1、变量之间的关系复习变量之间的关系、表达方法知识要点表示变量的三种方法：列表法、解析法（关系式法） 、图象法要点 1 变量、自变量、因变量(1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。(2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。例如小明出去旅行，路程 S、速度 V、时间 T 三个量中，速度 V 一定，路程 S 则随着时间 T的变化而变化。则 T 为自变量，路程为因变量。要点 2 列表法与变量之间的关系(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的
2、变化而变化的情况。(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小要点 3 用关系式表示变量之间的关系(1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。(2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。即实质是用含自变量的代数式表示因变量。(3) 利用关系式求因变量的值，已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。要点
3、 4 用图象法表示变量的关系(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。(2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。(4) 对比看：速度时间、路程时间两图象若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右， “上升的线段”表示速度在增加；“水平线段”表示速度不变，也就是做匀速运
4、动， “下降的线段”表示速度在减少。若图像表示的是距离与时间之间的关系， “上升的线段”表示物体匀速运动；“水平线段”表示物体停止运动， “下降的线段”表示物体反向运动。如图 BL01(1)、(2)：BL01Comment hg1: 参考答案例 1：(1)时间与高度两个变量的关系；时间 t 是自变量，高度 h为因变量。(2) 关系式为 h=5t2，当 t=2时， h=20 (米)。相关题 1：(1) 12 cm；(2) y随着 x的增大而增大；y=12+0.5x。(3) 当 x=14 (kg)时，y=19 (cm)例 2：(1) Q=52-8t;(2) 当 Q=0时，t=6.5(小时)(3)
5、当 t=1, 2 ,3时，Q=44， 36，28（小时）例 3：(1) y=3x+3，期中 x为自变量，y为因变量；(2) 当 x由 5变到 7时，y 由 18变为24(cm2)(3). 略(4) 当 x每增加 1时，y 增加 3(cm2) 。(5) 令 y=9，则 x=2，可以等于 9，令y=2，则 x=-1/3，因为 x表示的是线段，所以不能。例 4：(1) C，E ；(2) C相关题 2：D例 5：(1) y 甲 =240+120xy乙 =24060%(x+1)(2) 令 y甲 =y乙 , y甲 y 乙 , y甲 y 乙 ,得：当 x=5时，两家收费一样，当 x5 时，甲比乙优惠，当x5
6、 时，乙比甲优惠。例 6：略（思路同例 5）易错易混点(1) 在列表中，不能够通过表格中的数据全面得出两个变量之间的关系规律，易出现片面性错误；(2) 有的变量是由不变量与变量之和组成的，在解题时易忽略不变部分（在个别问题中，一定条件下变量也可能成为不变量）而导致错误；典型例题【例 1】 果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果果子经过 2秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米？相关题型：在弹性限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表：所挂物体的质量/k
7、g 0 1 2 3 4 5 6 7 8弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16(1) 弹簧不挂物体时的长度是多少？(2) 如果用 x表示弹性限度内物体的质量，用 y表示弹簧的长度，那么随着 x的变化，y 的变化趋势如何？请写出 y与 x之间的关系式。(3) 如果此弹簧的最大挂重为 25千克，您能够预测当挂重为 14千克时，弹簧的长度是多少吗？【例 2】 一辆汽车正常行驶时每小时耗油 8升，油箱现有 52升汽油。(1) 如果汽车行驶时间为 t(时) ，那么油箱中所存油量 Q (升)与 t(时) 的关系式是什么？ (2) 油箱中的油总共可供汽车行驶多少
