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数论因数与倍数因数个数.doc

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1、 Page 1 of 5知识框架一、 约数的概念与最大公约数0 被排除在约数与倍数之外1 求最大公约数的方法分解 质因数法 :先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来例如: , ,所以 ;23172537(231,5)721短除法: 先找出所有共有的约数,然后相乘例如: ,所以 ;89632(,8)236辗转 相除法: 每一次都用除数和余数相除,能 够整除的那个余数,就是所求的最大公约数用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下:先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数;再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数;又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数;这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余

2、数是 0 为止那么,最后一个除数就是所求的最大公约数 (如果最后的除数是 1,那么原来的两个数是互质的)例如,求 600 和 1515 的最大公约数: ; ; ;15602315 601285 330; ;所以 1515 和 600 的最大公 约数是 152853091 5202 最大公约数的性质几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互 质 数;几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数;几个数都乘以一个自然数 ,所得的 积的最大公约数等于 这几个数的最大公约数乘以 n n3 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数,其他分数不变;求出各个分数的分母的最小公倍数 a;求出各个分数的

3、分子的最大公约数 b; 即为所求a二、倍数的概念与最小公倍数1. 求最小公倍数的方法因数与倍数Page 2 of 5分解 质因数的方法;例如: , ,所以 ;23172537231,53712短除法求最小公倍数;例如: ,所以 ;8396218,2326 ,(,)ab2. 最小公倍数的性质两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数两个互 质的数的最小公倍数是这两个数的乘积两个数具有倍数关系,则它们的最大公约数是其中较小的数,最小公倍数是较大的数3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数;求出各个分数分子的最小公倍数 ;求出各个分数分母的最大公约数 ;ab即为所求例如: ba35

4、,15,412()4注意:两个最简分数的最大公约数不能是整数,最小公倍数可以是整数 .例如: 1,4,23三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1 两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。如果 为 、 的最大公约数,且 , ,那么 互质,所以 、 的最小公倍数为 ,mABAmaBba、 ABmab所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系: ,即两个数的最大公 约数与最小公倍数之 积等于这两个数的积;ABmaba最大公 约数是 、 、 、 及最小公倍数的约数AB2 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘 积。即 ,此性质 比较简单,学生比 较容易掌握。(,),abab3 对

5、于任意 3 个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如: ,210 就是 567 的最小公倍数567210b)偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的 2 倍例如: ,而 6,7,8 的最小公倍数为833618性质(3)不是一个常见考点,但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘 积之间的大小关系,即Page 3 of 5“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。四、求约数个数与所有约数的和1 求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积。如:1400 严格分

6、解 质因数之后 为 ,所以它的约数有(3+1)(2+1 ) (1+1)=432=24 个。(包括 13257和 1400 本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点,授 课时应 重点讲解,公式的推 导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理” 形式基 础之上,结合乘法原理推导出来的,不是很复杂,建 议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推,有相当一部分常考的偏 难题型考察的就是 对这个公式的逆用,即先告诉一个数有多少个约数,然后再结合其他几个条件将原数 “还原构造”出来,或者是“构造出可能的最值”。2 求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质

7、因数依次从 1 加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有 约数的和。如: ,所以 21000 所有约数的和为32105723()(15)(17480此公式没有第一个公式常用,推导过程相对复杂,需要 许多步提取公因式,建议帮助学生找规律性的记忆即可。重难点重点:分解质因数法是一个数论重点方法,本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。难点:在对质数和合数的基本认识,在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。例题精讲【例 1】 有三根铁丝,长度分别是 120 厘米、180 厘米和 300 厘米.现在要把它们截成相等的小段,每根都不能有剩

8、余,每小段最长多少厘米?一共可以截成多少段?Page 4 of 5【例 2】 一次会餐供有三种饮料.餐后统计,三种饮料共用了 65 瓶;平均每 2 个人饮用一瓶 A 饮料,每3 人饮用一瓶 B 饮料,每 4 人饮用一瓶 C 饮料.问参加会餐的人数是多少人?【例 3】 用辗转相除法求 4811 和 1981 的最大公约数。【例 4】现有三个自然数,它们的和是 1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少?【例 5】两个自然数的和是 50,它们的最大公约数是 5,试求这两个数的差【例 6】一次考试,参加的学生中有 得优, 得良, 得中,其余的得差,已知参加考试的学生不满1731250 人,那么得差的学生有多少人?【例 7】数 360 的约数有多少个?这些约数的和是多少? Page 5 of 5【例 8】求在 到 中,恰好有 个约数的所有自然数.1010【例 9】甲、乙两数的最小公倍数是 90,乙、丙两数的最小公倍数是 105,甲、丙两数的最小公倍数是126,那么甲数是多少? 【例 10】已知两个自然数的积为 240,最小公倍数为 60,求这两个数

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