1、第一章 线性规划与单纯形法1、 线性规划问题的标准形式=maxz12ncxc12122112,0nmmnabaxx or=axz1jc1,2,0nijijbmxn2、 最优性检验与解的判别， ，jjjcz1mjijca1,2.1 最优解的判别定理若 为对应基 的一个基可行解，且对于一且(0) 12,0)TmXb B，有 ，则 为最优解，称 为检验数。jn j(0)Xj2.2 无穷多最优解判别定理若 为对应基 的一个基可行解，且对于一且(0) 12,)Tmb ，有 ，又存在某个非基变量的检验数 ，则线性规划问jn 0jmk0题有无穷多最优解。2.3 无界解判别定理若 为对应基 的一个基可行解，有
2、一个 ，并且(0) 12,)TmXb Bmk对 ，有 ，那么该线性规划问题具有无界解（或称无最优解） 。i ,0ika3、 单纯形法的计算步骤（1 ） 找出初始可行基，确定初始基可行解，建立初始单纯形表。（2 ） 检验各非基变量 的检验数是jx，若1mjjijca0,1,jmn则已得到最优解，可停止计算。否则转入下一步。（3 ） 在 ， 中，若有某个 对应 的系数列向量 ，则此问0j1,jmn kkx0kP题是无界，停止计算。否则，转入下一步。（4 ） 根据 ，确定 为转入变量，按 规则计算ax()jkkxin0i lkkbba可确定 为换出变量，转入下一步。lx（5 ） 以 为主要元素进行迭
3、代，把 所对应的列向量lkakx12kklmkPa00l第将 列中得 换为 ，得到新的单纯形表。重复（2） （5 ） ，直到终止。BXlxk :4、 人工变量法人工变量是后加入到原约束条件中的虚拟变量，要求经过基的变换将它们从基变量中逐个替换出来。基变量中不再含有非零的人工变量，这表示原问题有解。若在最终表中当所有 ，而在其中还有某个非零人工变量，这表示无可行解。0jjcz4.1 大 法M在一个线性规划问题的约束条件中加入人工变量后，要求人工变量对目标函数取值不受影响，为此假定人工变量在目标函数中得系数为（ ） （ 为任意大的正数） ，这M样目标函数要实现最大化时，必须把人工变量从基变量换出。
4、否则目标函数不可能实现最大化。4.2 两阶段法第一阶段：不考虑原问题是否存在基可行解；给原线性规划问题加入人工变量，并构造仅含人工变量的目标函数和要求实现最小化。如=min110nmnxx 122212,0nmmmnabxx然后用单纯形法求解上述模型。若得到 ，这说明原问题存在基可行解，可以进行第0二阶段计算。否则原问题无可行解，应停止计算。第二阶段：将第一阶段计算得到的最终表，除去人工变量。将目标函数行的系数，换原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始表。5、 退化当出现退化时，应按照一下规则：（1 ）选取 中小标最小的非基变量 为换入变量，即0jjczkxmin(|)jjk（2 ）当按
5、 规则计算存在两个和两个以上最小化比值时，选取下标最小的基变量为换出变量。6、检验数的几种表示形式标准型检验数maxzCX,0Ab minzCX,0Abjjczj 00第二章 对偶理论和灵敏度分析1、单纯形表与矩阵表示的关系非基变量基变量 BXNSX等式右边 RHS系数矩阵 111B1Bb检验数 0 11NBCC2、线性规划的原问题与对偶问题的关系原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）目标函数 maxz变量 0n个无 约 束 目标函数 min约束条件=个约束条件 =m个约束条件右端项目标函数变量的系数变量0m个无 约 束目标函数变量的系数约束条件右端项2、互补松弛性若 分别是原问题和对偶问
6、题的可行解。那么 和 ，当且仅当,XY 0SYXS为最优解。3、对偶单纯形法的计算步骤如下：（1）根据线性规划问题，列出初始单纯形表。检查 列的数字，若都为非负 ，检b(0)验数都为非正 ，则已得到最优解。停止计算。检查 列的数字时，至少还有一个负分(0)量，检验数保持非正 ，那么进行一下计算。（2）确定换出变量按 对应的基变量 为换出变量。11min()|0iiBb1()lBbix（3 ）确定换入变量在单纯形表中检查 所在行的各系数 。若所有 ，则无可行解，lx(,2)ljan 0lja停止计算。若存在 ，计算0(1,2)ljanmin|jjkljl lczcz按 规则所对应的列的非基变量