8、小时？(3) 当 t 的值分别为 1，2，3 时，Q 相应的值是多少？【例 3】 一个梯形，它的下底长比上底长长 2cm，它的高为 3cm，设它的上底长为 x cm，它的面积为 y cm2。(1) 写出 y与 x之间的关系式，并指出哪个变量是自变量，哪个变量是因变量？(2) 当 x由 5变到 7时，y 如何变化？(3) 用表格表示当 x从 3变到 10时( 每次增加 1)，y 的相应值；(4) 当 x每增加 1时，y 如何变化？并说明你的理由；(5) 这个梯形的面积能等于 9cm2吗？能等于 2cm2吗？为什么？相关题型：长方形的长是 20cm，当宽由小到大地变化时，长方形面积也随之变化。(1
9、) 在这个变化过程中，自变量是_，因变量是 _。(2) 如果长方形的宽为 a cm，面积为 S cm2，则 S与 a之间的关系式为_。(3) 当 a=15cm时，S 是_。(4) 当面积 S是 280时，这时的宽 a是_。【例 4】 小丽和她的邻居小明一起离家步行上学。(1) 小丽一开始就跑，跑累了便走着去，小明开始走着，当他快到学校时跑了起来，他们同时到达学校。图 BL02中，图_表示小丽的行程，图 _表示小明的行程最好。BL02Comment hg2: 参考答案1. (1) 每年平均长的高度，树高及年数(2) 自变量，因变量(3) 2.8，4.8(4) y=0.8+0.4x2. C=2a+
10、123. (1)340, (2) 17214. y=2.1x5. a=1.5b6. 37.2分钟7. (1) 600m3 ，12(2) 200 ；(3) 10 ；(4) 508. y=x2+2x9. 时间，温度10. y=6-0.8x, 711. C12. D13. A14. C15. A16. D17. C18. C19. C20. B21. D22. C23. (1) 质量与收入；质量是自变量，收入是因变量；(2) 10元，100 元；(3) y=2x24. 上课时间与接受能力，时间是自变量，接受能力是因变量。1016分钟25. (1) ；21xy(2) 略；(3)略26. (1) 月份与
11、利润，月份是自变量，利润是因变量。(2) 45002.33=10485元；(3) 37月份27. (1) 14元；(2) y=0.5x(x10); y=5+0.75(x-10) (10x20); y=12.5+1.5(x-20) (20x) (3) 23吨28. (1) ABP，APE，APC (2) PF，PC (3) 0x329. (1) 80千米，自行车是 10千米/时，摩托车是 40千米/时(2) 自行车比摩托车早出发 3小时，摩托车比自行车早到 3小时(3) 1小时30. (1) 小军离学校 3千米，平均速度是 200米/分钟；(2) (3)能(2) 若小丽在上学的路上以固定的速度前
12、进，如图 BL03中虚线所示，小明在上学的路上以小丽速度的 2倍行进，小名的速度以实线表示，他们先后到达学校，则图_可以描述这种情况。相关题型：小明所在学校离家距离为 2千米，某天他放学后骑自行车回家，行使了 5分钟后，因故停留 10分钟，继续骑了 5分钟到家，如图 BL04中，哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离 s(千米)与所用的时间 t（分）之间的关系（ ）【例 5】 某中学校长决定带领市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社承诺：“如果校长买全票一张，则学生可享受半价优惠” ；乙旅行社承诺：“包括校长在内所有人按全票的 6折优惠” ，若全票价甲乙旅行社均为 240元。(1) 设学生为
13、 x，甲乙旅行社收费分别为 y甲 (元)和 y乙 (元) ，分别写出两个旅行社收费的关系式；(2) 哪家旅行社收费更优惠？【例 6】 某移动通信公司开设了“全球通”和“金卡快捷通”两种业务，前者每月先缴 30元月租费，每通话 1分钟付费 0.4元，后者不缴月租费，但每分钟付费 0.6元，若某人的每月通话时间在200分钟左右，则他应选用哪种业务比较合算？并简明叙述理由。 （思路 1：直接计算 200分钟应付的话费进行比较；思路 2：先求出付费相同的通话时间，再看 200分钟比这个时间多还是少。）学习自评1. 一棵树苗栽下去时高 0.8m，以后 10年内每年平均长高 0.4m，x 年后树高 y m
