1、 每周一讲高中系列 第七讲阿波罗尼斯圆1、适用题型1、已知两个线段长度之比为定值；2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等；3、向量的定比分点公式结合角平分线；4、线段的倍数转化；2、基本理论（1）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式）设三角形的三边长分别为 ，中线长分别为 ,则：cba, cbam,22221cbambacb（2）阿波罗尼斯圆一般地，平面内到两个定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，此圆被叫做(1)“阿波罗尼斯圆” 则， 若 设不 妨 设 ,0,0, yxPaBPAaA22yxyx化简得：22211aa轨迹为圆心 的圆022， 半 径 为，（3）阿波罗尼斯圆的性质1、满足上面条件的
2、阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比 内分 和外分 所得AB每周一讲高中系列 第七讲的两个分点；2、直线 平分 ，直线 平分 的外角；CMABCNAB3、 NB4、 5、 ；内在 圆点内 ；在 圆时 ， 点 OAOB,1016、若 是切线，则 与 的交点即为 ；ADC,CB7、若点 做圆 的不与 重合的弦 ，则 平分EF；EF3、补充说明1、关于性质 1 的证明定理： 为两已知点， 分别为线段 的定比为 的内、外分点，则以BA, QP,AB1为直径的圆 上任意点到 两点的距离之比等于常数 。PQOBA证明：不妨设 11, aBQAaBPACD， 则垂 直 的 弦的 与 直 径作 圆过 点设由相交
3、弦定理及勾股定理得： BCAaAaBCAaQ则于 是 ,1,1122 22222从而 同时在到 两点距离之比等于 的曲线（即圆）上，而不共线的三点所确QP,定的圆是唯一的，因此圆 上任意点到 两点距离之比等于常数。O,每周一讲高中系列 第七讲2、关于性质 6 的补充若已知圆 及圆 外一点 ，则可作出与点 对应的点 ，只要过点 作圆 两条OAABAO切线，切点分别为 ，连结 与 即交于点 。反之，可作出与点 对应的点DC,Q4、典型例题例 1 （教材例题）已知一曲线是与两个定点 、 距离的比为 的点的轨(0,)O(3,)A12迹，求此曲线的方程，并画出曲线。解：设点 是曲线上任意一点，则 ，整理
4、即得到该曲线的方程为：(,)Mxy21(3)xy。2(1)4x例 2 （2003 北京春季文）设 为两定点，动点 P 到 A 点的距离与)0(,)0,(cBcA到 B 点的距离的比为定值 ，求 P 点的轨迹 . (a解：设动点 P 的坐标为（ x，y） 由 .acaBA2)()0(|， 得化简得 .0)1()(11 222 yxx当 ，整理得 .0)(, 22ycaa得时 222)1()1acycax当 a=1 时，化简得 x=0.所以当 时，P 点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆；1)0,1(2ca|1|2ac当 a=1 时，P 点的轨迹为 y 轴.每周一讲高中系列 第七讲例 3 （2005
5、 江苏高考数学）如图，圆 与圆 的半径都是1O21， ，过动点 P 分别作圆 .圆 的切线 PM、 PN（M.N 分别42O12为切点） ，使得 奎 屯王 新 敞新 疆 试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹NM2方程 奎 屯王 新 敞新 疆解：以 的中点 O 为原点， 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则 （-2 ，0） ，1212 1O（2，0） ，O由已知 ，得 奎 屯王 新 敞新 疆PNM22P因为两圆的半径均为 1，所以 奎 屯王 新 敞新 疆)(21设 ，则 ，),yxP1)2(2yxy即 ，36(2所以所求轨迹方程为 奎 屯王 新 敞新 疆 （或 ）3)6(2yx 03
