1、 - 1 -盈亏问题讲义 第一部分：知识介绍盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况分配不足时，称之为“亏” ，分配有余称之为“盈” ；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题” 可以得出盈亏问题的基本关系式：盈亏型：(盈 亏) 两次分得之差 人数或单位数盈盈型：(盈 盈) 两次分得之差 人数或单位数亏亏型：(亏 亏) 两次分得之差 人数或单位数物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差
2、求未知数的“盈亏问题”. 注意：1.条件转换（判断盈亏类型） ； 2.关系互换（确定盈亏数量）第二部分：例题精讲【例 1】 幼儿园的老师给小朋友们发梨。每人 个就剩 个，每人 个便少 个。一共61271有多少位小朋友？一共有多少个梨？【考点】盈亏问题盈亏型【解析】 盈亏问题中的盈亏型， （人） ， （个）梨。(12)(762361250【答案】 个小朋友， 个梨。2350【例 2】 明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出 8 元，就多出了 8 元；每人出7 元，就多出了 4 元那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？【考点】盈亏问题盈盈型【解析】 “多 8 元” 与“多 4 元”两
3、者相差 （元） ，每个人要多出 （元） ，因此84871就知道，共有（人） ，蛋糕价钱是 （元） 2【答案】有 人买蛋糕，蛋糕价钱为 元42- 2 -【例 3】 学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发 10 本，还差 9 本，每人发 9 本，还差 2 本，请问有多少老师？多少本书？【考点】盈亏问题亏亏型【解析】 “差 9 本” 和“差 2 本”两者相差 （本） ，每个人要多发 （本） ，因此927109就知道，共有老师（人） ，书有 （本） 106【答案】老师 人，书有 本。761【例 4】 学校规定上午 8 时到校，小明去上学，如果每分种走 60 米，可提早 10 分钟到校；
4、如果每分钟走 50 米，可提早 8 分钟到校，求小明几时几分离家刚好 8 时到校？由家到学校的路程是多少？【考点】盈亏问题行程中的盈亏【解析】 小明每分钟走 60 米，可提早 10 分钟到校，即到校后还可多走 6010600（米） ；如果每分钟走 50 米，可提早 8 分钟到校，即到校后还可多走 508400（米） ，第一种情况比第二种情况每分钟多走 605010 （米） ，就可以多走 600400 200 （米） ，从而可以求出小明由家到校所需时间200（ 60 50） 20（ 分 钟 ） ， 所 以 小 明 7 时 40 分 离 家 刚 好 8 时 到 校 .由家到校的路程： 60（201
5、0）600 （米）或：50 （208）600（米） 【答案】小 明 7 时 40 分 离 家 刚 好 8 时 到 校 ， 学 校 到 家 的 距 离 为 米6【例 5】 用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多 5 米；如果绳子 3 折时，差 4米.求绳子长度和井深.【考点】盈亏问题用绳子量井深【解析】 条件转化：两折，多 米；三折，少 米52=1043=12井的深度为： （米） ；绳子长度为： （米）352=4【答案】绳子长 米，井深 米54【例 6】 甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用 2 张信纸，乙每封信用 3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下 20
6、 张信纸，乙用完所有信纸还剩下 10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？【考点】盈亏问题信封【解析】 由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺 30 张信纸这是盈亏问题，盈亏总额为(20 30) 张信纸， 两次分配的差为(32)张信纸，所以有信封(20 30)(3 2) 50(个)，有信纸 25020120( 张)【答案】 张120- 3 -【例 7】 一家旅店，若每个房间住 6 人，则 16 人没有床位；若每个房间住 8 人，则有一间房间是空出来的.这家旅店有多少个房间？要住宿的人数有多少？【考点】盈亏问题条件转化型【解析】 这道题在第二个分配方案里并没直接告述我们少多少（即亏是多少） ，在这