14、。(1) 这个问题中，常量是_，变量是_； (2) 这个问题中 x值是_量，y 值是_量；(3) 生长 5年后树高_m，生长了 10年树高_m；(4) 请你写出 y随 x变化而变化的关系式_ 。2. 长方形的长为 a cm，宽为 6 cm，则它的周长 C与长 a 之间的关系为_。3. 某种情况下，声音在空气中传播的速度 y(m/s)与气温 x () 之间存在如下关系：，(1) 当气温 x=15时，声音的速度 y=_ m/s；31(2) 当气温 x=22时，某人看到烟花燃放 5s 后才听到声音响，则此人与燃放的烟花所在地相距_m。BL03BL044. 某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹
15、果数量 x 与售价 y 的关系如下表： 数量 x(kg) 1 2 3 4 5售价 y(元) 2+0.1 4+0.2 6+0.3 8+0.4 10+0.5则 y 与 x 的关系式为_。5. 如图 BL05，一个矩形推拉窗高 1.5 米，则活动窗扇的通风面积 a(平方米)与拉开长度b(米) 之间的关系式为_。6. 某电影院有 1000 个座位，门票每张 3 元可达客满，若每张票提高 x 元，将有 200x 张门票不能售出，提价后每场电影票房收入 y 元与提高的票价 x 元之间的关系是_。7. 小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，形成情况如图 BL06 所示，若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那
16、么小亮从学校骑车回家用的时间是_分钟。8. 根据河道的剩水量 Q(m3)与水泵抽水时间 t (h)的关系图象如图 BL07，回答下列问题：(1) 水泵抽水前，河道内有_的水，水泵最多抽_ 小时；(2) 水泵抽 8 小时后，河道剩水量为_ m 3；(3) 当河道剩水量为 100 m3 时，水泵已抽水_小时；(4) 水泵平均每小时抽水_ m 3。9. 有一边长为 2 cm 的正方形，若边长增加 x cm，面积就增加 y (cm2)，则 y =_。10. 一杯开水 10 分钟后冷却下来，在这个变化过程中，自变量是_，因变量是_。11. 亮亮拿 6 元钱去邮局买面值为 0.80 元的邮票，买邮票所剩钱
17、数 y(元) 与买邮票的枚数 x(枚)的关系式为_，最多可以买_枚。12. 根据图 BL08 所示的程序计算，若输入的 x 的值是 ，则输出的结果是（ ）23A. B. C. D. 274923913. 在关系式 y=3x+5 中，下列说法：x 是自变量，y 是因变量；x 的数值可以任意选择； y 是变量，它的值与 x 无关；用关系式表示的不能用图象表示；y 与 x 的关系还可以用列表法和图象法表示。其中说法正确的是（ ）A. B. C. D. 14. 中国工程院院士袁隆平研究的超级杂交水稻以单季亩产 1138kg 创世界纪录，农户王文清家有 x 亩地，今年晚稻改种超级杂交水稻，如果每亩产量达
18、到 1130kg，那么王文清家水稻的BL05 BL06 BL07BL08BL09总产量 y 与 x 之间的关系为（ ）A. y=1130x B. y=1138x C. y=(1138-1130)x D. y=(1130+1138)x15. 托运行李 p 千克(p 为整数 )的费用为 c 元，已知托运第一个 1 千克需付 2 元，以后每增加 1千克(不足 1 千克按 1 千克计 )需增加费用 5 角，则计算托运行李费用 c 的公式是（ ）A. c=0.5p B. c=0.5p+1 C. c=0.5p+1.5 D. c=0.5p+216. 在地球某地，温度 T()与高度 d (m)的关系可近似地用
19、 来表示，则当高度150dTd=900 m 时，温度 T 为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 117. 如图 BL09 是某市 5 月 1 日至 5 月 7 日每天最高、最低气温的折线统计图，在这 7 天中，日温差最大的一天是（ ）A. 5 月 1 日 B. 5 月 2 日 C. 5 月 3 日 D. 5 月 5 日 18. 从山顶上滚到山脚下的一块石头，图 BL10 中能大致描述速度 v 随时间 t 变化的图象是（ ）19. 某礼堂的座位排列呈弧形，横排座位按下列方式设置：则第 n 排有座位( )个A. 10n+4 B. 20+4n C. 20+4(n-1) D. 20+3(n-1)
20、20. 丽丽放学回家进门后觉得口渴，可家里没有凉开水，于是她用水壶接了水，放在炉子上烧开，烧开后又倒入水杯中晾凉后才喝到嘴里，如图 BL11 中，可以近似地刻画出水的温度随时间的变化而变化的图象是（ ） 21. 三峡工程在 2003 年 6 月 1 日至 10 日下闸蓄水期间，水库水位由 106 米升至 135 米，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么如图 BL12 所示的图象中，能正确反映这10 天水位 h(米)随时间 t (天) 变化的是（ ）排数 1 2 3 4 座位数 20 24 28 32 BL11BL10BL1222. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的
