1、书书书第 13 卷 第 2 期 2013 年 1 月16711815( 2013) 02-0263-07科 学 技 术 与 工 程Science Technology and EngineeringVol. 13 No. 2 Jan 2013 2013 Sci. Tech. Engrg.数学求解运筹学最小支撑树模型的一种新算法陈士成 何丽红 李桥兴( 兰州大学管理学院 ， 兰州 730000)摘 要 为了简化对运筹学中最小支撑树模型编写简单计算机程序来实现求解 ， 设计了一种新的简便算法 “节点列表判定法 ”。该算法是用节点来表述网络图的边 ， 并从节点列表中找到了构成圈的特征结构 ， 以此作
2、为判定条件来确定网络图是否有圈存在 。在最小支撑树模型的求解过程中 ， 选择网络图中权数最小的边为支撑树的边 。每选择一条边就判定一次 ，若判定有圈存在则放弃最后选择的边 ， 反复选择边并判断 ， 直到所有已选择的边都不构成圈且总边数等于点数 1， 那么新确定的支撑树就是一个最小支撑树 。这种新的算法已经 Excel-BVA 编制求解程序验证了其正确性 、实用性和快捷性 。关键词 最小支撑树 节点列表判定法 Excel-VBA 运筹学中图法分类号 O224; 文献标志码 A2012 年 8 月 2 日收到 ， 9 月 14 日修改第一作者简介 : 陈士成 ( 1957) ， 男 ， 河南省镇平
3、县人 。讲师 ， 经济学硕士 ， 研究方向 : 企业管理与系统分析 。E-mail: chensc lzuedu cn。最小支撑树模型是一个应用广泛的运筹学分支 ， 但其性质与其它运筹学分支不同 。目前还没有专门的通用数学模型来求解 ， 只能通过比较网络的各条边是否首尾相接及权数大小来判断是否构成最小支撑树 ( 标号法 ) 1。对于手工求解 ， 决策者只能用肉眼看图来判断 ， 但这种方法难以解决大的网络系统问题 。如果用计算机求解 ， 则需采用复杂的向量分析方法如 Kruskal 算法和 Prim 算法 2， 3等 。由于这些算法的专业性和理论性较强 ， 读者不易理解 。在多年的工作实践中 ，
4、 作者总结出一种既简单又直观的判定最小支撑树中是否存在圈的算法 ， 称为 “节点列表判定法 ”。并根据该算法用 Excel-VBA编写了最小支撑树模型的求解程序 ， 实现了在 Excel平台下对最小支撑树模型的计算机求解 ， 同时也验证了这种算法的正确性 、实用性和快捷性 。1 最小支撑树问题的特点及传统的求解方法最小支撑树问题具有以下三个特点 4:( 1) 在赋权网络图中 ， 所有的边构成了连通图 ，并且连通图中没有圈 ;( 2) 图中的边数总比节点数少一个 ;( 3) 在所有满足上述两条件的多种方案中 ， 选择一种方案使各边权数之和为最小 。在以上三个条件中 ， 后两个条件都很容易被计算机
5、判定 ， 但第一个条件往往难以判断 。由于最小支撑树没有特定的通用数学模型来描述 ， 通常对它的求解都是用 “破圈法 ” 5( 在网络中逐条去掉构成圈且权数较大的边 ， 最后剩下的就是最小支撑树 ) 或 “贪婪法 ” 5( 在网络图中逐条确定不构成圈且权数较小的边 ， 最后所有确定的边就是最小支撑树 ) 来完成的 。目前计算机求解程序中的 Kruskal 算法和 Prim 算法大都用的是 “贪婪法 ”。2 最小支撑树的 “节点列表判定法 ”“节点列表判定法 ”是判断在网络图中对所选择的边是否构成圈的简便方法 。在用 “贪婪法 ”确定最小支撑树各边的过程中 ， 对已选定的边另外建立“节点列表 ”
