1、第二章 曲线论,微分几何,第二章 曲线论,曲线的概念,平面曲线,空间曲线,本章我们讨论曲线的概念、平面曲线和空间曲线的微分几何性质内容包括曲线的伏雷内标架、曲率、挠率、伏雷内公式、近似结构、基本定理等 重点：伏雷内标架、曲率、挠率的计算、伏雷内公式的应用 如无特别说明，我们都是在曲线的正则点附近进行讨论,返回章首,2.1 曲线的概念,一元向量函数 r(t) 所描绘的图形 C 叫曲线，r(t)叫曲线 C 的参数化，或者叫曲线的向量函数，t 叫曲线的参数曲线 C 连同它的参数化 r(t) 一起叫参数曲线 参数曲线用 C : r = r(t) 表示如果对某个 t0 使得 r(t0) 0，就称 r(t
2、0)（或者简称 t0）是曲线的正则点如果曲线上处处是正则点，就称该曲线是正则曲线，相应的参数叫正则参数 今后为了简便，我们把“参数曲线”简称为“曲线”；把 R2 中的曲线叫平面曲线，把 R3 中的曲线叫空间曲线,返回章首,圆弧. 曲线 C: r = (cost, sint), t(0, 2p) 是正则曲线，它是一条半径为 1 的 圆弧（如图）,返回章首,t,O,cost,sint,2.1 曲线的概念 -曲线的例子圆弧,( cost, sint ),2.1 曲线的概念 -曲线的例子抛物线,抛物线. 曲线 C: r = (x, x2), x(, +) 也是一条正则曲线，它是抛物线,返回章首,圆柱螺
3、线. 曲线 C: r = (a cost, a sint, bt), t (,+) 也是一条正则曲线，它是缠绕在半径为 a 的圆柱面 x2 + y2 = a2 上的一条圆柱螺旋线,返回章首,2.1 曲线的概念 -曲线的例子圆柱螺线,2.1 曲线与曲面的概念-曲线的切线和法平面,返回章首,P,O,C,r(t0),r,设有曲线 C: r = (x(t), y(t), z(t),一点 P，对应的参数设为 t0,以 r(t0) 作为方向向量的直线叫做曲线 C 在 P,曲面在 P 点的法平面,在曲线上固定,把过 P 点，且,过 P 点且垂直于切向量的平面叫做,点的切线；,切线,法平面,2.1 曲线与曲面
4、的概念-曲线的切线和法平面方程,该曲线在该点的法平面方程为,曲线 C: r(t) = (x(t), y(t), z(t) 在点 r(t0) = (x(t0), y(t0), z(t0) 处的切线方程为,返回章首,2.1 曲线与曲面的概念-切线和法平面举例,法平面方程为,解：圆柱螺线为 C: r = (acost, asint, bt), 切向量是 r = ( asint, acost, b). 所以切线方程为,例. 求圆柱螺线的切线与法平面方程,返回章首,2.1 曲线与曲面的概念-曲线的弧长,例. 求星形线（如图） C: r(t) = (acos3t, asin3t),0 t 2p 的弧长,设
5、有一段正则曲线 r(t) = (x(t), y(t), z(t)，a t b则该曲线的弧长为,返回章首,2.1 曲线与曲面的概念-曲线的弧长,解：由于星形线关于原点对称，所以只需计算曲线在第一象限部分的弧长当 0 t p/2 时有 |r(t)| = 3asintcost 所以第一象限部分的弧长为,因此，星形线的弧长为 6a,返回章首,练习题 1求旋轮线 x = a(t sint), y = a(1 cost) 在0 t 2p 一段的弧长 2求圆柱螺线 x = 3acost, y = 3asint, z = 4at 从点 (3a,0,0) 到任一点的弧长 3将圆柱螺线 r(t) = (acost
6、, asint, bt) 化成自然参数形式 4求封闭曲线 r(t) = (cos3t, sin3t, cos2t) 的全长,返回章首,2.2 平面曲线,内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏雷内公式等 重点：曲率与相对曲率的计算,返回章首,2.2 平面曲线-伏雷内标架,设平面曲线 C: r = r(s) 以弧长为参数，则其切向量 a (s) = r (s) 是一个单位向量， 即 a (s) a (s) = 1 两边求导数得 a (s) a (s) = 0，所以 a (s) 垂直于 a (s)，这说明 a (s) 是曲线的法向量 令 b = a / | a |，则对于每一个 s，r(s) ; a