21、乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，用 s1、s 2 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图 BL13 的图象中与故事情节相吻合的是（ ）23. 小明早上 7:00 点出发到社区作义务劳动，开始匀速步行，后碰上小亮，小明就停下和小亮聊了一会儿，为了保证能准时到达，他加快了速度，但仍然保持匀速步行，结果准时到达，如图 BL14 中，以下四个图象中能准确描述小明离家的距离与时间的关系的是（ ） 24. 下表给出了桔农老李去年卖桔子的收入随桔子卖出的质量变化的有关数据。质量(千克) 1 2 3 4 5 6 7 8 9收入
22、(元) 2 4 6 8 10 12 14 16 18(1) 上表反映了那两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2) 当桔子卖出 5 千克时，收入是多少？当桔子卖出 50 千克时，收入又是多少？(3) 如果用 x 表示桔子卖出的质量，y 表示收入，按表中的关系，用一个式子表示出来。25. 在课堂 45 分钟内，什么时候学生的接受能力最强?心理学家发现，学生对概念的接受能力与老师提出概念所在的时间(单位：分钟) 之间，有如下关系：时间(分钟) 0 2 10 12 13 14 16 24 26接受能力 43 47.8 59 59.8 59.9 59.8 59 47.8 43(1) 上表反
23、映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2) 根据表中的数据，你认为老师在第_分钟提出概念比较适宜？说说你的理由。26. 如图 BL15，一边靠墙，其他三边用 12 米长的篱笆围成一个矩形 (ABCD)花圃。(1) 如果设花圃靠墙的一边的长为 x(米)，花圃的面积为 y(平方米) ，求 x，y 满足的关系式；(2) 当长 x 从 4 米变到 6 米时，面积 y 变化如何？(3) 当长 x 从 6 米变到 8 米时，面积 y 变化如何？BL13BL14BL1527. 某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后
24、的市场售价和生产成本进行了预测，获得了每千克蔬菜的利润与月份的关系如下表(表中数据前“”表示亏损)月份 2 3 4 5 6 7 8利润(元千克) -0.67 1 2.33 2.67 2 1 -0.67(1) 上表反映了哪两个变量间的关系？自变量和因变量各是什么？(2) 如果 4 月份该基地生产这种蔬菜 4.5 吨，则 4 月份该基地可获得多少利润？(3) 如果你是该市场负责人之一，你认为这种蔬菜应在哪几个月上市最好？为什么？28. 某市为了鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表：每月每户用水量 每吨价(元)不超过 10 吨部分 0.50超过 10 吨而不超过 20 吨部分 0.75超过
25、20 吨部分 1.50(1) 现已知小明家 4 月份用水 21 吨，应缴水费_元；(2) 写出每月用户的水费 y（元）与用水量 x(吨)之间的关系式；(3) 若小明家某月缴水费 17 元，问：他家该月用水多少吨？29. 如图 BL16，已知ABC 中，AB=AC=5 ，BC=6，F 为 BC 的中点，P 是 BF 上一动点，连接 AP，在这个变化过程中，设 BP=x，且把x 看成是自变量。(1) 图中哪些三角形的面积可以看成是因变量？(2) 图中哪些线段可以看成是因变量？(3) 试一试，你能求出自变量 x 的取值范围吗？30. 两个人分别骑自行车和摩托车从甲地到乙地，时间与路程关系如图 BL17 所示，根据图象回答下列问题：(1) 甲地到乙地的路程是多少千米？自行车的速度与摩托车的速度各是多少？(2) 自行车比摩托车早出发几小时？摩托车比自行车早到几小时？(3) 摩托车出发后几小时追上骑自行车的人？31. 小丽家离学校 2 km ，步行到校需 30 min ，小丽的同学小军上学要经过小丽家，小军骑车上学行驶的路程与时间的关系如图 BL18 所示(1)小军家离学校多远？骑车上学的平均速度是多少？(2)如果小丽与小军同时从家里出发上学，试在小军上学的路程与时间的关系图上画出小丽上学的路程与时间的关系图(3)他们同时从家里出发，途中能相遇吗？BL16BL17BL18