7、种说法中学生可能会错误计算.实际上，在第二种方案中，只要换一个说法：若每个房间住 8 人，还需要 8 个人才能住满。这就跟之前的盈亏没有区别，同样是方案一：有一批人（总数） ，住进房间（份数）第一次分配 6 人住一间（一间房间分给它 6个人） ，还多余 8 个人；第二次分配是 8 人住一间（一间房间分给它 6 个人） ，再来 8 个人才能让所有房间有人.也就是所需的人的总数要相差 16824（人） ，从这个对应的变化中可以看出，只要求 24 里面含有多少个 2，就是所求的房间数；有了房间数，就不难求出有多少人了.16824（人） ；242=12 （间）人数是 128 888（人）或 61216
8、88（人） 【答案】12 个房间；88 人【例 8】 妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分 4 个，其余人每人分 2 个，则多出 4 个；如果其中一人分 6 个，其余人每人分 4 个，则缺少 12 个，妈妈买来橘子多少个? 全家共有多少人?【考点】盈亏问题条件转化型【解析】 由“其中两人分 4 个，其余每人分 2 个，则多出 4 个” 转化为全家每人都分 2 个，这分 4 个的两人每人都拿出 2 个，共拿出 4 个，结果就多了 个；由“ 一人48分 6 个，其余每人分 4 个，则缺少 12 个” 转化为全家每人都分 4 个，分 6 个的人拿出 2 个，结果就少了 个，转变成了盈亏问题的一
9、般类型，则：10全家的人数： (人) 2()(42)189橘子的个数： (个) 986【答案】橘子 个，全家 个人26【例 9】 幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分 5 个，则余下 10 个。如全部分给小班的小朋友，每人分到 8 个，则缺 2 个。已知大班比小班多 3 人，问：这筐苹果共有多少个？【考点】盈亏问题转换分配单位【解析】 方法一：先把大班人数和小班人数转化为一样。大班减少 3 人，则苹果又收回个苹果，人数一样，根据盈亏问题公式，小班人数为：351- 4 -人，苹果总数是 个。(1502)(85989270方法二：此题也可以将小班人数化成和大班人数一样多，
10、（老师可以让学生自行尝试） ，小班人数增加 3 人，则还需要发个苹果，人数一样，根据盈亏问题公式，大班人数为：人，苹果总数是个。【答案】 个70【例 10】 有一些糖，每人分 块则多 块，如果现有人数增加到原有人数的 倍，那么510 1.5每人 块就少两块，这些糖共有多少块？4【考点】盈亏问题转换分配单位【解析】 第一次每人分 块，第二次每人分 块，可以认为原有的人每人拿出 块糖54541分给新增加的人，而新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分到块糖果，这些人每人还差 块，一共差了 块，所以新增加了22102人，原有 人糖果数为： (块) 16157【答案】糖果 块70【例 11】
11、 王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的 2 倍.桔子每人分 3 个，多 4个；苹果每人分 7 个，少 5 个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？【考点】盈亏问题转换被分配物【解析】 因为橘子每人分 3 个多 4 个，而苹果是橘子的 2 倍，因此苹果每人分 6 个就多 8个。又已知苹果每人分 7 个少 5 个，所以按照盈亏问题公式可以得出（人） ；苹果个数为（个） ；橘子个数为（个） 。【答案】13 个小朋友；86 个苹果；43 个橘子。【例 12】 学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍，分给同学们，每组分乒乓球拍 5 副，余乒乓球拍 15 副，每组分羽毛球拍 14
12、 副，则差 30 副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？【考点】盈亏问题转换被分配物【解析】 因为乒乓球拍每人分 5 副多 15 副，而羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍，因此羽毛球拍每人分 10 副就多 30 副。又已知羽毛球拍每人分 14 副少 30 副，所以按照盈亏问题公式可以得出（人） ；羽毛球拍个数为（副） ；乒乓球拍个数为（副） 。【答案】羽毛球拍 180 副；乒乓球拍 90 副。- 5 -第四部分：课后练习【作业 1】 用一根长绳测量井的深度，如果绳子 3 折时，多 8 米；如果绳子 5 折时，差 2米；求绳子长度和井深.【考点】盈亏问题【解析】 条件转化：三折，多 米；五