7、(s), b (s) 构成平面曲线 C 上的一个幺正标架，我们称之为曲线 C 上的伏雷内标架,返回章首,由导数的定义我们可知 b 总是指向曲线弯曲的那一侧,C,a(s),a(s+Ds),a(s+Ds),2.2 平面曲线- b 的指向,返回章首,2.2 平面曲线-伏雷内公式,由 b 的定义有 a (s) = |a (s)| b (s) 令 k(s) = |a (s)|，则有 a (s) = k (s)b (s). 我们把 k (s) 叫曲线 C 在 r(s) 处的曲率 定理. （伏雷内公式）我们有a = kb ,b = ka .,以上伏雷内公式叫平面曲线的基本公式,返回章首,2.2 平面曲线-曲
8、率计算公式,平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率为零,如果曲线方程为 y = y(x)，取 x 为参数，则曲线的参数表示为 r = (x, y(x)，其曲率为,定理. 设曲线 C: r(t) = (x(t), y(t)，则其曲率为,返回章首,2.2 平面曲线-例子,例. 求椭圆 (x2/a2) + (y2/b2) = 1 的曲率,解：椭圆可参数化为 r(t) = (a cost, b sint)，参数方程为 x = acost, y = bsint，所以有 x = asint, x = acost, y = bcost, y = bsint. 代入曲率公式得,返回章首,练习题 1求曲线 y =
9、 sinx 的曲率 2求曲线 x = acos3t, y = asin3t 的曲率,返回章首,2.2平面曲线-在一点附近的结构,设曲线 C: r = r(s)则 当 k (s) 不为 0 时，曲线近似于抛物线 当 k (s) = 0，但 k (s) 不为 0 时，曲线近似于一条近似立方抛物线（看证明）,返回章首,2.3 E3的曲线,内容：三个基本向量、伏雷内标架、伏雷内公式、曲率、挠率、密切平面、从切平面、一般螺旋线等 重点：曲率与挠率的计算、密切平面与从切平面方程、伏雷内公式的应用,返回章首,2.3 空间曲线-密切平面,过曲线 C 上一点 P 处的切线和曲线上位于 P 点附近的另一点 Q 作
10、一平面 s (Q)当 Q 沿曲线趋向于 P 时 s (Q) 的极限位置 s 称为曲线 C 在 P 点的密切平面 过曲线上一点可以作无数切平面（通过切线的平面），而密切平面则是在 P 点附近最贴近于曲线的平面 平面曲线的密切平面显然就是该曲线所在的平面，而直线的密切平面不确定，或者说直线有无穷多个密切平面,返回章首,2.3 空间曲线-密切平面方程,用坐标把密切平面方程表示为：,(R r(t0), r(t0), r(t0) = 0.,设曲线 C: r = (x(t), y(t), z(t) 是光滑的，P 是曲线上一点，其参数是 t0设 R = (X, Y, Z) 是 P 点的密切平面上任意一点，则
11、密切平面方程为：,返回章首,例. 求螺旋线 r = (cost, sint, t) 在点 P(1,0,0) 处的密切平面方程,解：直接计算得 r (t) = ( sint, cost, 1), r (t) = ( cost, sint, 0).在给定点 P 处的参数 t = 0，所以有 r(0) = (1,0,0)， r (0) = (0,1,1)， r (0) = ( 1,0,0)代入密切平面方程并整理得 Y + Z = 0,2.3 空间曲线-例子,返回章首,2.3 空间曲线-基本向量与伏雷内标架,设有空间曲线 C: r = r(s)，s 是弧长参数 单位切向量 a = r 单位主法向量 b
12、 = a / |a |（设 r 不为零） 单位副法向量 g = ab 曲线 C 的伏雷内标架 r ; a , b , g ,C,a,b,g,r,O,返回章首,伏雷内标架,法,密切,从切,C,P,b,a,g,主法向量和副法向量决定的平面是法平面,切向量和副法向量决定的平面叫从切平面,切向量和主法向量决定的平面就是密切平面,2.3 空间曲线-三棱锥,返回章首,2.3 空间曲线-基本向量的计算公式,设 C: r = r(t) 由一般参数给出，则三个基本向量的计算公式为a = r / | r | ,g = (r r ) / | r r | ,b = g a .,返回章首,2.3 空间曲线-例子,例.