7、为换入变量，这样才能保持得到的对偶问题仍为可行kx解（4 ）以 为主元素，按原单纯形法在表中进行迭代运算，得到新的计算表。lka重复步骤（1） （4） 。 :第三章 运输问题1、产销平衡的运输问题： 1111()()nmnnmjijijiijbxxa2、表上作业法（1）找出初始基可行解。即在（ ）产销平衡表上给出 个数字格。mn1mn（2）求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的检验数，判别是否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否则转到下一步。（3）确定换入变量和换出变量，找到新的基可行解。在表上用闭回路法调整。（4 ）重复（2 ） 、 （3 ）直到得到最优解为止。3、确定初始基可行解（最
8、小元素法和伏格尔（ ）法）Vogel最小元素法：基本思想就是就近供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销关系，然后次小。一直到给出初始基可行解为止。伏格尔（ ）法：Vogel（1 ） 在单位运价表中分别计算各行和各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下列。（2 ） 从行或列差额中选出最大者，选择它坐在行或列中的最小元素。然后按供需关系划去改行或该列（3 ） 对表中未划去的元素再分别计算出各行、各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。重复第（1） 、 （2 ）步，直到给出初始解为止。4、最优解的判断（闭回路法和位势法）判别的方法是计算空格（非基变量）的
9、检验数 。因为运输问题1(,)ijBijcCPN的目标函数是要求实现最小化，故当所有的 时，为最优解。0ijij闭回路法：在给出的调运方案的计算表上，从每一空格出发找一条回路。它是以某空格为起点。用水平或者垂直直线向前划，当碰到一数字格时可以转 后，继续前进，直到回9o到起始空格为止。从每一空格出发一定存在和可以找到唯一的闭回路。位势法：设 是对应运输问题的 各约束条件的对偶变量。1212,;,mnuv mn是含有一个人工变量 的 初始基矩阵。人工变量 在目标函数中的系Bax()()ax数 ，从线性规划的对偶理论可知。ac01BC212(,;,)mnuv 而每个决策变量 的系数向量 ，所以 。
10、于是检验数ijxijijPeBijijCPuv1()ijijBijijijccv由单纯形法得知所有基变量的检验数等于 。即 ，0()0ijijcv,ijN（注： ）10;acu5、改进的闭回路调整法当在表中空格处出现负检验数时，表明未得最优解。若有两个和两个以上的负检验数时，一般选其中最小的负检验数，以它对应的空格为调入格。 。即已它对应的非基变量为换入变量。6、退化7、产销不平衡的运输问题当产大于销时，只要增加一个假想的销地 ，该销地总需要量为1jn1mnijab而在单位运价表中令从各产地对到假想销地的单位运价为 ，就转为一个产销平衡,10inc的运输问题。类似地，当销大于产时，可以在产销平
11、衡表中增加一个假想的产地 ，i该地产量为 ，在单位运价表上令从该假想产地到各销地的运价 ，同1nmjiba1,0mjc样可以转化为一个产销平衡的运输问题。第四章 目标规划1、目标规划的目标函数目标规划的目标函数是按各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子及权系数而构造的。当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。因此目标规划的目标函数只能是 。其基本形式有三种：1min(,)zfd（1 ） 要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时 1min(,)zfd（2）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时 i()f（3 ）要求超过目标值
