1、书书书理科数学试题（附中版） 炎德英才大联考湖南师大附中届高考模拟卷（二）数学（理科）命题人、审题人：高三理数备课组本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共页时量分钟满分分第卷一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（）设复数狕满足狕珔狕（是虚数单位），则复数狕在复平面内所对应的点位于（）（）第一象限（）第二象限（）第三象限（）第四象限（）已知全集犝犚，犖狓狓，犕狓狔（狓），则图中阴影部分表示的集合是（）（）狓狓（）狓狓（）狓狓（）狓狓（）从某企业生产的某种产品中抽取若干件，经测量得这些产品的一项质量指标值犣服从正态分布犖（，），某用户从该企
2、业购买了件这种产品，记犡表示这件产品中质量指标值位于区间（，）的产品件数，则犈（犡）等于（）附：槡若犣犖（，），则犘（犣），犘（犣）（）（）（）（）【解析】由于槡，则犘（犣）犘（犣），所以一件产品的质量指标值位于区间（，）的概率为，依题意，犡犅（，），犈（犡），故选（）已知犪，犫槡，犮槡，则犪，犫，犮的大小关系为（）（）犪犫犮（）犪犮犫（）犫犪犮（）犮犫犪【解析】犪，犫槡，（），犮槡，（），犪犫犮，故选（）执行下列程序框图，若输出犻的值为，则输入狓的取值范围是（）（）狓（）狓（）狓（）狓理科数学试题（附中版） 【解析】该程序框图执行以下程序：犻，狓狓；犻，狓（狓）狓；犻，狓（狓）狓，则由狓，狓
3、烅烄烆，可得狓，故选（）如图是一个旋转体被挖掉一个最大半球后得到的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）（）（）（）（）（）函数犳（狓）（狓）（，）的最小正周期为，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数犳（狓）的图象（）（）关于点，（）对称（）关于点，（）对称（）关于直线狓对称（）关于直线狓对称（）若二项式（狓）狀（狀犖）的展开式中所有项的系数的绝对值之和是犪，所有项的二项式系数之和是犫，则犫犪犪犫的最小值是（）（）（）（）（）【解析】令狓，得犪狀，又犫狀，犫犪狀狀（）狀，犫犪犪犫（）狀（）狀，故选（）在高校自主招生中，某中学获得个推荐名额，其中中南大学名，湖南大学名，湖南师范大
4、学名，并且湖南大学和中南大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下男女共个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）（）（）（）（）【解析】由题意可分为两类：第一类是将个男生每个大学各推荐人，共有种推荐方法；第二类是将个男生分成两组分别推荐给湖南大学和中南大学，其余个女生从剩下的大学中选，共有种推荐方法故共有种推荐方法，故选理科数学试题（附中版） （）已知函数犳（狓）狓犪狓狓犫的图象关于点（，）对称，且对满足狊狋犿的任意实数狊，狋，有犳（狊）犳（狋），则实数犿的最大值为（）（）（）（）（）【解析】由犳（狓）犳（狓）得犪，犫，故犳（狓）狓狓狓，令犳（狓）（狓狓），解得犳（狓）的单调递减区间为（，），故犿
5、，选（）已知犉为双曲线犆：狓犪狔犫（犪，犫）的右焦点，过原点犗的直线犾与双曲线交于犕，犖两点，且犕犖犗犉，若犕犖犉的面积为犪犫，则该双曲线的离心率为（）（）（）（）槡（）槡【解析】法一：由犕，犖关于原点对称及犕犖犗犉知犕犉犖犉，设犕（狓，狔），犖（狓，狔），其中狓，狔，则犕犉（犮狓，狔），犖犉（犮狓，狔），因为犕犉犖犉，所以（犮狓）（犮狓）狔，即狓犮狔，而犕（狓，狔）在双曲线上，所以狓犪狔犫，所以犮狔犪狔犫，化简可得狔犫犮又因为犕犖犉的面积为犪犫，所以犮狔犮狔犪犫，即狔犪犫犮，所以犫犮犪犫犮，即犪犫，从而离心率为槡法二：不妨设犕在第一象限，双曲线的左焦点为犉，连接犕犉，犖犉，则易知四边形犕犉犖
6、犉是矩形，设犕犉犿，犕犉狀，则可得犿狀犪，犿狀犮，犿狀犪犫烅烄烆，可解得犪犫，双曲线是等轴双曲线，离心率为槡（）已知平面四边形犃犅犆犇中，犃犅犃犇，犅犃犇，犅犆犆犇，犅犆犆犇，沿犅犇将犅犆犇折起形成三棱锥犆犃犅犇，当三棱锥犆犃犅犇的外接球的体积最小时，关于三棱锥犆犃犅犇有下列说法：平面犅犆犇平面犃犅犇；取犅犇的中点犗，则犗犆犅犃；三棱锥犆犃犅犇的外接球的体积是槡；对棱犅犆与犃犇所成的角的余弦值是槡这些说法中正确的个数有（）（）（）（）（）【解析】设正犃犅犇的中心是犌，三棱锥犆犃犅犇的外接球球心是犙，则犙犌平面犃犅犇，犙犗平面犆犅犇，设球半径是犚，则犚犃犌犙犌犙犌，当犙犌时三棱锥犆犃犅犇的外接球
