1、第六章 势流理论,势流:理想流体绕物体的流动,或为无旋流动。,像波浪、机翼升力等问题用势流理论进行研究可获得满意结果。,.流体力学最终目的是求流体作用于物体上的力和力矩；,求解势流问题的思路如下：,.为求力和力矩，须知物面上压力分布，即须解出未知的压力函数（x，y，z，t）,课堂提问：为什么上、下弧旋乒乓球的应对方法不同？,. 利用拉格朗日积分将压力和速度联系起来，要求出，必须先求出速度V,. 对于势流，存在速度，满足：,.满足拉普拉斯方程：,（-）,若给出问题的边界条件和初始条件，拉普拉 斯方程可以解出。,解拉普拉斯方程流体作用于 固体的力和力矩。,求解思路可简述为：,求解拉普拉斯方程的方法
2、很多，本章只介绍 一个简单的方法： “迭加法”,迭加法：预先选出一个“调和函数”，或数个调和函数的迭加，反过来检验是否满足所给的初始条件和边界条件。若满足则预先选定的调和函数就是所需要的解。,本章主要研究内容：,1.着重讲理想流体平面绕流问题（平面势流）,2.几种最简单的势流（几个调和函数）,3.绕园柱体的无环流流动,4.绕园柱体的有环流流动,5.附加惯性力与附加质量,6.作用于流体上的力和力矩,明确两点重要结论：,）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。,）若园柱体本身转动，则它要受到升力的作用，即著名的麦格鲁斯效应。,本章仅讨论求解势流问题的基本思路并针
3、对简单问题的求解。,-1 几种简单的平面势流,平面流动（或称二元流动）应满足的条件：,平面上任何一点的速度和加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；,与该平面相平行的所有其它平面上的流动情 况完 全相同。,图 61,船舶在水面上的垂直振荡问题，因船长比 宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓 慢，可近似认为流体只在垂直于船长方向的平 面内流动。,图 62,一、均匀流,设所有流体质点均具有与 轴平行的均匀速度Vo，,VVo， Vy,现求和。平面流动速度势的全微分为：,积分常数不起作用，可省去。,积分得势函数： （-4）,流函数的全微分：,积分得流函数：Vo （-5）,由（-4） 和（-5）
4、有：,const，等势线,=const，流函数等值线（流线）,两组等值线相互正交,图63,例如：均匀流的速度势可表示平行平壁间的流 动或薄平板的均匀纵向绕流。,图64,二、源或汇,流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，反向流动谓之汇。,设源点坐标原点流出体积流量为,Vr=f(r)， V = 0,不可压缩流体的连续性方程：,2rVr , Vr/2r （-6）,在直角坐标系下：,图65,采用极坐标，由和的全微分积分：,流线为const，为原点 引出的 一组射线,等势线为const，流 线为同心圆,相互正交。,图66,（-8）,对于扩大（收缩）流道中理想流体的流动， 可以用源（汇）的速度势来描述。,
5、图6-7,当，则 V为点源，反之为点汇。,三、偶极子,无界流场中等流量的源和汇 无限靠近，当间距x时，流 量，使得两者之积趋于一 个有限数值，即： x （x） (6-9),用迭加法求和,这一流动的极限状态称为偶极子，为偶极矩。,图68(a),rr2x cos,当x时，x， 1 ，r2r,利用泰劳展开:,展开后并略去x 二阶以上小量，可得：,令,对于流函数：,这里：r2 x Sin1,所以,代入上式得:,当x0时，x，2，1,直角坐标系下：,令C即得流线族：,或,即,流线：圆心在轴上，与x轴相切的一组圆，,轴线：源和汇所在的直线,等势线：圆心在轴上，与轴相切的一组圆。,这些圆与const正交,注