12、，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时 in()zfd2、解目标规划的单纯形法规定：（1 ） 因目标规划问题的目标函数是求最小化，所以以 为最优0jjcz(1,2)n准则（2 ） 因非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子，即 ,12,;,jjkjczaPnkK 因 ；从每个检验数的整体来看：检验数的正、负首先决定于12K:的系数 的正、负。若 ，这时此检验数的正、负就决定于 的系数j 1ja02P的正、负，下面可以此类推。2ja解目标规划问题的单纯形法的计算步骤：（1 ） 建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别列成 行，置 。K1k（2 ） 检查该行中是否存在负数
13、，且对应的前 行的系数是零。若有负数取其中最小1k者对应的变量为换入变量，转（3） 。若无负数，则转（5） 。（3 ） 按最小比值规则确定换出变量，当存在两个和两个以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量。（4 ） 按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回（2）（5 ） 当 时，结束计算。表中的解即为满意解，否则置 ，返回到（2） 。kK 1k第五章整数规划1、分支定界法基本思想：设有最大化的整数规划问题 ，与它相应的线性规划为问题 ，从解问题 开AB始，若其最优解不符合 的整数条件，那么， 的最优目标函数必是 的最优目标函数BA的上界，记作 ；而 得任意可行解的目标函
14、数值将是 的一个下界 。分支定界法zz zz就是将 的可行域分成子区域（称为分支）的方法，逐步减小 和增大 ，最终求到 。B z用分支定界法求解整数规划（最大化）问题的步骤为：设有最大化的整数规划问题 ，与它相应的线性规划为问题A（1 ） 解问题 ，可能得到以下情况之一： 没有可行解，这时 也没有可行解，终止；： 有最优解，并符合问题 的整数条件， 的最优解即为 的最优解，则停BA止；： 有最优解，但不符合问题 的整数条件，记它的目标函数值为 。BAz（2 ） 用观察法找问题 的一个整数可行解，一般可取 ，试探，求0,12,jxn得其目标函数值，并记作 。以 表示问题 a 的最优目标函数值；这
15、时有zz进行迭代。第一步：分支，在 的最优解中任选一个符合整数条件的变量 ，其值为 ，以 表Bjxjbj示小于 的最大整数。构造两个约束条件jb 1jjjjxb和将这两个约束条件，分别加入问题 ，求两个后继问题 。不考虑整数条件求解这12B和两个后继问题。定界：以两个后继问题为一分支标明求解的结果，与其他问题的解的结果中，找出最优目标函数值最大者作为新的上界 。从已符合整数条件的各分支中，找出目标函数值为z最大者作为新的下界 ，若无可行解， =0.z第二步：比较与剪支，各分支的最优目标函数值中若有小于 者，则剪掉这支（用打 表z示） ，即以后不再考虑了，若大于 者，且不符合整数条件，则重复第一
16、步骤。一直到最后z得到= 为止，得到最优整数解 。z ,12,jxn2、 割平面法Gomry（1 ）令 是相应线性规划最优解中为分数值的一个基变量，由单纯形表的最终表得到ix，其中 （ 指构成基变量号码的集合）iikiabiQ（ 指构成非基变量号码的集合）K（3 ） 将 都分解成整数部分 和非负真分数 之和，即i和 ikNf，其中iibNf01if，其中ikiikaik而 表示不超过 的最大整数。则有 iikiiikxNfx（3 ）现在提出变量（包括松弛变量）为整数的条件（当然还有非负的条件） ，这时，上式由左边看必须是整数，但由右边看，因为 ，所以不能为正，即01if0iikfx这就是一个切
17、割方程3、 整数规划（隐枚举法）01（1 ）相互排斥的计划，解题时引入 变量 ，即01(,2)ixm, ,20iiAxim当 点 被 选 用， 当 点 没 被 选 用（2 ）相互排斥的约束条件如果有 个相互排斥的约束条件（ 型）：m，12,12,iiiniaxaxbm 1,2i为了保证这 个约束条件只有一个其作用，我们引入 个 变量 和一0()iy个充分大的常数 ，而下面这一组 个约束条件Mm12 ,12,iiiniiaxaxbM 1myy就符合上述要求（3 ）关于固定费用的为题4、指派问题（最小化）效率矩阵或系数矩阵，其元素 表示指派第 人去完成第 项任务的0(,12,)ijcjn ij效率