7、的体积最小，此时犙与犌重合，平面犅犆犇平面犃犅犇，球半径是槡，体积是槡；此时犃犆，取犅犇的中点犗，则犗犆平面犃犅犇，即犗犆犅犃，则对棱犅犆与犃犇所成的角满足：犅犆犃犇犅犆犃犇犅犆（犅犇犅犃）犅犆犃犇犅犆犅犇（犗犆犗犅）犅犃犅犆犃犇槡（也可建系用坐标向量法或平移成相交直线再用余弦定理解三角形求对棱犅犆与犃犇所成的角的余弦值），故选理科数学试题（附中版） 第卷本卷包括必考题和选考题两部分第（）（）题为必考题，每个试题考生都必须作答第（）（）题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分（）点犃从，（）出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点犅，若点犅的坐标是，（），记犅，则 【解析
8、】由题意可得：，（）（）若圆犃：（狓）（狔）犪上至少存在一点犘落在不等式组狓狔，狓狔，狓狔烅烄烆表示的平面区域内，则实数犪的取值范围是， 【解析】圆犃与不等式组狓狔，狓狔，狓狔烅烄烆表示的平面区域有交点，作出图象后易求得犪的取值范围是，（）已知犃犅为圆犗：狓狔的直径，点犘为椭圆狓狔上一动点，则犘犃犘犅的最小值为 【解析】方法一：依据对称性，不妨设直径犃犅在狓轴上，犘（狓，槡狓），从而犘犃犘犅（狓）（狓）狓狓方法二：犘犃犘犅（犘犃犘犅）（犘犃犘犅）犘犗犘犗，而犘犗槡，则答案为方法三：犘犃犘犅（犘犗犗犃）（犘犗犗犅）犘犗（犗犃犗犅）犘犗犗犃犗犅犘犗犗犃犘犗，下同法二（）已知函数犳（狓）狓（狓）犪狓
9、，若存在唯一的整数狓，使得犳（狓），则犪的取值范围是，）【解析】设犵（狓）狓（狓），狔犪狓，由题知存在唯一的整数狓，使得犵（狓）犪狓因为犵（狓）狓狓当狓时，犵（狓），即犵（狓）单调递减，犵（狓）的值域为（，）；当狓时，犵（狓）；当狓时，犵（狓），即犵（狓）单调递增，犵（）且犵（狓）的值域为（，），直线狔犪狓恒过点（，）作出图象知当且仅当犪，）时满足题设理科数学试题（附中版） 三、解答题：共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（）（本小题满分分）已知犛狀是等差数列犪狀的前狀项和，且犛犪犪，犛犪（）求数列犪狀的通项公式；（）若犫，数列犫狀的第狀项犫狀是数列犪狀的第犫狀项（狀）（）证明：犫狀是
10、等比数列；（）求数列犪狀犫狀的前狀项和犜狀【解析】（）设等差数列犪狀的公差为犱，由已知得犪犱（犪犱）（犪犱），犪犱（犪犱）烅烄烆，即犪犱，犪犱解得犪，犱所以犪狀（狀）狀（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21（）（）依题意，狀时，犫狀犪犫狀犫狀，所以犫狀（犫狀），又犫，从而犫狀是以为首项，为公比的等比数列（分）G21 G21 G21 G21（）由（）知犫狀狀狀，即犫狀狀故犪狀犫狀（狀）（狀）（狀）狀（狀），所以犜狀（
11、狀）狀（狀），即犜狀（狀）狀狀犜狀（狀）狀狀得犜狀（狀）（狀）狀狀（狀）狀狀所以犜狀（狀）狀狀（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21（）（本小题满分分）某高校在自主招生期间，把高三学生的平时成绩按“百分制”进行折算，选出前狀名学生，并对这狀名学生按成绩分组，第一组，），第二组，），第三组，），第四组，），第五组，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列且第四组的学
12、生人数为，第五组对应的小长方形的高为（）请在图中补全频率分布直方图；（）若该大学决定在成绩较高的第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取名学生进行面试，并且在这名学生中随机抽取名学生接受考官犅的面试，设第三组有名学生被考官犅面试，求的分布列和数学期望【解析】（）因为第四组的学生人数为，且第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的学生人数依次成等差数列，所以总人数为狀，由频率分布直方图可知，第五组的学生人数为，又公差为，理科数学试题（附中版） 所以第一组的学生人数为，第二组的学生人数为，第三组的学生人数为故第一、二、三、四组的频率分别为，补全频率分布直方图如图：（分）G21 G21 G21 G21
