值，可得函数的解析式【详解】函数 f(x)=Asin(x+)(A0,0, 1 时，令 mx+2=0 得,m= ，故21 时，f(x) ，即 ，不等式组无解综上所述，a 的范围为【点睛】本题能够顺利求解的关键是能将已知条件进行转化为两个函数值域的包含关系，解决问题的难点在于两个函数的值域中含有参数 a，这就不得不进行分类讨论，而分类讨论又会产生本题的易错点，就是分类讨论不全面，分类标准不
6、正确14.已知数列 满足： ， .若 成等差数列， ， ，则=_.【答案】1【解析】【分析】根据题意，由数列的递推公式写出数列的前 4 项，分析可得 a1、a2、a3为等差数列的前 3 项，结合题意可得k2=2，k3=3，即可得答案【详解】根据题意,数列an满足：a 1=3, (n2)，则 a2=2a13=233=3，a3=2a23=23+3=9，a4=2a3+3=293=15，其中 a1、a3、a4为等差数列的前 3 项，又由a k1是等差数列 ,且 k1=1，则有 k2=3,k3=4，则 k3k2=1；【点睛】本题主要考察数列的递推关系，等差数列的性质等知识，考察学生综合运用所学知识进行分
7、析、推理的能力二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤第页 815.已知 的值域为集合 A， 定义域为集合 B，其中 （1）当 ，求 ；（2）设全集为 R，若 ，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）欲求 ，先求 A,B，再求他们交集即可（2）由条件 ，先求 ，对 m 进行分类讨论， 结合端点的不等关系，可得出 m 的取值范围【详解】 （1），此时 成立. 综上所述，实数 的取值范围为 .【点睛】本题主要考察对数函数的定义域，指数函数的值域，集合的包含关系的判断及应用，相对较综合，值得一提的
8、是分类讨论思想，遇到不确定的情况我们要进行分类讨论，注意分类的标准，然后再分类下每一类下求交集，再将所有分类的结果求并集16.在 中，角 所对的边分别为 ,且满足 .（1）求角 的大小；（2）设 ，且 的最大值是 ，求 的值.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：(1)先利用正弦定理将边角关系转化为角的关系： ，再根据两角和正弦公式及诱导公式化简得 ，即 ，解得 ，(2)先根据向量数量积化简 ，再利用二倍角公式及换元转化为一元二次函数 ,其中，最后根据对称轴与定义区间位置关系求最大值 ，利用最大值是 ，求出 的值.试题解析：(1) ，即，第页 9， .(2) ,设 ，则 ，则， 时， 取最
9、大值，依题意得，.17.如图给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它的夹角为 ，点 在以 为圆心的圆弧 上变动，若，其中 ，求 的最大值.【答案】解：设 C(cosq，sinq) ，0q ， 3 分A(1，0)，B(- ， )， 5 分由 得，x- y=cosq， y=sinq， 9 分 y= sinq，x+y=cosq+ sinq=2sin(q+ )， 12 分x+y 的最大值是 2 14 分【解析】试题分析：因为平面向量 和 的的长度都为 ，且夹角为 ，所以 ,由 可得 ，所以，解得 ，所以 的最大值是 .考点：向量在平面几何中的应用.【方法点晴】本题主要考查了向量在平面几何中的应用，考查
10、了利用重要不等式求最值问题，属于中档题.本题解答的关键是把 两边平方，利用平面向量数量积的性质得到 ，根据基本不等式 把上式转化为关于 的一元二次不等式，通过解不等式即可求得其最大值.18.某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率 与日产量 （件）之间大体满足关第页 10系： （注：次品率 ，如 表示每生产 10 件产品，约有 1件为次品其余为合格品 ）已知每生产一件合格的仪器可以盈利 元，但每生产一件次品将亏损 元，故厂方希望定出合适的日产量，（1）试将生产这种仪器每天的盈利额 （元）表示为日产量 （件）的函数；（2）当日产量 为