13、折，少 米83=2425=10井的深度为： （米） ；绳子长度为： （米）10517783=5【答案】绳子长 米，井深 米757【作业 2】 大猴采到一堆桃子，分给一群小猴吃。如果其中两只小猴各分得 4 个桃，其余每只小猴各分得 2 个桃，则最后剩 4 个桃；如果其中一只小猴分得 6 个桃，其余每只小猴各分得 4 个桃，那么还差 12 个桃，大猴共采到（ ）个桃，这群小猴共（ ）只。【考点】盈亏问题【解析】 本题是典型的盈亏问题，可以将它转化为：如果每个小猴分 2 个桃子，最后会剩下 8 个，如果每只小猴分 4 个，还差 10 个，应用盈亏问题的公式可以得到小猴子一共有 只，桃子一共有 个。(
14、10)(2949106【答案】 个桃子，小猴子 只26【作业 3】 春节前夕，一富翁想向丐帮帮众施舍一笔钱财，一开始他准备给每人 100 元，结果剩下 350 元，他决定每人多给 20 元。这时从其它地方又闻讯赶来了 5 个乞丐，如果他们每个人拿到的钱和其它乞丐一样多，富翁还需要再增加 550元。原有（ ）名乞丐。【考点】盈亏问题【解析】 如果不来这五个乞丐，富翁能剩下 元。因此有12050名乞丐。350215【答案】 名1【作业 4】 体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人 5 个还多余 10 个羽毛球，如果人数增加到 3 倍，那么每人分 2 个羽毛球还缺少 8 个，问有羽毛球多少个？【考点】
15、盈亏问题【解析】 考虑人数增加 3 倍后，相当于按原人数每人给 236（个） ，每人给 5 个与给 6- 6 -个，总数相差 108 18 (个） ，所以原有人数 18（65) 18（人） ，羽毛球总数是 51810100（个） 【答案】 个10【作业 5】 小强由家里到学校，如果每分钟走 50 米，上课就要迟到 3 分钟；如果每分钟走 60 米，就可以比上课时间提前 2 分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？【考点】盈亏问题【解析】 迟到 分钟转化成米数： （米） ，提前 分钟到校转化成米数：350312（米） ，距离上课时间为： （分钟） ，家到学6021(50)(650)7校的路程为：
16、（米） (27)【答案】 米5【作业 6】 实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐 60 人，则有 15 人上不了车；如果每辆车多坐 5 人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？【考点】盈亏问题【解析】 每辆车坐 60 人，则多余 15 人，每辆车坐 60+5=65 人，则多出一辆车，也就是差65 人.因此车辆数目为：（65+15）5=805=16（辆）.学生人数为：60（16-1 ）+15=6015+15=900+15=915 （人）.【答案】车 辆，人数 人16915【作业 7】 有若干个苹果和若干个梨.如果按每 1 个苹果配 2 个梨分堆，那么梨分完时还剩 2 个苹果；如果按每 3
17、 个苹果配 5 个梨分堆，那么苹果分完时还剩 1 个梨.苹果和梨各有多少个? 【考点】盈亏问题【解析】 容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到.原因在于第一种方案是 1 个苹果“搭配”2 个梨，第二种方案是 3 个苹果“搭配”5 个梨.如果将这两种方案统一为 1 个苹果“搭配”若干个梨，那么问题就好解决了.将原题条件变为“1 个苹果搭配 2 个梨，缺 4 个梨；1 个苹果搭配 5/3 个梨，多 1 个梨” ，此时盈亏总额为 (个) 梨，两次分配数之差为 (个)梨.所以有4525/3苹果 (个)，有梨 (个).(1)/3156【答案】苹果 15 个，梨 26 个- 7
18、-【作业 8】 小白兔和小灰兔各有若干只如果 5 只小白兔和 3 只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多 4 只，小灰兔恰好放完；如果 7 只小白兔和 3 只小灰兔放到一个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还多 12 只那么小白兔和小灰兔共有多少只？【考点】盈亏问题【解析】 “7 只小白兔和 3 只小灰兔装一个笼子，小白兔恰好装完，小灰兔还多 12 只”说明小白兔少了 123728（只） ，这样原来笼子数有：（284）（75）16（个） ，所以小白兔有 165484（只） ，小灰兔有 16348（只） ，合起来有 8448132（只） 【答案】 只132盈亏问题口奥技巧1.直接计算型要分清“盈”和“亏”2.条件转换型盈亏问题要将题目中给的条件转换成盈亏问题来解答，要注意“盈”和“亏”就是多和少，可以先理清多在哪里和少在哪里，然后再解题。3.条件变化型盈亏要将题目中一些特殊的分配条件转变成普通的分配条件，然后再利用盈亏问题基本公式解决问题，要注意，分配条件转变后，相应的盈或者亏的条件也要注意相应改变。4.转换分配单位型盈亏要将分配单位化成一样的。5 同意，转换被分配物型盈亏问题，也要将被分配物化成一样的。
