1、分式析因设计 Fractional Factorials,学习目标,了解分式析因设计的重要性 掌握如何生成一分式析因设计 掌握如何分析一分式析因设计 理解因素别名的概念及如何应用这一概念解释实验结果 理解与各种实验策略对应的信息知识,为什么要进行分式析因设计?,随着析因实验因素的增加,实验运行次数也相应增加 22=2x2 = 4 次 23=2x2x2 = 8 次 24=2x2x2x2 = 16 次 etc. 如假设高价互交作用的影响可以忽略不计,则有可能通过只运行完全析因实验的一部分试验来对主效应和低价互交作用作出很好的估计 分式析因设计主要用于因素筛选:实验包含的因素相对较多而试验次数相对较
2、少 因素筛选实验通常在过程改进项目的初期实施,如何分配实验资源$?,当有7个因素时, 以上的效应估计值属于3价或更复杂的互交作用,这样分配实验资源是否有效率?,分式析因设计,分式析因设计的成功实施基于如下原理: 效应稀疏原理 系统或过程通常被几个主效应和底价互交作用主宰 投影性质 如果有些效应很小,分式析因设计可以转化为全因素析因设计 序贯实验 分式析因设计可以组合成更强大的设计,基于效应稀疏原理,分式析因设计对资源的利用更有效,4 因素设计举例,假设我们要研究4 个因素的效应,老板认为16次试验太多! 怎么办? 放弃一个因素? 随机选择其中一部分试验?,简单1/2 分式析因设计,下表是一个2
3、3完全析因设计.如何在不增加试验次数的同时再增加一个因素?,因为所有列都相互独立(正交),我们可以任取一列来代表第4个变量.通常我们选择最高价互交作用,本例中即为SxTxP.,Factor M,这样做,是否有所放弃?,1/2 分式析因设计矩阵,新的设计矩阵见下表:,这是一 24 1/2 分式析因设计.仅需8次运行而不是16次.,-,1,1,-,1,1,1,P,-,1,1,S,-,1,-,1,T,1,4 因素1/2 分式析因设计 (图形表示),符号,分式析因设计的符号表示如下:,2 -每个因素的水平数 k -因素个数 2-p -分式大小 (p=1 1/2 分式,p=2 1/4 分式, etc.)
4、2k-p -试验次数 R -分辨度(resolution) 例: 表示该实验含4个因素,8次试验,分辨度IV.,设计分辨度,分辨度为III的设计: 主效应的别名不能是其它任一主效应,但可以是二因素互交作用 分辨度为IV的设计 主效应的别名不能是其它任一主效应,也不可以是二因素互交作用 二因素互交作用的别名可以是其它二因素互交作用 分辨度为V的设计 主效应或二因素互交作用的别名不能是其它任一主效应或二因素互交作用 二因素互交作用的别名可以是三因素互交作用,分辨度大小反映设计的别名复杂程度,我们可以估计哪些效应?,其它互交作用的效应如何?,除了前述4个因素,列出其它所有可能产生效应的作用因素?,我
5、们仅能进行8次试验,可以估计哪些效应?,别名(Alias),在前述设计中, 我们可以估计7 个效应 ( S, T, P, SxT, SxP, TxP, M) 但其它互交作用效应,如: SxM, TxM, PxM, SxTxPxM,等,也混合在上述效应中,别名S=TPM T=SPM P=STM M=STP ST=PM SP=TM SM=TP,线性组合LS=S+TPM LT=T+SPM LP=P+STM LM=M+STP LST=ST+PM LSP=SP+TM LSM=SM+TP,上述关系有何意义?,别名类型,事实究竟如何?M=STP 生成元(design generator)MM=STPMI=S
6、TPM 定义关系(defining relation)任一效应乘以I 就能推导出其别名 例:TP的别名是什么?TP(I)=TP(STPM)=SM所以,TP 的别名是SM,为什么 MM=I?,适用于 分式. 如p1,则别名关系更复杂,采用“生成元” ,TM, PM, TPM, SPM 的别名是什么? (见前页),什么是别名的效应,理解别名十分重要,否则会对实验结果作出错误的解释. 例如: 假设该过程真实的变量关系为:,实验进行前,这一变量关系是未知的. 我们将通过分式析因设计获得的试验数据对过程建模并估计这一变量关系. 注意:这一未知的真实方程式中, ST和PM 都很重要. ST和PM 呈别名关
7、系. 该别名关系影响对过程模型的推导和解释?,现在我明白了别名让我糊涂的原因!,线性组合,如用Minitab运行1/2方式析因设计, 将显示如下结果(不包括误差),Term Effect Coef Constant 50.000 S 10.000 5.000 T 5.000 2.500 P -0.000 -0.000 M 0.000 0.000 S*T -8.000 -4.000 S*P -0.000 -0.000 S*M 0.000 0.000 Alias StructureI + S*T*P*M S + T*P*M T + S*P*M P + S*T*M M + S*T*P S*T + P
8、*M S*P + T*M S*M + T*P,真实模型,估计的模型,线性组合,如别名相关效应的符号相反,又会发生什么情况?,哇! 这样看S*T好象并不重要!我差一点把它从模型中删除!,别名的线性组合就是相关效应的和!,真实模型,估计的模型,别名小结,别名(或 混杂) 意味着相关因素具有相同的列(列中+1和 -1的顺序相同). 别名的效应就是相关(相混杂,互为别名)的效应的线性组合即其和. 估计的别名效应即线性组合可能会人为增大,减小或相互抵销,这取决于相关效应(未知,未混杂)的真实值. 既然如此,我们为什么还能容忍这些缺陷? 如何才能解决这个问题?,设计一分式析因设计,Minitab 可以提供