6、意：,偶极子的轴线和方向,方向：由汇指向源的方向,图6-8（b）,四、点涡（环流）,点涡：无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡，方向垂直于x0y平面，与xoy平面的交点,诱导速度沿点涡为中心的圆周切线方向，大小 与半径成反比：,（15）,图 6-9,采用极坐标来求和,流函数,图 6-9,对应于反时针的转动 对应于顺时针的涡旋,63 绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理,绕圆柱体的无环量流动：无界流场中均匀流和偶极子迭加形成的流动。,均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环流流动,无穷远条件:,圆柱绕流的边界条件：,圆柱表面不可穿透，即r=0处，有 V= V=，或=0 的圆周是一条流线。,在无穷远处
7、，流体未受圆柱体的扰动，该处 为均匀流。,2.物面条件:,边界条件的数学表达式,（a）无穷远条件：,（）物面条件：,r = r，v= vr=或r = r处= （零流线）,均匀流和偶极子迭加后的速度势和流函数为:,（ 18） （ 19 ）,令（619）式为零：,若Sin，有或,因此的流线中有一部分是轴,若 ，即,令 , 就有r = r0，,圆周r = r0 也是流线的一部分,现在验证边界条件（）,当，从上式可得:,当= 时，V0, 满足不可穿透条件。,(6 21),验证边界条件（b）,上述结果表明：,1.无界流场中，均匀流和偶极子迭加的速度势， 完全满足绕圆柱体无环流流动的远场和近场的 边界条件
8、。,2.无界流场中，均匀流和偶极子迭加后的流场在 区域的流动情况与均匀流绕圆柱的流动 情况完全一样。,迭加后将的部分去掉，用的圆柱体替代不会对流场有任何影响。因此绕圆柱体无环流流动的速度势就是均匀流加偶极子的速度势。,圆柱表面的速度分布:,由（-21）式，当时：,（22）,对，两点：,或， ,驻点：速度为零的点,速度达到最大值，圆柱体半径无关。,在流线 上（包括轴和圆柱表面）：,流体从以流速V流向圆柱，接近圆柱速逐渐减小，到达点时速度降至零。然后分为二支向两侧流去，同时速度逐渐增大，到达B，D点时速度增至2V达最大值。,2.经过，后又逐渐减小，在点汇合时速度 又降至零。离开点后，又逐渐加速，流
9、向后方 的无限远处时再恢复为。,柱面上的压力分布:,定常，不计质量力的拉格朗日积分式为:,将（-22）式代入即得圆柱表面上压力分布:,（24）,压力分布既对称于轴 也对称于轴。,在，两点压力最大,在，两点压力最小,-处： C=，压力渐大点达极大C分两支分别流向，点。,沿这条流线的压力变化为：,，点：压力为极小值C,点：恢复到极大值， C，点 + 压力再次减小至p0，C,理想流体对圆柱体的作用力:,绕圆柱的无环量流动： 升力 压力分布对称于轴 阻力 压力分布对称于 y轴,结论与实验结果矛盾实测结果：称为达朗贝尔谬理，它在理论上很有意义。,破坏了压力分布对轴的对称性,达朗贝尔谬理成立的条件可归纳为
10、：,. 理想流体,. 物体周围的流场无界,. 物体周围流场中不存在源、汇、涡等奇点,. 物体作等速直线运动,. 物体表面流动没有分离,若其中的任一条件被破坏，则物体即将遭受到流体的作用力（阻力或升力）。,由达朗贝尔谬理，可分析物体在流体中运动时可能受力的种类及其本质。,-3 绕圆柱体的有环量流动麦格鲁斯效应,环量为顺时针平面点涡,绕圆柱体的有环量流动：,绕圆柱体的无环流,边界条件仍成立： 1.圆柱是一条流线2.无穷远处的边界条件,将绕圆柱体无环流流动与点涡进行迭加：,（6-29）,顺射针转动取负,当=o (圆周仍为流线),流场中速度分布为:,(6-30),r=0 即圆柱表面上速度分布：,圆柱上