6、， 从中寻找是否有构成圈的典型结构 ，用于对这些边是否构成圈的判断 。若有圈 ( 在 “节点列表 ”中找到了构成圈的典型结构 ) 存在 ， 就将网络图中最后所选择的那条边放弃 ， 再在剩余的边中选择权数最小的边继续判断 ; 若判断是无圈 ( 在 “节点列表 ”中找不到构成圈的典型结构 ) 存在 ， 则在网络图中确定最后所选择的那条边 。直至在网络图中所有确定的边数为节点数 1 6。2. 1 节点列表如图 1 是一个典型的网络图 ， 存在最小支撑树 。图 1 一个一般网络图现提出的 “节点列表 ”是按照以下规则编制的 :( 1) 列表的每一行描述网络图中的一条边 ， 并且用该边的起点 ( 发节点
7、 ) 和终点 ( 收节点 ) 来表述( 即用节点来描述边 ) ， 其形式如表 1， 如边 ( v1， v2)分别用构成该边的两个节点 v1和 v2来表示 ;( 2) 在列表中规定发节点的标号小于收节点的标号 ( 节点标号可以用有序字符 、数字或字符的下标来表示 ) ;( 3) 按发节点为主关键字 、收节点为次关键字的升序进行排序 。如从图 1 中选中了四条边 ( v1， v2) ，( v2， v4) ( v3，v4) ，( v3， v1) ， 形成了一个已选边的局部网络图 7，如图 2。用这四条已选择的边编制节点列表如表 1。图 2 图中 1 为已选中的边表 1 网络图中边“节点列表 ”发节点
8、 收节点 权数V1V21V1V32V2V43V3V462. 2 构成圈的节点列表判定条件如图 2 中 ( v1， v2) 、( v1， v3) 、( v3， v4) 、( v2， v4) 四条边明显地构成了一个圈 ， 它的节点列表特征 ( 典型结构 ) 如表 2。其特征为 :( 1) 所有节点都在列表中出现两次 ;( 2) 最小的两个发节点相同 ， 并且位于表中发节点列的最上端 ( 因已按主关键字排序 ) ;( 3) 最大的两个收节点相同 ， 并且其中的一个必位于表中收节点列的最下端 ( 因已按次关键字排序 ) ;( 4) 除最大标号和最小标号外的其它节点都分别在发节点列和收节点列各出现一次
9、。在所有构成圈的网络图节点列表中 ， 这四项特征都是完全符合的 ， 并且在所有已选择边的组合中 ， 不具有这四项特征的网络图肯定不会构成圈 。所以用该四项特征可以作为网络图中是否有圈的判定条件 。表 2 构成圈的 “节点列表 ”典型结构2. 3 对 “节点列表判定法 ”的论证2. 3. 1 圈的判定条件圈 : 实际上就一个特殊的欧拉回路 ， 欧拉回路就是在图中确定一个回路 ， 经过该回路中每边一次且仅一次 。而圈不仅要求经过回路中每边一次且仅一次 ， 而且同时要求经每点一次且也仅一次 。欧拉回路的判定条件有两条 8:( 1) 有零个或两个奇数度节点 ;( 2) 必须是连通图 。比较欧拉回路的判
10、定条件便可得到圈的判定条件 :( 1) 每个节点都是两度节点 ， 并且入度数 = 出度数 =1;( 2) 必须是连通图 。2. 3. 2 对圈判定条件的证明462 科 学 技 术 与 工 程 13 卷必要性 : 设一图已构成圈 ， 则该图必然是连通的 。因为圈是图中各边首尾相接 ， 每一个点都关联相邻的两个边 ， 且每一条边都关联相邻的两个端点 ， 因此 ， 每个节点都要有一个边的入端和另一边的出端 ， 即每个节点都是两度节点 ， 且入度数 = 出度数 =1。充分性 : 若连通图中每个节点的入度数 = 出度数 =1， 只能构成节点和边的首尾相接环形连通图 ，这种图也必定是一个圈 9。2. 3.
