1、物理场及其分析,物理场的定义与表示： 几何表示：等值面、矢量线 代数表示：基于坐标系的函数表示形式场的研究角度： 几何方法与代数方法 微分方法与积分方法 基于算子的简洁表示,1、标量场定义及图示,对于区域V 内的任意一点r，若有某种物理量的一个确定的数值或标量函数(r)与之对应，我们就称这个标量函数(r)是定义于V 内的标量场。,标量场有两种：与时间无关的恒稳标量场，用(r) 表示；与时间有关的时变标量场，用(r , t )表示。,1.2 标量场及其梯度,等值线,形象描绘场分布的工具-场线,标量场-等值线(面)。,其方程为,2、梯度,线元矢量：,(1)梯度的导出,右图中，由 点到邻近的 点的微
2、分位移 将导致场函数有一微分增量,因此,标量场的相应微增量 则为：,标量场 在 点的梯度(gradient) 定义为：,(2)方向导数与梯度的关系,偏导数 、 、 分别叫做 在x、y、z 方向上的方向导数，用梯度表示为,推广到(x,y,z)在某点沿任意矢量 l 方向的方向导数，则应表为,式中，el是l 的单位矢量。,（3）梯度的物理意义,标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标的函数；,梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.,梯度的大小为该点标量函数 f 的最大变化率，即该点最大方向导数；,例1 电位场的梯度,与过该点的等位线垂直；,指向电位减少的方
3、向。,数值等于该点的最大方向导数；,电位场的梯度,（4）哈密顿算子 （读作del或nabla）,直角坐标系中的具体形式为,使用 算符时注意几点：,单独存在没有任何意义；算符虽然不是一个真实矢量，但在运算中，必须视为矢量，并令它具有矢量的一般特性，即 ， 。在不同坐标系中， 算符有不同的表达形式。,（5）梯度的基本运算公式,（c 为常数）,（6）梯度运算的几个基本关系式,相对坐标标量函数 f (rr),证明 ：在直角坐标系中f (rr) = f (x x，y y，z z ),令 x x = X，yy = Y，zz = Z，应用复合函数求导法则可得,即有,上式重写为,等式若成立，则应有,同理可得,证毕。,相对位置矢量R = r r 的模 R = rr,在直角坐标中,则,同理有,于是,根据算符的微分特性可得,（R 0）,例 2 求 f = 4e 2x y+ z 在点P1（1，1，1）处的由该点指向P2（3，5，6）方向上的方向导数。,解：,于是，f 在P1 处沿R12 方向上的方向导数为：,例3 应用标量场的梯度与该标量场的等值面处处正交的概念，求两曲面 x2 +y2+z2=9 和 x2+y2=z+3在P(2,-1,2)处相交的锐角。,求P点处的梯度,P,