18、（时间、成本等） ，引入变量 ；其取值智能是 1 或 0.并令ijx10,ij ixj， 当 指 派 第 人 去 完 成 第 项 任 务当 不 指 派 第 人 去 完 成 第 项 任 务问题求极小化的数学模型： minijizcx1,2,(1)0ijijijxn或（注：（1）说明第 项任务只能由 1 人去完成；（2）式说明第 人只能完成 1 项任务）j i匈牙利法：第一步：使指派问题的系数矩阵经变换，在各行各列中都出现 元素0（1 ）从系数矩阵的每行元素减去该行的最小元素（2 ）再从所得系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素，若某行（列）已有 元素，那0就不必再减了。第二步：进行试指派，以寻求
19、最优解。为此，按以下步骤进行。经第一步变换后，系数矩阵中每行每列都已有了 元素；但需找出 个独立的 元素。若0n能找出，就以这些独立 元素对应解矩阵（ ）中得元素为 1，其余为 0，这就得到最优0ijx解。当 较小时，可用观察法，试探法去找 个独立 元素。若 较大时，就必须按一定nn的步骤去找，常用的步骤为：（1 ）从只有一个 元素的行（列）开始，给这个 元素加圈，记作 。这表示对这行所代0表的人，只有一种任务可指派。然后划去所在列（行）的其他 元素，记作 。这表示0这列所代表的任务已指派完，不必在考虑别人了；（2 ）给只有一个 元素列（行）的 元素加圈；记作，然后划去 所在行的 元素，记0
20、0作 。（3 ）反复进行（1） 、 ） （2 ）两步，直到所有 元素都被圈出和划掉为止；0（4 ）若仍有没有划圈的 元素，且同行（列）的 元素至少有两个（表示对这个可以从两项任务中指派其一） 。这可用不同的方案去试探。从剩有 元素最少的行（列）开始，比较这行各 元素所在列中 元素得数目，选择 元素少得那列的这个 元素加圈（这表示选00 0择性多得要“礼让”选择性少的） ，然后划掉同行同列的其他 元素，可反复进行，直到所有 元素都已圈出和划掉为止。（5 ）若元素的数目 等于矩阵的阶数 ，那么这指派问题的最优解已得到，若 ，mnmn则转入下一步。第三步：作最少的直线覆盖所有 元素，以确定该系数矩阵
21、中能找到最多的独立元素数。0为此按以下步骤进行：（1 ） 对没有的行打号；（2 ） 对已打号的行中所有含 元素的列打号；（3 ） 再对打有号的列中含元素的行打号；（4 ） 重复（2） 、 （3）直到得不出新的打号的行、列为止；（5 ） 对没有打号的行画一横线，有打号的列画一纵线，这就得到覆盖所有 元素的0最少直线数。（6 ） 令这直线数为 。若 ，说明必须在变换当前的系数矩阵，才能找到 个独立的ln n元素，为此转到第四步：若 ，而 ，应回到第二步（4） ，另行试探。0lmn第四步：对用最少直线覆盖的矩阵进行变换的目的就是增加 0 元素。为此在没有被直线覆盖的部分中找出最小元素。然后在打行各元
22、素中都减去这最小元素，而在打列的各元素都加上这最小元素，以保证原来 0 元素不变。这样就得到新系数矩阵（它的最优解和原问题相同） ，若得到 个独立的 0 元素，则已得到最优解，否则回到第三步重复进行。n对于极大化的指派问题，即求 axijizcx可令 ，其中 是足够大的常数（如选 中最大元素为 即可） ，这时系数矩ijijbMcij M阵变换为 ，这时 ，符合匈牙利法的条件。目标函数经变换后，即解()ijB0ijb。所得最小解就是原问题的最大解。minijizx第六章 无约束问题1、非线性规划问题的数学模型 max()0,12,ijfXhimgjl 其中自变量 是 维欧式空间 中得向量（点）