11、表面：,顺时针环流引起的速度与无环量绕流的速 度方向相同，故速度增加。,圆柱下表面：,方向相反，因而速度减少。,（631）,驻点位置与的大小有关：,驻点处=，由（6-31）有,两驻点在圆柱面上 ,并对称 位于三、四象限。 增加，则 A,B两驻点下移，并互相靠拢。,1） 4r0V0,2）4r0V0,两个驻点重合成一点。,3） 4r0V0,驻脱离圆柱面沿轴向下。,令式（6-30）中 V= V =， 解出两个驻点：一个在圆柱体内，另一个在圆柱体外。,实际只有一个在圆柱体外的 自由驻点。,结论：,1. 合成流动对称于轴，圆柱仍将不受阻力,2. 合成流动不对称于轴，产生了向上的升力,升力大小的计算：,将
12、圆柱表面上速度分布得： V2Vsinr代入柏努利方程,单位长圆柱所受到的升力为：,将（-33）代入上式，并考虑到,上式揭示了升力和环量之间的一个重要关系：,即升力的大小准确地和环量成正比，此 外还和流体密度及来流速度V成正比。,称为库塔儒可夫斯基升力定理,升力的方向:,右手四指顺来流速度矢量，逆环流方向转90,该定理在绕流问题中具有普遍意义，不仅 对圆柱而且对有尖后缘的任意翼型都是正确的。,真实流体由于粘性，圆柱后部会有分离，除 升力外还会有阻力，但升力仍可用（-3） 式计算。,麦格鲁斯效应：,绕旋转圆柱体流动会产生升力的现象。,如乒乓球、排球中的弧圈球、飞行而又旋 转的炮弹等受到横向力的作用
13、，都是这一原理 的应用。,德国工程师弗来脱纳尔于1924年利用麦 格鲁斯效应在他的试验船Buckan号上设置铅 垂的旋转圆柱以代替风帆，即旋筒推进器。,推力: L在船前进方向的分力,例6.2 已知速度势=x-x y2 ，求流函数,解:,积分得:,式中f(x)为与y无关的函数。将对x求导:,即f(x)=C。则流函数为:,求：叠加后的速度势,解:,而,对求导得:,另外,代入(a)得势函数:,例6.3 已知平面点涡的流函数和平面点汇的流函数分别为 和,例6.6 已知流函数,求: ）驻点位置；）绕物体的环量；）无穷远处的速度；）作用在物体上的力。,解 : ）求驻点位置(先求速度场),令，则零流线为r=
14、5的圆柱即为物面。,在物面上，时，V，所以,令，有,即驻点位置为,）求环量,）求速度,在物面上,所以,即为无穷远的来流速度。,）求合力,若kg,则V0 6.2810,例6. 在x0的右半平面(y轴为固壁)内,处于x轴上距壁面为a处有一强度为Q的点源。,求: 流函数、势函数及壁面上的速度分布,解： 用镜像法,在x=a的对称位置x=-a处虚设 一个等强度的点源,则可形成y轴处固壁。,叠加后的势函数为：,在x=0处即固壁上,流函数为：,满足不可穿透条件,4 附加惯性力与附加质量,物体在无界流体内的运动可分为两大类:,1.匀速直线运动,2.非匀速运动:,坐标系固结于物体上仍为惯性系， 为均匀来流绕物体
15、的定常流动。,由上两节的方法求压力分布、合力、力矩等,坐标系固结于物体上为非惯性系， 为非定常流动问题。,不能由上两节的方法求压力分布、合力、力矩等,本节讨论无界流场中物体作非匀速直线运动,无界流场中的非定常运动物体质量为,物面为。,取半径非常大的球面,物体运动使周围流体微团亦产生了 大小和方向不同的加速度。,内流体以加速度a运动,推动物体的作用力：1. 必须为增加物体的动能而作功2. 还要为增加流体的动能而作功,因此，外力力将大于,设 （） （635）,称为附加质量，称为虚质量。,令 I （636）,则： I （637）,附加惯性力：物体加速周围流体质点时受到周围流体质点的作用力,由（636
