1、 第 1 页二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)【学习目标】1能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.2能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式但不要求记忆） ，能灵活地将公式变形并运用3通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin2icos()S22con1siCtatan()T要点诠释：(1)公式成立的条件是：在公式 中，
2、角 可以为任意角，但公式 中，只有2,SC 2T当 及 时才成立；2k()4kZ(2)倍角公式不仅限于 是 的二倍形式，其它如 是 的二倍、 是 的二倍、424是 的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用3好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如： ；2cosinsi11sin2icos()nnZ2和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式 时，就可得到二倍角的三角中 ， 当TCS,函数公式，它们的内在联系如下：第 2 页要点二：二倍角公式的逆用及变形1公式的逆用； 2sincosi21incosin2cos2tat1n2公式的变形；2si(ico
3、s)降幂公式： 2211cos,in升幂公式： 2cssin要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题1对公式会“正着用” ， “逆着用” ，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；2掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，(),2()()也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；3将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.【典型例题】类型一：二倍角公式的简单应用例 1化简下列各式：（1 ） ；（2） ；（3） 4sinco22sinco
4、s82tan37.51【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式第 3 页【答案】 （1） （2） （3 ）sin2【解析】 （1） 4icosincosin（2 ） 22222sini884（3 ） 22ta7.51sin37.513tan713ta2【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路举一反三：【变式 1】求值：（1） ；（2） ；cosincosin1212cos18（3） 2tan75【答案】 （1） ；（2） ；（3）3【解析】 （1）原式= ；223cosinc
5、os162（2）原式= ；()84（3）原式= 3tan150t(30)tan类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例 2 求 sin10sin30sin50sin70的值【思路点拨】解这类题型有两种方法：方法一：适用 ，不断地使用二倍角的正弦公式sin2ico方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用 进行化sin2co简第 4 页【答案】 16【解析】方法一： sin205sin70sin05i7co1sin20co441co181c i3si6方法二：原式 co20s4802sino0s4o0i2sin408inco161i【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题方法
6、一和方法二通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式） ，逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果为实数利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：一般地，若 ，则 sin01sin2cos2cs4o举一反三：【变式 1】求值：sin10cos40sin70【解析】原式 2sin0cos40c8cos204co8i2sin4i16i18i20s8类型三：利用二倍角公式化简三角函数式例 3化简下列各式：(1) 4sin1)2(cos1in【思路点拨】 （1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角
7、展开成单角，再进行化简 （2）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简【答案】 （1） （2）taicos【解析】(1) .tan)cos21(sincs2oinicosni (2) 4i1 .2csin|csin|)cos(incs2sn2 2第 5 页【总结升华】余弦的二倍角公式的变形形式：经常起到消除式子中 1 的作用由于22sinco1,scos1，可进行无理式的化简和运2)cos(in2i ， 从 而算例 4化简： 2cos1tani44【解析】 原式 2cs2sio4o4cscs2inin2os1c【总结升华】 三角函数的化简要从减少角的种类、函数的种类
8、入手通过切化弦、弦化切、异化同、高次降幂等手段，使函数式的结构化为最简形式举一反三：【变式 1】 （1） 的化简结果是 sin6（2）已知 ，且 ( ， )，则 的值为 3i522sinco【答案】 （1） （2）snco3【解析】（1）原式= i3= 2(snco)=|i|=s3（2）因为 ，且 ( ， )，所以 ，原式=in52 4cos第 6 页2sinco35()42类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用例 5求值：（1 ）已知 ，求 3sin()125cos()6（2 ）已知 ，求 4min2【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去
9、求解【答案】 （1） （2）7521【解析】（1） cos()cscos62= 21in= 95= 72（2） =sincos()21sin4= 21in4= 2m【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧举一反三：【变式 1】 已知 ，且 ，求 ， ， 的值1sinco30sin2costan2【答案】 8978【解析】由 ，得 ，1sinco321(sinco)9第 7 页即 ，112sinco98sin2icos9由 ，得 ，3c3 22cossin即 221iis93整理得 sn40解得 或 （舍去） 17
10、i617sin6 22 1cosi 9 in817tacs【总结升华】解题过程中注意角 的范围的判定【变式 2】已知 ， （1 ）求 tan 的值；（2）求 的值tan42 2sincos1【解析】 （1） ，解得 tantta4t n21 1ta3（2 ）2 2sincosicossico115ta36【总结升华】 第（1）问中利用了方程的思想求 tan 的值；对于第（2）问的题型，一般需要将分式转化为含 tan 的式子求解，或者通过消元转化的方法求解类型五：二倍角公式的综合应用例 6已知 ，求：22()sinicos3fxxx（1 ） f (x)的最大值以及取得最大值的自变量的集合；（2
11、） f (x)的单调区间【思路点拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成 的形式sin()Axk第 8 页【答案】 （1） （2）单增区间 2|,8xkz单减区间 3,8kkz 5,8k【解析】（1）原式= sin2cos1x= i()4则当 即 时，2,2xk|,8xkzmax()f（2）f (x)的单调递增区间为： ，则242kxk3,8kzf (x)的单调递减区间为： ，则3224kxk5,8kz【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及 的性质等知识要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：sin()yAx（1 ）缩角升幂公式 ， 21isi
12、nco21sinicos， （2）扩角降幂公式 ，2cosci212in例 7 已知向量 ， ，求函数(1sin,cos)xxa(1,sinco)xb()fxab（1 ）求 的最大值及相应的 x 值；()fx第 9 页（2 ）若 ，求 的值8()5fcos24【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中的“数量关系” ，从而建立函数 f(x)关系式【答案】 （1） （2 ）23()8xkZ165【解析】 （1）因为 ， ，(1sin,cosxa(,sinco)xb所以 22()sii1in2i14fxx 因此，当 ，即 时， 取得最大值 24k3()
13、8xkZ()fx2（2 ）由 及 得 ，两边平方得()1sincos2f)5f 3sin2cos5，即 因此，91sin5651co2cos4sin422举一反三：【变式 1】已知函数 . 2()sincos1xxf（）求函数 的最小正周期及单调递减区间；x（）求函数 在 上的最小值.()f,【答案】 （） ， ， （）25,24kkz21【解析】 （）1cos()sinxxf1221sin().4x所以函数 的最小正周期为 . f2第 10 页由 ， ，则 .3224kxkZ52244kxk函数 单调递减区间是 ， . ()f5,4()由 ，得 . 342x7x则当 ，即 时， 取得最小值 . x5()f21【变式 2】已知向量 m=（sinA，cosA） ， ，mn =1，且 A 为锐角(3,)n（1 ）求角 A 的大小；（2 ）求函数 （x R）的值域()cos24sifxA【答案】 （1） （2）3,【解析】 （1）由题意，得 ，3sinco1mA， 2sin6A1sin62由 A 为锐角得 ， 3（2 ）由（1 ）知 ，1cos2所以 因为22 13()insiin2sifxxxxxR，所以 sinx1,1 因此，当 时， 有最大值 ，当 sin x=1 时， 有最小值3，所以1si2()f32()f所求函数 的值域是 ()fx3,