9、分式析因实验的各种设计选项. 如对一5因素分式析因实验,可按下列命令: StatDOECreate Factorial Design,1.,2.,Minitab分式析因设计,StatDOECreate Factorial DesignDisplay Available Designs,设计选项,表中显示3个选项:2个分式析因设计和1个完全析因设计,Minitab Session 窗口输出,Factorial DesignFractional Factorial DesignFactors: 5 Base Design: 5, 8 Resolution: III Runs: 8 Replicat
10、es: 1 Fraction: 1/4 Blocks: none Center pts (total): 0* NOTE * Some main effects are confounded with two-way interactionsDesign Generators: D = AB E = AC Alias StructureI + ABD + ACE + BCDEA + BD + CE + ABCDE B + AD + CDE + ABCE C + AE + BDE + ABCD D + AB + BCE + ACDE E + AC + BCD + ABDE BC + DE + A
11、BE + ACD BE + CD + ADE + ABC,练习,在前例中选择1/2 分式析因设计 (16 次试验). 分辨度如何? 别名类型如何? 有何想法?,25-1 设计练习,在一集成电路生产线上用25-1设计来研究五个因素,目的是改进产出率 :A = 窗口定位(小,大) aperture setting B = 曝光时间( 低于额定值20%,高于额定值20) exposure time C = 冲洗时间 (30 s, 45 s) development time D = 屏蔽大小(小,大) mask dimension E = 蚀刻时间(14.5 min, 15.5 min) etch
12、time 基本设计为A, B, C, 和D 的一个24设计,设定第五个因素E=ABCD*.,2 5-1设计矩阵,图表分析,打开文件mont1.mtw并进行下列分析: 符合性分析(ANOG) 正态概率图(Normal Probability Plot)? 排列图(Pareto)? 主效应(Main Effects)? 互交作用效应(Interaction Effects)?此设计的分辨度是多少? 别名结构如何? 哪些是重要效应?哪些是非重要效应? 你的结论是什么?,Session 窗口输出,I + ABCDEA + BCDE B + ACDE C + ABDE D + ABCE E + ABCD
13、 AB + CDE AC + BDE AD + BCE AE + BCD BC + ADE BD + ACE BE + ACD CD + ABE CE + ABD DE + ABC,结果,Stat DOE Analyze Factorial Design Response=Yield Terms (put them all in) OK OK,Fractional Factorial Fit Estimated Effects and Coefficients for Yield (coded units) Term Effect Coef Constant 30.3125 aperture
14、11.1250 5.5625 exposure 33.8750 16.9375 developm 10.8750 5.4375 mask dim -0.8750 -0.4375 etch tim 0.6250 0.3125 aperture*exposure 6.8750 3.4375 aperture*developm 0.3750 0.1875 aperture*mask dim 1.1250 0.5625 aperture*etch tim 1.1250 0.5625 exposure*developm 0.6250 0.3125 exposure*mask dim -0.1250 -0
15、.0625 exposure*etch tim -0.1250 -0.0625 developm*mask dim 0.8750 0.4375 developm*etch tim 0.3750 0.1875 mask dim*etch tim -1.3750 -0.6875,统计显著性?,Analysis of Variance for Yield (coded units)Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Main Effects 5 5562.8 5562.8 1112.56 * * 2-Way Interactions 10 212.6 212.6 2