23、； 为目标函数，12(,)TnXx nE()fX和 为约束条件。()0ih)jg2、 （ 1）极值点存在的必要条件设 是 维欧式空间 上的某一开集， 在 上有一阶连续偏导数，且在点RnnE()fXR取得局部极值，则必有X12()0nf fXxx（注： 为函数 在点 处的梯度）12()()()(),TnfXfffx ()f（2 ）极值点存在的充分条件设 是 维欧式空间 上的某一开集， 在 上具有二阶连续偏导数， ，若RnnE()fXRXR，且任何非零向量 有 ，则 为 的严格局部极()0fXnZ0THZ()f小点。注：此处 为 在点 处的海赛（ ）矩阵()HX(fXHes22211122 222
24、1)()()()()()()nnnnfxxxfffXffXfxxx 3、凸函数（凹函数）的定义设 为定义在 维欧式空间 中某个凸集 上的函数，若对任何实数 以()fXnER(01)及 中任何两点 和 ，恒有：R(1)(2)X(1) (1)(2)f ffX则称 为定义在 上的凸函数（严格凸函数）R不等式改为相反即为凹函数的定义4、函数凸性的判定（1 ） （一阶条件）设 是 维欧式空间 上的开凸集， 在 上有一阶连续偏导数，则 为 上RnnE()fXR()fXR的凸函数的充要条件是，对任意两个不同点 和 ，恒有(1(2)(2)(1)(1)(2)TfXff（2 ） （二阶条件）设 是 维欧式空间 上
25、的开凸集， 在 上具有二阶连续偏导数，则 为RnnE()fXR()fX上的凸函数的充要条件是： 的海赛矩阵 在 上处处半正定。f()H6、 凸规划：考虑非线性规划min()|0,12,XRjfgjl假定其中 为凸函数， 为凹函数（或者 为凸函数） ，这样的非线性()f()j ()jgX规划称为凸规划。注：线性函数即可视为凸函数，又可视为凹函数，故线性规划也属于凸规划。7、下降迭代算法（极小化问题）现假定已迭代到点 ，若从 出发沿任何方向移动都不能使目标函数值下降，则()kX()k是一局部极小点，迭代停止。若从 出发至少存在一个方向可使目标函数值有所()kX()kX下降，则可选定能使目标函数值下
26、降的某方向 ，沿这个方向迈进适当的一步，得到下()kP一个迭代点 ，并使 。这相当于在射线 上选定(1)xX(1)kffX()()kkXP新点 ，其中， 称为搜索方向； 称为步长或步长因子。()()()kkP()kk下降迭代算法的步骤：（1 ）选定某一初始点 ，并令 ；(0)X:（2 ）确定搜索方向 ；k（3 ）从 出发，沿方向 求步长 ，已产生下一个迭代点 ；()k()kPk(1)kX（4 ）检查得到的新点 是否为极小点或近似极小点。若是，则停止迭代。否则，令(1)，转回（2）继续进行迭代；:1在上述步骤中，选取搜索方向 是最为关键的一步。()k确定步长 可选用不同的方法，最简单的一种是令它
27、等于某一常数，这样做计算简便，但k不能保证使目标函数值下降。第二种称为可接受点算法，只要能使目标函数值下降，可任意选取步长 。第三种方法是基于沿搜索方向使目标函数值下降最多，即沿射线k，求目标函数 的极小：()()XP()fX()():minkkkfXP由于这项工作是求以 为变量的一元函数 的极小点 ，故常称为这一过()()f k程为（最优）一维搜索或线搜索，这样确定的步长为最佳步长。注：一维搜索性质：在搜索方向上所得最优点处的梯度和该搜索方向正交。8、斐波那契（ ）法（分数法）Fibonaci（斐波那契数）的递推公式： ，n 12nnF表（1）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1
28、1 12nF1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233要想计算 个函数值，而把区间 的长度缩短为原长度的 倍，即缩短后的区间长度0,ab为 ，则只要 足够大，能使下式成立 即可： ，式中 为10()nbabn1nF一个正小数，称为区间缩短的相对精度。区间的绝对精度 = 。0()ba用这个方法缩短区间的步骤如下：（1 ）确定试点的个数 。根据相对精度 ，即可用 算出 ，然后由上表（1 ）确nnFn定最小的 。（2 ）选取前两个试点的位置。由 ， 可知，第一次缩短时的两个试点位置分别是12nnF21001100()()nnFtabatabaF它们在区间内的位置是对称的。（