13、 G21 G21 G21 G21 G21 G21（）由题意得，用分层抽样的方法在第三、四、五组中应分别抽取的学生人数为，则的所有可能取值为，（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21犘（），犘（），犘（），犘（）因此的分布列为：犘（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21犈（）（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21（）（本小题满分分）如图，已知多面体犕犖犃犅犆犇的一个面犃犅犆犇是
14、边长为的菱形，且犃犅犆，犅犕平面犃犅犆犇，犅犕犇犖，犅犕犇犖，点犈是线段犕犖上任意一点（）证明：平面犈犃犆平面犅犕犖犇；（）若犃犈犆的最大值是，求三棱锥犕犖犃犆的体积【解析】（）犅犕平面犃犅犆犇，犃犆犅犕；又四边形犃犅犆犇是菱形，犃犆犅犇，则犃犆平面犅犕犖犇，则平面犈犃犆平面犅犕犖犇（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21理科数学试题（附中版） （）由已知易知犃犈犆犈，犃犈犆犃犈犃犆犃犈犃犈，犃犈犆（，），当犃犈最短时犃犈犆最大，即犃犈犕犖，犆犈犕犖时犃犈犆最大，（同理得
15、犃犖犆，犃犕犆）此时，犃犈犆是二面角犃犕犖犆的平面角，大小是，犃犈槡（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21取犕犖得中点犎，连接犎与犃犆、犅犇的交点犗，易知犗犎平面犃犅犆犇，如图建系，设犖犇犪，则犃（，），犖（，槡，犪），犕（，槡，犪），则犃犖（，槡，犪），犃犕（，槡，犪），设平面犃犕犖的法向量狀（狓，狔，狕），则狀犃犕狓槡狔犪狕，狀犃犖狓槡狔犪狕烅烄烆，狀犪，槡犪，（），同理求得平面犆犕犖的法向量狀犪，槡犪，（）所以犃犈犆犪犪犪犪，解之得：犪槡或犪槡（舍去），（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G2
16、1 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21犕犖犪犅犇槡槡槡，犛犈犃犆犃犈槡槡，犞犕犖犃犆犞犕犈犃犆犞犖犈犃犆犛犈犃犆犕犖槡（采用几何计算类似给分）（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21（）（本小题满分分）如图，点犉是抛物线犈：狓狆狔（狆）的焦点，点犃是抛物线上的定点，且犃犉（，）点犅，犆是抛物线上的动点，直线犃犅，犃犆的斜率分别为犽，犽，且犽犽，以犃为圆心，犃犉的长为半径的圆分别交直线犃犅，犃犆于点犕，犖，抛物线犈在点犅，犆处的切线相交于犇点（）求抛物线的方程；（）记犅
17、犆犇的面积为犛，犃犕犖的面积为犛，求犛犛的最小值【解析】（）设犃（狓，狔），依题意知犉，狆（），则犃犉狓，狆狔（）（，）狓，狔狆，代入抛物线方程中得：狆，则抛物线方程为狓狔（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21（）设犅狓，狓（），犆狓，狓（），由（）知犃（，），理科数学试题（附中版） 所以犽犽狓狓狓狓狓狓又犽犽，所以狓狓（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G
18、21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21设直线犅犇的方程是狔狓犽（狓狓），与狓狔联立得狓犽狓犽狓狓令犽（犽狓狓），解得犽狓，所以直线犅犇的方程是狔狓狓（狓狓），即狔狓狓狓同理可得直线犆犇的方程为狔狓狓狓（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21联立直线犅犇和犆犇的方程，解得狓犇狓狓，狔犇狓狓（分）G21 G21 G21 G21