16、1.26 * * Residual Error 0 0.0 0.0 0.00 Total 15 5775.4,No P Values.,Session Window Output,方差分析,Fractional Factorial Fit Estimated Effects and Coefficients for Yield (coded units) Term Effect Coef StDev Coef T P Constant 30.3125 0.4045 74.94 0.000 aperture 11.1250 5.5625 0.4045 13.75 0.000 exposure 3
17、3.8750 16.9375 0.4045 41.87 0.000 developm 10.8750 5.4375 0.4045 13.44 0.000 mask dim -0.8750 -0.4375 0.4045 -1.08 0.308 etch tim 0.6250 0.3125 0.4045 0.77 0.460 aperture*exposure 6.8750 3.4375 0.4045 8.50 0.000Analysis of Variance for Yield (coded units) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Main Effe
18、cts 5 5562.81 5562.81 1112.56 424.96 0.000 2-Way Interactions 1 189.06 189.06 189.06 72.21 0.000 Residual Error 9 23.56 23.56 2.62 Total 15 5775.44,Stat DOE Analyze Factorial Design Response=Yield Terms A B C D E AB OK OK,现在,统计显著性是多少?,结论,如分式析因设计只有一个响应值 : 当模型中包含所有因素和互交作用时,没有误差项 应先分析模型中所有因素和互交作用,确定哪些效
19、应是显著的 再次分析时,模型中仅包含显著因素和互交作用以确定P-值并验证显著性(不显著因素和互交作用归入误差项),带重复的分式析因设计,File: mont2.mtw,响应均值分析,标准差分析,响应均值残差分析,Stat DOE Analyze Factorial Design Graphs Residual Plots,Analysis of Variance for AvgY (coded units) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Main Effects 5 5208.6 5208.6 1041.72 * * 2-Way Interactions
20、 10 447.4 447.4 44.74 * * Residual Error 0 0.0 0.0 0.00 Total 15 5656.0,方差分析,Analysis of Variance for S (coded units) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Main Effects 5 103.87 103.87 20.775 * * 2-Way Interactions 10 62.00 62.00 6.200 * * Residual Error 0 0.00 0.00 0.000 Total 15 165.87,No P Values. L
21、eave A, B, C, D, E, AB, AC, BC, AD and DE in the model,简化模型的方差分析-响应均值,Term Effect Coef StDev Coef T P Constant 30.5000 0.3400 89.70 0.000 Aperture 13.5000 6.7500 0.3400 19.85 0.000 Exposure 32.1250 16.0625 0.3400 47.24 0.000 Developm 9.3750 4.6875 0.3400 13.79 0.000 Mask Dim -0.0000 -0.0000 0.3400 -
22、0.00 1.000 Etch Tim 0.0000 0.0000 0.3400 0.00 1.000 Aperture*Exposure 9.3750 4.6875 0.3400 13.79 0.000 Aperture*Developm 3.6250 1.8125 0.3400 5.33 0.003 Aperture*Mask Dim 2.0000 1.0000 0.3400 2.94 0.032 Exposure*Developm -1.5000 -0.7500 0.3400 -2.21 0.079 Mask Dim*Etch Tim 1.5000 0.7500 0.3400 2.21
23、0.079Analysis of Variance for AvgY (coded units) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Main Effects 5 5208.62 5208.62 1041.72 563.09 0.000 2-Way Interactions 5 438.13 438.13 87.63 47.36 0.000 Residual Error 5 9.25 9.25 1.85 Total 15 5656.00,简化模型的方差分析-标准差,Term Effect Coef StDev Coef T P Constant 3.447 0