29、3 ）计算函数值 和1()ft1ft若 ，则取1()ft 021,abt并令 2211+()nFtb否则取 1021,att并令 211+()ntbaF（4 ） 计算 或 ，如第 3 步那样一步一步迭代。计算试点的一般公式为：2ft2ft11 1()nkk kkk knFtbab其中 。1,2kn（5 ）当进行至 时， ，这就无法借比较函数值12()nntab和 的大小以确定最终区间，为此，取1()nft1()nft12 2()()nnntaba其中 为任意小的数。在 和 这两点中，以函数值较小者为近似极小点，相应的函数1nt值为近似极小值，并得最终区间 或 。21,nat12,ntb9、 0
30、.618 法(黄金分割法)计算 个试点的函数值可以把原来区间 连续缩短 次，因为每次的缩短率均为n0,ab1n，故最后的区间长度为 ，这就是说，当已知缩短的相对精度为 时，可用10()nb 下式计算试点个数 ： 1n10、无约束极值： mi(),nfXE11、梯度法（最速下降法）（1 ）给定初始近似点 及精度 ，若 ，则 即为近似极小点。(0)2(0)fX(0)（2 ）若 ，求步长 ，并计算 ，求步长可用一2(0)f0(1)()()0fX维搜索法、微分法或试算法。若求最佳步长，则应使用前两种方法。（3 ）一般地，设已迭代到点 ，若 ，则 即为所求的近似解；若()kX2()kf()k，则求步长
31、，并确定下一个近似点 ，如此2()kfXk(1)()()kkf继续，直至达到要求的精度为止。注：若 具有二阶连续偏导数，在 作 的泰勒展开：()f ()kX()()kkffX()()()()()()()()12kkkT Tkkff HfX对 求导并令其等于零，则得近似最佳步长()()kTkkffX有时，将搜索方向 ，则()()kkfXP()()()kTkkkfffHX12、共轭梯度法：无约束极值问题的一个特殊形式： ，式中 为 对称1min()2TTfXABcAn正定阵， ， 为常数。,nXBEc共轭方向：设 和 是 维欧式空间 中的两个向量，若有 ，就称 和 正YnE0TYXY交。再设 为
32、对称正定阵，如果 和 正交，即有 ，则称 和 关于AnXAYXA共轭，或 和 为 共轭。X共轭梯度法（二次函数）：（1 ）选择初始近似 ，给出允许误差 ；(0) 0（2 ）计算 ，并用 和 式(0)(0)PfX(1)()()kkkXP()()()kTfXPA算出 。计算步长也可使用以前介绍过的一维搜索法。(1)X（3 ）一般地，假定已得出 和 ，则可计算其第 次近似 ：()k()P1k(1)k(1)()():minkkkf（4 ）若 ，停止计算， 即为要求的近似解。否则，若 ，2(1)kX(1)kX 1kn则用 和 计(1)(1)()kkkPfP()(1),0,2TkkffX算 和 ，并转向第
33、 3 步(1)kk共轭梯度法（非二次函数）：一般地，按照(1)()()()()()(1)1()()kkkTkkkkkTkkXPfHXPfP计算非二次函数的极小值问题。13、变尺度法（ ）的计算步骤DFP（1 ）给定初始点 和梯度允许误差 。(0)X0（2 ）若 ，则 即为近似极小点，停止迭代。否则，转向下一步。2()f(0)（3 ）令 （单位阵）(0)HI(0)(0)Pf在 方向进行一维搜索，确定最佳步长 ：() 0，如此可得下一个近似点(0)()(0)(0)minfXfXP(1)(0)(0)XP（4 ）一般地，设已得到近似点 ，算出 ，若()k()kfX2()kf则 即为所求的近似解，停止迭
34、代；否则，按式()k计算 ，()()()()()()(1)()kTkkTkXHGHG()kH并令 ()()()kkkPHfX在 方向进行一维搜索，确定最佳步长 ：() k()()()()minkkkkfXPfXP其下一个近似点为 (1)()()kkP（5 ）若 点满足精度要求，则 即为所求得近似解。否则，转会第 4 步，直到求(1)kX(1)kX出某点满足精度要求为止。14、步长加速法（模矢法求解无约束极值问题）的计算步骤 P169第七章 约束极值问题1、非线性规划的一般形式： （1 ）min()0,12,ijfXhimgjl 或 （2）min(),|0,12,njfXREgjl2、库恩-塔克