13、求螺旋线 r = (cost, sint, t) 在点 P(1,0,0) 处的三个基本向量,解：直接计算得 r (t) = ( sint, cost, 1), r (t) = ( cost, sint, 0). 在给定点 P 处的参数 t = 0，所以有 r (0) = (0,1,1)，r (0) = ( 1,0,0) 代入上面的基本向量计算公式得,返回章首,练习题 1求曲线 x = acost, y = bsint, z = et 在 t = 0 点的切线、主法线、副法线、密切平面、从切平面与法平面方程 2证明曲线的密切平面与曲线的参数选取无关,返回章首,2.3 空间曲线-曲率与挠率,设 C
14、: r = r(s) 是空间曲线，称 k (s) = |a (s)|为曲线 C 在点 r(s) 处的曲率，而 a 叫曲率向量,空间曲线除了弯曲外，还有扭转为了刻画扭转的程度，我们引进挠率的概念,我们把 t 叫曲线的挠率，这里,返回章首,2.3 空间曲线-伏雷内公式,定理.（伏雷内公式）a = kb,b = ka + tg,g = tb.,返回章首,2.3空间曲线-曲率与挠率计算公式,挠率：,曲率：,用一般参数表示的曲率与挠率计算公式,返回章首,2.3 空间曲线-曲率与挠率为零的曲线,曲线的曲率为零的充要条件是该曲线是直线曲线的挠率为零的充要条件是该曲线为平面曲线,返回章首,2.3 空间曲线-曲
15、率和挠率计算举例,解：直接计算得：r = ( asinq, acosq, b), r = ( acosq, asinq, 0),r = (asinq, acosq, 0),|r| = (a2 + b2),r r = (absinq, abcosq, a2),|r r | = (a2b2 + a4)1/2, (r, r, r ) = a2b,所以有 k = a/(a2 + b2), t = b/(a2 + b2).,例：求圆柱螺旋线 r = (acosq, asinq, bq) 的曲率和挠率,返回章首,练习题 1求曲线 r(t) = (acosht, asinht, at) 的曲率和挠率，这里
16、a 0 2求曲线 r(t) = (a(3t t3), 3at2, a(3t + t3) 的曲率和挠率，这里 a 0 3求 a、b，使曲线 r(t) = (acosht, asinht, bt) 上每一点的曲率和挠率相等,返回章首,2.3 空间曲线-一般螺旋线,定理. 设有曲线 C: r = r(s)，（假定 kt 0 ）则下列条件等价：C 是一般螺线；C 的主法向量与固定方向垂直；C 的副法向量与固定方向成定角；C 的曲率与挠率之比是常数,如果曲线的切向量与固定方向成定角，则称该曲线为一般螺线,看证明,返回章首,证：由伏雷内公式得r = a = kb，r = (kb ) = k 2 a + k
17、 b + k t g ,r = 3k k a + ( k k 3 k t 2 )b + (k t ) + t k )g . 所以， (r , r , r ) = k 5 (t / k ) , 由此即得结论,例. 曲线 r = r(s) 是一般螺线的充分必要条件是 ( r , r , r ) = 0,2.3空间曲线-例子,返回章首,2.3 空间曲线-曲线在一点附近的结构,空间曲线在一点附近的形状（设 kt 0 ）： 在法平面上的投影为半立方抛物线； 在从切平面上的投影为立方抛物线； 在密切平面上的投影为抛物线； 从不穿过从切平面； b 总是指向凹入的方向,a,b,g,返回章首,a,b,g,g,a
18、,b,a,g,b,法平面,从切平面,密切平面,2.3 空间曲线-曲线在一点附近的结构,练习题 1求曲线 x = et cost, y = et sint, z = et 在 t = 0 处的切线方程 2求曲线 x = t, y = t2, z = t3 经过已知点 M0(2, 1/3, 6) 的密切平面方程.,返回章首,2.4 空间曲线-基本定理,性质4.1. 曲线的弧长、曲率和挠率在刚体运动下不变,返回章首,2.4 空间曲线-基本定理（唯一性）,定理. （唯一性）设 C: r = r(s) 与 C0: r0 = r0(s) 是两条正则的空间曲线（ s 属于区间 I 是曲线 C 的弧长参数）如
19、果对区间 I 中的每个 s，有 k (s) = k0(s)，t (s) = t0(s)，那么，存在一个等距变换 T : R3R3，使 r0 = T r，并且 T 所对应的正交矩阵 T 的行列式为 +1，也就是说这样的两条曲线可以经过一个运动使它们重合,返回章首,2.4 空间曲线-基本定理（存在性）,曲线的存在性定理和唯一性定理叫曲线的基本定理,定理. （存在性）设 k (s), t (s) 是一组定义在 0R 的一个邻域上的可微函数， 并且 k (s) 0，则存在一个包含 0 的邻域 I 和一条以弧长为参数的曲线 C: r = r(s)，sI，使得其曲率函数就是 k (s)，挠率函数就是 t
20、(s),看证明,返回章首,第二章补充练习题 1求曲线 r = aj 的曲率 2求曲线 r = a(1 + cosj) 的曲率 3求平面曲线 r(t) = (acost, asint) 在任意点的 曲率 4求使曲线 y = ex 曲率取得极值的点 5求曲线的曲率，曲线方程为 F(x,y) = 0 6设曲线由常微分方程 P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0给出，求曲线的曲率 ,返回章首,7求曲线 x = a(t sint), y = a(1 cost), z = 4asin(t/2) 在点 t = p/2 的切线与 z -轴的夹角 8设有曲线 C: x = sect, y = tant, z = at，求当 t = p/4 时的切线方程 9设有曲线 C: x = et, y = e-t, z = t2，求当 t = 1 时的切线方程 10曲线 x = 3t t3, y = 3t2, z = 3t + t3 上哪些点的切线与平面 3x + y + z + 2 = 0 平行? ,返回章首,