11、 3 对 “节点列表判定法 ”的证明如表 1“节点列表 ”中描述的这三条编制规则 ，相当于将形成圈的网络图以最小标号节点和最大标号节点作为折返点 ， 将构成环形的连通图拉平 ，就形成了以该两点为端点 、由多条线段首尾相接的两个链条 ， 如网络图 2 可表示为图 3， 而对于任意多条边形成的网络图 ， 也是图 3 所示的结构 ， 只是在上 、下两链条中增减线段数 。图 3 符合环形结构各边的节点排列特点判定条件 1: 从图 3 可见 ， 所有节点都是在表中出现两次 ; 其中最小标号的节点和最大标号的节点都可看作是折返点 ， 所以它们在表 2 的列表中分别位于发节点列和收节点列 ， 其余的都是链条
12、中间的节点 ， 都分别位于发节点列和收节点列各一次 。因此图 3 中的各点都分别有一个入端和一个出端 ， 即 :入度数 = 出度数 =1。判定条件 2: 根据表 2 中用图形表述的结构 ，已说明了在符合判断条件列表中的表行数 ( 边数 )必等于节点数 。因此表 2 所表述的图 ， 必然是联通图 。3 “节点列表判定法 ”的应用实例由于多条边构成的网络图比较复杂 ， 在任意一个网络图中 ， 再增加或去掉一条边 ， 都可能形成另一个网络图 ， 所以在网络图中用 “贪婪法 ”依次选定不构成圈的边的过程中 ， 每新选一条边 ， 就要对已选择的所有边所构成的图做出是否存在圈的判断 ，即编制节点列表 ，
13、从中寻找是否有构成圈的特征结构 。为了在节点列表中寻找构成圈的特征结构 ， 就要依次将不构成圈的边 ( 如表述边的节点号在节点列表中只出现一次 ) 从节点列表中剔除 ， 若最后所有的边都在节点列表中被剔除了 ， 则说明节点列表中没有构成圈的特征结构 ， 也就是网络图中已选择的这些边不构成圈 ， 都可作为最小支撑树的 ”枝 ”;若在节点列表中找到了构成圈的特征结构 ， 则说明网络图中已选择的这些边有圈存在 ， 并且这个圈的产生与最后一条边选择有关 ， 此时就应在网络图中将这条边的选择放弃 ， 再在剩下的边中选择一个权数最小的边 ， 构成新的网络图再做重新判断 。直到网络图中所选的边数为节点数 1
14、。那么这些已选择的边就是一个最小支撑树 。现在结合图 1 的网络图说明用 “节点列表判定法 ”求解最小支撑树的具体求解过程 。第一步 : 选中两条权数最小的边用 V1 V2、V2 V3( 由于两条边不可能构成圈 ) 。所以这两条边肯定是支撑树的枝 ， 如图 4。用 S 表示构成最小支撑树的集合 ， 则初始集 S1= V1 V2， V2 V3 。图 4 第一步确定的两条边第二步 : 在剩下的边中选择一条权数最小的边V7 V8， 再加上第一步确定的 S1编制节点列表 ， 如表 3. 1。表 3. 1 中节点 V1、V3、V7在节点列表中只出现一次 ， 直接将这三条边都从节点列表中剔除 ， 结果节点
15、列表中就再没有节点了 ， 如表 3. 2， 也就没有构成圈的特征结构 ， 说明前两步已选的三条边不构成5622 期 陈士成 ， 等 : 求解运筹学最小支撑树模型的一种新算法662 科 学 技 术 与 工 程 13 卷7622 期 陈士成 ， 等 : 求解运筹学最小支撑树模型的一种新算法图 11 “节点列表判定法 ”程序框图图 12 最小支撑树问题求解程序的操作界面解方法 ) 在数学上并不算复杂 ， 但是因为没有通参 考 文 献1 袁卫东 一类度约束最小生成树问题的 Dijkstra 算法 科学技术图 13 最小支撑树问题的求解结果与工程 ， 2010; 10( 8) : 189819012 袁
16、卫东 最小生成树的算法及其应用 科学技术与工程 ， 2009; 9( 15) : 440944123 王新奇 最小生成树算法应用 西安文理学院学报 : 自然科学版 ， 2009; ( 3) : 23264 陈士成 运筹学 数据 、模型与决策 兰州 : 兰州大学出版社 ， 20095 韩伯棠 管理运筹学 ( 第 2 版 ) 北京 : 高等教育出版社 ， 20076 美 弗雷德里克 S 希利尔 数据 、模型与决策 ( 运用电子表建模与案例研究 ) 任建标 ， 译 北京 : 中国时政经济出版社 ， 20047 陈士成 ， 李桥兴 ， 何丽红 线性规划决策模型 Excel 求解的简化方法 第 29 届
17、中国控制会议论文集 ， CCC2010， 20108 陈士成 ， 李桥兴 ， 何丽红 广义运输模型的 Excel 求解 第三届 “管理学在中国 ”学术研讨会论文集 ， 20109 陈士成 ， 李桥兴 ， 何丽红 运筹学网络优化模型的 Excel 求解的简化方法 兰州大学学报 ( 自然科学版增刊 ) ， 2010;10 关秀翠 一类最小支撑树的逆问题及其求解方法 运筹学学报 ，2004; 8( 4) : 394411 农庆琴 ， 袁晋江 最小最大树划分的近似算法与最小和树划分的精确算法 运筹学学报 ， 2006; 10( 4) : 11512112 张焕萍 ， 李桥兴 ， 何丽红 最小支撑树算法
18、在基因表达数据聚类分析中 的 应 用 南 京 航 空 航 天 大 学 学 报 ， 2007; 39 ( 2) :17117513 黄 立 确定芡拉回路的一种方法 承德民族师专学报 ， 1995;( 2) : 3214 陈士成 运筹学 基于 Excel 北京 : 清华大学出版社 ， 2011( 下转第 275 页 )862 科 学 技 术 与 工 程 13 卷Effect of the Uniaxial Strain on the Electronic Structures andOptical Properties of BaHfO3ZHANG Jia-hong1， LIU Qing-quan
19、1， GU Fang2， LI Min1， MAO Xiao-li1， GE Yi-Xian1( Jiangsu Key Laboratory of Meteorological Observation and Information Processing1，College of Physics Optoelectronic Engineering2， Nanjing University of Information Science Technology， Nanjing 210044， P. R. China) Abstract Starting from first-principle