35、（ ）条件（ 条件）kerKuhTcKT设 是非线性规划（2）式的极小点，而且在 点的各起作用约束的梯度线性无关，则 X存在向量 ，使得下述条件成立：12(,)Tl1()00,2,ljjjfXgXgl上述条件简称为 条件。满足这个条件的点称为 点。KTKT为了求得非线性规划（1）式的 条件，我们用 代替约束条件 ，()0ihX()0ihX从而新建立的 条件如下：设 是非线性规划（1）式的极小点，而且在 点所有起作用约束的梯度X 和 线性无关，则存在向量(),2)ihm ()jgXJ和 ，使得下述条件成立：1T 12,Tl11()()()00,2,mli jjjfXhgXgjl满足上述式子的点也
36、称为 点。KT注：上两式中 以及 称为广义拉格朗日（ ）乘子12,m 12,l Lagrne3、二次规划二次规划的数学模型表述如下： 111min()2,0,2,nnj jkj jjkjnijijjfXcxcxcaxbmn 注：解题前需要判定目标函数是否为凸函数解二次规划问题时，化解得出如下线性规划问题： 11min()sgn(),12,0,2,0,2,1,njijnjjkjjijijjZzaycxzcnxbimynz上式中不能使 和 （对每一个 ）同时为基本量。解线性规划 式。若得到最优解：jxjyj ()121212(,0,0)nmnmnxzz 则 就是二次规划问题的最优解。)4、可行方向
37、法的迭代步骤：（1 ）确定允许误差 和 ，选初始近似点 ，并令 ；102(0)XR:0k（2 ）确定起作用约束指标集 ()()|,1kkjJXgjl若 ，而且 ，则停止迭代，得点()kJX2()1f()kX若 ，但 ，则取搜索方向 ，然后转() ()k()()Df向第（5 ）步；若 ，转入下一步()kJX（3 ）求解线性规划 () ()min,1,2kTkjifXDgjJXdn设它的最优解是 ；(),k（4 ）检验是否满足 ，若满足则停止迭代，得到点 ；否则，以 为搜索方2k()kX()kD向，并转入下一步。（5 ）解下述一维极值问题 ()()0:minkkkfXD()()ax| 0,12,j
38、gjl（6 ）令(1)()()kkkX:转回第（2）步。5、制约函数法（序列无约束极小化技术： ）SUMT外点法的迭代步骤（1 ）取 （如 ） ，允许误差 ，并令 ；10M10:1k（2 ）求无约束极值问题的最优解： ，()min(,),kXEPX其中 21(,)(i0,lkkjjPXfg（3 ）若对某一个 有 ，则取)jl()kj1kkM，令 ，并转向第（2）步。否则，停止迭代，得1(,510)kkMcc如 或 :1k()minX内点法的迭代步骤：（1 ）取 （如 ） ，允许误差 。10r1r0（2 ）找出一可行内点 ，并令 ；(0)XR1k（3 ）构造障碍函数，障碍项可采用倒数函数式（ ）
39、 ，也可采用对数函数式（1(,)(,(0)lkkkjjPrfrrg）1(,)(lo(),()kkjkjXfX（4 ）以 为初始点，对障碍函数进行无约束极小化（在 内）：(1)0R0R0 ()()0min,kkxRkPrrX（5 ）检验是否满足收敛准则 或 ，如满足收敛()1lkkjjrgX()1|log|kkjjrX准则，则以 为原问题的近似极小解 ，否则，取 （如 ） ，令()k mink1/0kr，转到第（3）步继续进行迭代。+1k初始内点的迭代步骤：（1 ）任取一点 ， ，令 ；(0)nXE0r0k（2 ）指定目标集 及kST和()|0,1kjSgjl()|,1kkjgXjl（3 ）检查
40、集合 是否为空，若为空集，则 在 内，初始内点找到，迭代停止。否k ()0R则转向第（4）步；（4 ）构造函数 ，以 为初始点，在保持1(,)(),()kkjkkjSjTjPXrgXrrg ()kX对集合 可行的情况下，极小化 ，|0,kjRg,kP即 ，得 ，转向第（5）步；min(,)kr(1)(),kkR（5 ）令 ，转向第（2 ）步。10,kr第八章 动态规划1、概念：（1 ）阶段：把所给问题的过程，恰当的分为若干个相互联系的阶段，以便能按一定的次序去求解。描述阶段的变量称为阶段变量，常用 表示。k（2 ）状态：状态表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程的状况，