11、多少时，可获得最大利润？【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据每天的盈利额为合格数A-次品数 进行计算（2）当 时，每天的盈利额为 0， 盈利额的最大值可用求导方式进行求出，【详解】 （1）当 时， ，所以每天的盈利额 当 时， ，所以每天生产的合格仪器有 件，次品有 件，故每天的盈利额， 综上，日盈利额 （元）与日产量 （件）的函数关系为： （2）由（1）知，当 时，每天的盈利额为 0；当 时， ，因为， 令 ，得 或 ,因为96，故 时， 为增函数.令 ，得 ，故 时， 为减函数.所以，当 时， （等号当且仅当 时成立） ，当 时， （等号当且仅当 时取得） ，综上，若
12、 ，则当日产量为 84 件时，可获第页 11得最大利润；若 ，则当日产量为时，可获得最大利润【点睛】本题为实际数学问题的函数模型解决问题，首先我们应该认真审题，了解盈利额怎么算是解决问题的关键，另外在解决问题过程中涉及分段函数的问题，遇到这类型的题目我们只需要认真研究每段函数即可19.已知函数 ， ，求函数 的单调区间；记函数 ，当 时， 在 上有且只有一个极值点，求实数 的取值范围；记函数 ，证明：存在一条过原点的直线与 的图象有两个切点【答案】 （1）当 时， 为单调增区间，当 时， 为单调减区间， 为单调增区间（2）（3）在第二问的基础上，根据函数的单调性以及导数的几何意义来证明。【解析
13、】试题分析：（1）因为 ，若 ，则 ， 在 上为增函数，2 分 若 ，令 ，得 ，当 时， ；当 时， 所以 为单调减区间， 为单调增区间 综上可得，当 时， 为单调增区间，当 时， 为单调减区间， 为单调增区间 4 分（2） 时， ， 5 分在 上有且只有一个极值点，即 在 上有且只有一个根且不为重根，由 得 ，（i） ， ，满足题意； 6 分（ii） 时， ，即 ； 7 分（iii ） 时， ，得 ，故 ； 综上得： 在 上有且只有一个极值点时， 8 分注：本题也可分离变量求得第页 12（3）证明：由（1）可知：（i）若 ，则 ， 在 上为单调增函数，所以直线与 的图象不可能有两个切点，不
14、合题意 9 分（）若 ， 在 处取得极值 若 ， 时，由图象知不可能有两个切点10 分故 ，设 图象与 轴的两个交点的横坐标为 （不妨设 ） ，则直线与 的图象有两个切点即为直线与 和 的切点， ，设切点分别为 ，则 ，且， ， ，即 , , ,-得： ，由中的代入上式可得： ，即 ，12 分令 ，则 ，令 ，因为 ，故存在 ，使得 ，即存在一条过原点的直线与 的图象有两个切点14 分考点：导数的运用点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，属于难度题。20.已知数列 是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 ， （1）求 ；（2）若数列M n满足条件： ，当 时， ，其中数列 单调递增，且 ，
15、第页 13试找出一组 ， ，使得 ；证明：对于数列 ，一定存在数列 ，使得数列 中的各数均为一个整数的平方【答案】 （1） （2） ， 详见解析【解析】试题分析：（1）求等差数列前 n 项和，一般利用待定系数法，即确定首项及公差，再代入公式即可：由， ，得 解得 ，所以 （2） 题目要求找出一组，因此方法为逐一代入验证，若 由 得 ，则 无整数解；若 由得 ，则 无整数解；若 解得 从可归纳 ， ，则 ， ， ，一般的取 ，下面只需验证 使得数列 中的各数均为一个整数的平方由 得 ，为一整数平方试题解析：（1）设数列 的首项为 ，公差为 ，由 ， ，得 ， 2 分解得 ，所以 4 分（2） 因为 ，若 ， ，第页 14因为 ，所以 ， ，此方程无整数解； 6 分若 ， ，因为 ，所以 ， ，此方程无整数解； 8 分若 ， ，因为 ，所以 ， ，解得 ，所以 ， 满足题意 10 分由知 ， ， ，则 ， ， ，一般的取 ， 13 分此时 ， ，则 ，所以 为一整数平方因此存在数列 ，使得数列 中的各数均为一个整数的平方 16 分考点：等差数列与等比数列