16、）知I的方向与加速度方向相反。,当0时I，即物体加速度运动时，为阻力；,当0时，I0，即物体减速时，I为推力。,附加质量的计算,式中,对于在区域及外边界和内边界上所 定义的单值连续函数P, Q, R , 高斯定理：,将上式用于流体动能表达式可得:,由方向导数定义知：,因此,例如当圆柱体在静止流体中运动时，其绝 对速度势为：,注：绕圆柱的相对速度势为,比较速度势及其微分的量阶：,当取足够大时，则,式中,结论：附加质量仅与物体的形状和运动形式有关， 而与物体的速度或加速度无关。,物体沿x向作变速直线运动的附加质量,若物体运动有六个自由度，有36个分量例如船舶靠离码头，波浪作用引起横摇，纵摇等考虑附
17、加质量、附加转动惯量。,的个数随物体具有的对称面而减少,船舶6个自由度非定常运动附加质量,注：m为排水量， Ixx为m绕x轴的转动惯量， Iyy为m 绕轴的转动惯量.,其附加质量为其排开的流体质量,例如半径为r0的无限长圆柱沿垂直本身轴 线的方向在密度为的流体中直线平移,其单 位长度上的附加质量为：,-7 作用在物体上的流体动力和力矩,作用力:,物体周线上微弧长dS, 作用力为pdS在和方向的投影分别为:,图-19,（662）,因为,为ds的切线方向与方向的夹角。,得和方向的总力：,(6-63),作用力和共轭作用力定义为：,（-66）,由伯努利方程式,（63）代入（）得共轭作用力：,在物体周线
18、上,因此,所以,故,（）和（）即为计算作用在 物体上流体动力的卜拉休斯（Blasius）公式。,若绕任意形状柱体流动的复势W(z)=f(x+iy) 已知，就可由Blasius公式求出作用在单位长度 柱体上的共轭作用力，取实部即得，取虚部 加负号就是。,作用在任意形状柱体上对坐标原点的力 矩，由（-6）式得,由于,所以,因,所以,上式即为计算作用在物体上的流体动力力矩 的Blasius公式。,若绕任意形状柱体流动的复势(z)已知， 积分(6-70)再取其实部，便得单位长度柱体上 作用力对原点的力矩。,任意形状剖面物体上的流体动力：,如机翼、汽轮机叶片、水翼或螺旋桨剖面 等，本定理求这些剖面上的流
19、体动力，有重 要的理论与实际意义。,设理想不可压缩流体,无限远来流速度V 绕流一任意形状的柱体，流动为定常势流 求:物体的升力和阻力。,坐标原点位于物体剖面上，设物体周线 以外无奇点。作一个任意半径的圆周将物体 周线包围在内，则复速度在圆外处处解析, （可展开为罗朗级数）在无限远处流体的流速 为V0，则有:,（a）,x,即复速度在无限远点解析。函数在无限远点 解析时其罗朗级数只有负整数幂的项，故复 速度可展开为：,（b）,A0 和 A1 的确定:,因流体不可压缩，通过包围物体的任意周线的体积流量为零。由（-5）式有：,将（）式代入上式，并根据留数定理：,将上式代入Blasius公式（-6），便
20、可计 算出共轭作用力:,根据留数定理其积分结果为:,(-7),其实部和虚部分别为：阻力 RX升力 LYV0 （6-73）,结论：,2.升力的大小为V0，方向垂直于V0,1.物体只受到升力，不受阻力。,3. （逆时针）时，方向朝下，（顺时针）时，方向朝上。,升力方向按右手法则：四指顺来流逆环流转90o,与绕圆柱体有环流流动的结果完全一致,讨论：,1. 已知环量c，求圆柱体的旋转角速度,环量c 2r0 Vs 2r20 ,圆柱表面的切向速度 Vs = r ,所以 0 / 2r20,2.圆柱体长10m，直径1m，在静止流体中绕自身 轴旋转，并沿垂直于自身轴方向等速移动，自然 风u与V垂直。,求: 圆柱体受力,解：由上题结果,环量 c 2r0 Vs 2r20 37.1 m2/s,所以,3.设在（a,0)处有一平面点源，在（a,0)处有一平面点汇， 他们的强度为Q，若平行直线流动和这一对强度相等的源和汇叠加，,试问：此流动表示什么样的流动并确定物面方程,叠加后的流场：,令 ，求流线即物面方程得:,