19、G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21设犅犆的中点为犘，则犘的坐标为狓狓，狓狓（），所以犛犛犅犇犘犛犆犇犘犇犘（犺犺）狓狓狓狓狓狓（狓狓）（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21另一方面，犛犃犕犃犖犕犃犖犕犃犖，（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G
20、21 G21 G21 G21 G21所以犛犛犕犃犖犕犃犖，等号成立时，犕犃犖，即犽犽，又犽犽，故犽，犽所以犛犛的最小值为（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21（）（本小题满分分）已知犳（狓）狓犪狓狓，其中犪为实数（）若犪，求犳（狓）的单调区间；（）设犵（狓）犳（狓）（犪）犪犪（犪），若对任意狓，犵（狓），求实数犪的取值范围【解析】（）当犪时，犳（狓）狓犪狓为单调增函数，且犳（），故当
21、狓（，）时，犳（狓），即犳（狓）在（，）上单调递增；当狓（，）时，犳（狓），即犳（狓）在（，）上单调递减（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21（）因为犵（狓）狓犪狓，犵（狓）狓犪若犪，则对任意狓，有犵（狓）狓犪犪，即犵（狓）在（，）上单调递增，则犵（狓）犵（），所以有犵（狓）在（，）上单调递增，则犵（狓）犵（）（犪）犪犪；理科数学试题（附中版） 令犺（犪）（犪）犪犪犪（），则犺（犪）犪犪（）犪，当犪，）时，犺（犪），即犺（犪）在，）上单调递增；当犪，（）时，犺（犪），即犺（犪）在，（）上单调递减；当犪，）时，
22、犺（犪），即犺（犪）在，）上单调递增；又由于犺（），犺（）（），所以当犪，）时，犵（狓）（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21若犪，犵（）犪，而犵（狓）单调递增，且一定存在狓使得犵（狓），此时，对任意的狓（，狓），犵（狓），即犵（狓）在（，狓）上单调递减，则犵（狓）犵（），所以有犵（狓）在（，狓）上单调递减，于是当狓，狓（）时，犵（狓）犵（）（犪）犪犪；令犿（犪）（犪）犪犪犪（），则犿（犪）犪犪（）犪，又由于犿（），故当犪，（）时
23、，犿（犪）；于是当犪，（）时，犵（），与题设不符；综上，所求实数犪的取值范围是，）（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21请考生在第（）、（）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分（）（本小题满分分）选修：坐标系与参数方程在平面直角坐标系狓犗狔中，曲线犆的参数方程为狓槡狉，狔狉烅烄烆（狉，为参数），以坐标原点犗为极点，狓轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线犾的极坐标方程为（），若直线犾与曲线犆相切（）求曲线犆的极坐标方程；（）在曲线犆上取两点犕，犖与原点犗
24、构成犕犗犖，且满足犕犗犖，求犕犗犖面积的最大值【解析】（）由题意可知直线犾的直角坐标方程为狔槡狓，曲线犆是圆心为槡，（），半径为狉的圆，直线犾与曲线犆相切，可得：狉槡槡；可知曲线犆的方程为狓槡（）狔（），理科数学试题（附中版） 所以曲线犆的极坐标方程为槡，即（）（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21（）由（）不妨设犕（，），犖，（），（，），犛犕犗犖犗犕犗犖，（）（）槡槡槡（）槡，当时，犛犕犗犖槡，所以犕犗犖面积的最大值为槡（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21（）（本小题满分分）选修：不等式选
25、讲已知关于狓的不等式狓犿狓的解集为狓狓，其中犿（）求犿的值；（）若正数犪，犫，犮满足犪犫犮犿，求证：犫犪犮犫犪犮【解析】（）由犳（）狓得狓犿狓，即狓犿，狓犿狓，或狓犿，犿狓狓，化简得：狓犿，狓犿烅烄烆，或狓犿，狓犿由于犿，所以不等式组的解集为狓狓犿由题设可得犿，故犿（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21（）由（）可知，犪犫犮，又由均值不等式有：犫犪犪犫，犮犫犫犮，犪犮犮犪，三式相加可得：犫犪犪犮犫犫犪犮犮犫犮犪，所以犫犪犮犫犪犮犪犫犮（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