24、.2271 15.18 0.000 Aperture -1.591 -0.795 0.2271 -3.50 0.017 Exposure 3.889 1.945 0.2271 8.56 0.000 Developm 2.828 1.414 0.2271 6.23 0.002 Mask Dim 0.530 0.265 0.2271 1.17 0.296 Etch Tim -0.177 -0.088 0.2271 -0.39 0.713 Aperture*Exposure -1.414 -0.707 0.2271 -3.11 0.026 Aperture*Developm -1.768 -0.88
25、4 0.2271 -3.89 0.011 Aperture*Mask Dim 0.530 0.265 0.2271 1.17 0.296 Exposure*Developm 1.945 0.972 0.2271 4.28 0.008 Mask Dim*Etch Tim -2.298 -1.149 0.2271 -5.06 0.004Analysis of Variance for S (coded units) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Main Effects 5 103.875 103.875 20.7750 25.18 0.001 2-Way
26、Interactions 5 57.875 57.875 11.5750 14.03 0.006 Residual Error 5 4.125 4.125 0.8250 Total 15 165.875,带反复的分式析因设计,File: mont3.mtw,设计分析,残差分析,方差分析,Term Effect Coef StDev Coef T P Constant 30.5000 0.8339 36.58 0.000 Aperture 13.5000 6.7500 0.8339 8.09 0.000 Exposure 32.1250 16.0625 0.8339 19.26 0.000 De
27、velopm 9.3750 4.6875 0.8339 5.62 0.000 Mask Dim 0.0000 0.0000 0.8339 0.00 1.000 Etch Tim 0.0000 0.0000 0.8339 0.00 1.000 Aperture*Exposure 9.3750 4.6875 0.8339 5.62 0.000 Aperture*Developm 3.6250 1.8125 0.8339 2.17 0.045 Aperture*Mask Dim 2.0000 1.0000 0.8339 1.20 0.248 Aperture*Etch Tim 1.0000 0.50
28、00 0.8339 0.60 0.557 Exposure*Developm -1.5000 -0.7500 0.8339 -0.90 0.382 Exposure*Mask Dim 0.6250 0.3125 0.8339 0.37 0.713 Exposure*Etch Tim -0.3750 -0.1875 0.8339 -0.22 0.825 Developm*Mask Dim -0.1250 -0.0625 0.8339 -0.07 0.941 Developm*Etch Tim 0.8750 0.4375 0.8339 0.52 0.607 Mask Dim*Etch Tim 1.
29、5000 0.7500 0.8339 0.90 0.382Analysis of Variance for Yield (coded units) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Main Effects 5 10417.2 10417.2 2083.45 93.64 0.000 2-Way Interactions 10 894.8 894.8 89.48 4.02 0.007 Residual Error 16 356.0 356.0 22.25Pure Error 16 356.0 356.0 22.25 Total 31 11668.0,P Values!,分式析因设计的其它特点?,可将一较大的实验分成几小部分执行 可加入中心点,复习,分式析因设计及重复(Repeats) 短期波动-一次设置之中 可能会增加成本 反复(Replicates) 纯误差,反映几次设置之间的波动 相对于重复,其成本较大 统计推导及适用空间大,其它类型的分式析因设计,Plackett-Burman 基本设计的分辨度为III 实验包含的试验次数是4的倍数 别名关系复杂 试验次数是12及20的设计较常用 Taguchi 也可认为是主效应设计 应用正交表 L8及L18最常用,总结,复习分式析因设计及其分析 掌握别名的概念及其引起的后果 知道其它析因设计类型,