41、又称不可控因素。描述过程状态的变量称为状态变量。常用 表示第 阶段的（可kS达）状态变量；（3 ）决策：决策表示当过程处于某一阶段的某个状态时，可以作出的不同决定，从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。常用 表示第 阶段当状态处于 时的决策变()kuskks量。常用 表示第 阶段从状态 出发的允许决策集合。显然有 ；()kDsk ()u()kD（4 ）策略：策略是按一个顺序排列的决策组成的集合。由过程的第 阶段开始到终止状态为止的过程，称为问题的后部子过程（或称为 子过程） 。由每段的决策按顺序排列组成的k决策函数序列 称为 子过程策略（子策略） ，记为 。即(),()knus ,()kn
42、ps, 1(),knknpsus当 时，次决策函数序列称为全过程的一个策略，简称策略，记为 ，即1 1,()ns, 12(),(),()n nsus（5 ）状态转移方程：若给定第 阶段状态变量 的值，如果该段的决策变量 一经确定，kksku第 阶段的状态变量 的值也就完全确定，这种确定的对应关系，记为：k1ks1(,)kksTu上式描述了由 阶段到 阶段的状态转移规律，称为状态转移方程。 称为状态转移函kT数。（6 ）指标函数和最优值函数用来衡量所实现过程优劣的一种数量指标，称为指标函数。它是定义在全过程和所有后部子过程上确定的数量函数。常用 表示：,knV,1(,)1,2knknVsuskn
43、 对于要构成动态规划模型的指标函数，应具有可分离性，并满足递推关系。即 可以表,kV示为 的函数。记为：1kksuV、 、 ,1 11(,),()knknkknsuss 常见的指标函数形式如下：过程和它的任一子过程的指标是它所包含的各阶段的指标的和。即，, 1(,)(,)nknkjjkVsuvsu或者写成： , 111(,(,)knnkkknsVsus ：过程和它的任一子过程的指标是它所包含的各阶段的指标的乘积。即 , 1(,)(,)nknkjjkVsuvsu或者写成： , 111(,(,)knnkkknsVsus 指标函数的最优值，称为最优值函数，记为 ，它表示从第 阶段的状态 开始到第)f
44、 ks阶段的终止状态的方程，采用最优策略所得到的指标函数值。即n, 1,()(,)knkknufsoptVs 2、 阶段的决策过程 1 1 1121(,)(,)(,)k nkknkknxxxssssssvvv 决 策状 态 效 益3、逆推解法：设已知初始状态为 ，并假设最优值函数 表示第 阶段的初始状态为 ，从 阶段1s()kfsks到 阶段所得到的最大效益。n从 阶段开始，则有 ，其中 是由状态 所确定的第()()max,)nnnDsfv()nDsn阶段的允许决策集合。解此一维极值问题，就得到最优解 和最优值 ，x()nfs要注意的是，若 只有一个决策，则 就应写成 。()ns()nnxs(
45、)ns在第 阶段，有 ，其中11111()a,nxDsfvf；解此一维极值问题，得到最优解 和最优值 。(,)nnsTx 1()nnxs1()nfs在第 阶段，有 ，其中 ；解此一维k 1()()max,)()kkkkDsfvfs1(,)kkTx极值问题，得到最优解 和最优值 。k如此类推，直到第一阶段，有 ，其中 ；得112()(a,()xDsfvxfs21(,)sx到最优解 和最优值 。1()xs1)由于初始状态 是已知，故 和最优值 是确定的，从而 也就1s1()xs1()fs21(,)sTx可确定，于是 和最优值 也就可确定。这样，按照上述递推过程相反的顺2()x2f序推算下去，就可逐
46、步确定出每阶段的决策及效益。4、顺推解法设已知终止状态为 ，并假设最优值函数 表示第 阶段末的结束状态为 ，从 阶1ns()kfss1段到 阶段所得到的最大效益。k从 阶段开始，则有 ，其中 ；解此一维极值问题，11121()(max,)Dsfv121(,)Tsx就得到最优解 和最优值 ，要注意的是，若 只有一个决策，则)xs2f D就应写成 。1()xDs12(在第 阶段，有 ，其中 ；解此一维极值232212()ax,)(Dsfvfs232(,)sTx问题，得到最优解 和最优值 。3如此类推，直到第 阶段，有 ，其中n1 1()()max,)()nnnnDsfsvfs；得到最优解 和最优值 。1(,)nnsTxx由于终止状态 是已知，故 和最优值