6、22xyx例 4 （2006 四川高考理）已知两定点 、 ，如果动点 P 满足 ，则点 P(,0)A(1,)B2AB=的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）（A） （ B） （ C） （ D）p4p8p9p解：B例 5 （2008 江苏高考） ，则 的最大值为_.BAA2,中 ， ABCS答案： 34变形： ，则 的最大值为_.3:5:,4CBAABC中 ， ABCS答案： 215例 6 设点 依次在同一直线上， ，已知点 在直线 外，满足DBA, 2,3,6DBAPAD，试确定点 的几何位置。CPPPO1 O2M NPO1 O2oM Ny x每周一讲高中系列 第七讲解：先作线段 关于 2:1 的
7、阿氏圆 ，再作线段 关于 3:2 的阿氏圆 ，两圆交点即为点 ，AC1BD2P同时该点关于直线 的对称点也为所求。D例 7 （2011 年南通一模）已知等腰三角形一腰上的中 线长为，则该三角形面积的最大值为_.3每周一讲高中系列 第七讲例 8 （2013 江苏高考）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 )3,0(A，直线 42:xyl设圆 C的半径为 1，圆心在 l上（1）若圆心 也在直线 xy上，过点 A作圆 C的切线，求切线的方程；（2）若圆 上存在点 M，使 2，求圆心 的横坐标 a的取值范围解：（1）联立： 421xy，得圆心为：C(3，2)设切线为： 3k，每周一讲高中系列 第七讲d
8、 11|23|rk，得： 430kork故所求切线为： 0xyy（2）设点 M(x，y)，由 OA2，知： 222)3(yxy，化简得： 4)12，即：点 M 的轨迹为以(0 ，1)为圆心，2 为半径的圆，可记为圆 D又因为点 在圆 C上，故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切故：1|CD|3，其中 22)3(a解之得：0a 125例 9 圆 不等且外离，现有一点 ，它对于 所张的视角与对于 所张的视21,O圆 P1O圆 2O圆角相等，试确定点 的几何位置P答案：做圆 的内、外公切线，分别交连心线 于点 ，以线段 为直径的21,圆 21BA,圆 ，就是线段 关于 的阿氏圆，该圆上任意一点都符合要
9、求。21:r每周一讲高中系列 第七讲例 10 在 轴正半轴上是否存在两个定点 、 ，使得圆 上任意一点到 、xAB24xyA两点的距离之比为常数 ？如果存在，求出点 、 坐标；如果不存在，请说明理由。B12解：假设在 轴正半轴上是否存在两个定点 、 ，使得圆 上任意一点到 、xAB24xyA两点的距离之比为常数 ，设 、 、 ，其中 。B12(,)Pxy1(,0)(,)10x即 对满足 的任何实数对 恒成立，21()xy24(,)xy整理得： ，将 代入得：2211(4)3()xxy24，这个式子对任意 恒成立，所以一定有：212()x,，因为 ，所以解得： 、 。2104210x1x24所以
10、，在 轴正半轴上是否存在两个定点 、 ，使得圆 上任意一点x (,0)A(,)B24xy到 、 两点的距离之比为常数 。AB2例 11 铁路线上线段 km，工厂 到铁路的距离 km。现要在 、 之间某10AC20AAB一点 处，向 修一条公路。已知每吨货物运输 km 的铁路费用与公路费用之比为 ，DC13:5为了使原料从供应站 运到工厂 的费用最少，点 应选在何处？BD解：建立如图所示直角坐标系，先求到定点 、 的距离之比为 的动A35点 的轨迹方程，(,)Pxy即：，整理即得动点2235(0)xy的轨迹方程：,P，249xy D1E1 E D y XCAB每周一讲高中系列 第七讲令 ，得 （
11、舍去正值）即得点 。0y15x(15,0)D,25ADC下面证明此点 即为所求点：D自点 作 延长线的垂线，垂足为 ，在线段 上任取点 ，连接 ，再作BCEB11于 。1E1设每吨货物运输 km 的铁路费用为 ，3(0)k则每吨货物运输 km 的公路费用为 ，5如果选址在 处，那么总运输费用为 ，1D115(35)ykBDCBDk而 BECA 1253 113BDE那么总费用 ，11(35)()5()5yDCkEkCDEk当且仅当点 、 、 共线时取等号1总上所述，点 即为所求点例 12 已知点 ，点 分别为圆 及直线 上一点，4,3PBA,4422yx 013yx则 的最小值为_.AB2答案：7例 13 中， , 的角平分线，且满足 ，则 的最大ABC3AD为 ACBD312ABCS值为_.答案：3