20、within the generalized gradient approximation ( GGA) ， the modulationimpact of the uniaxial strain on the electronic structure and optical properties of perovskite-type ceramic materialBaHfO3has been investigated by the plane-wave pseudo-potential method based on the density function theory. Theband
21、 structure analysis indicates that BaHfO3is a wide band gap insulator in the case of without strain， whileBaHfO3gradually shows the characteristics of the semiconductor material under the uniaxial strain. Besides， theband gap of BaHfO3linearly decreases with the tensile strain， and it appears obviou
22、s nonlinear relationship with thecompressive strain. The optical properties calculations show that the spikes of the imaginary part of the dielectricfunction are increased ( decreased) and the optical absorption band edge is blue-shifted ( red-shifted) with thecompressive ( tensile) strain. Furtherm
23、ore， the static dielectric constant and static refractive index of BaHfO3underthe uniaxial strain are increased. In a word， the involved results have shown that the uniaxial strain effectively mod-ulates the electronic structure and optical properties of BaHfO3， which will provide a theoretical basi
24、s for the designand application of BaHfO3optoelectronic materials. Key words BaHfO3uniaxial strain electronic properties檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸optical properties first principles( 上接第 268 页 )A New Algorithm for Solving Minimum Spanning TreeModel of Operations ResearchCHEN Shi-
25、cheng， HE Li-hong， LI Qiao-xing( Lanzhou University School of Management， Lanzhou 730000， P R China) Abstract In order to simplify the minimum spanning tree model in operations research to write simple computerprogram to implement the solution， a new simple algorithmnode list to determine is designe
26、d The algorithm isthe node to express the edge of the network diagram， and from the node list to find the characteristics constitute a ringstructure as a way as to determine the conditions to determine whether the network diagram circle In the process ofsolving the minimum spanning tree model， selec
27、t the smallest edge weights in the network diagram for the edge of thespanning tree， each choose a side must determine ones are presented If it is found to have circle exists， then give upthe edge of the final choice， repeatedly to select the side and determine， until all selected edges do not const
28、itute acircle and the total number of edges is equal to the points-1， then the newly identified spanning tree is a minimumspanning tree This new algorithm is used Excel-BVA program to verify its accuracy， practicality and rapidity Key words minimum spanning tree comparison node list Excel-VBA operations research5722 期张加宏 ， 等 : 单轴应变对 BaHfO3电子结构与光学性质的调制影响
