1、 西安建筑科技大学 理学院 力学系 理论力学题解 1 12.1 如图所示 。 空心半圆球的质量为 m ，外半径为 R ，内半径为 r 。试求其对于 空心半圆球 圆 形 底面任一直径的转动惯量。 解： 转动惯量计算 （由对称性，将转动惯量轴取为 x 轴） ： 球坐标里说明 （积分上下限确定） ： 对于给定的 ， 由 0 / 2 画出半圆，该半圆由 取 0 2 便得到半径为 的半圆球 。将 取 r R 便得到 内半径为 r，外 半径为 R 的 空心 半圆球 。 2224 2 2 2200552222 2 2 2 2 2 22200d sin d d dddsin c o ssi: 0 2:02(n
2、 sin ;c o sdd( sinsin sin c o s ) sin d d dsin c o s )( sin sin c5xvvRxrxyzJ m vyvmvrRJRrz 2552205522055333553o s ) sin d d( sin 2 c o s ) sin d5( 1 c o s ) sin d5452()3325xRrRRrrRJMM V RrRrr y z x O x y z 西安建筑科技大学 理学院 力学系 理论力学题解 2 12.2 如图所示 均质薄壁容器的质量为 m 。 薄壁容器由 半径为 r 半球壳，半径为 r 、 高为 h 的圆柱形筒壳 ， 半径为 r
3、 的圆形底板组 合 成。试求该容器对 z 轴的转动惯量。 解： 薄壁容器表面积计算 ： 半球壳： 21 2Sr 圆柱形筒壳： 2 2S rh 圆形底板： 23Sr 薄壁容器： 232S r r h 单位表面积质量 ：如图所示。 ( 3 2 )mmS r r h 转动惯量计算 ： 1 2 32221322 2 244222311 11 2 ( 2 )2 3 2423 ( 3 2 ) ( 3 2 ) 2 ( 3 2 )4 2 13 ( 3 2 ) ( 3 2 ) 2 ( 3 226 ( 3 2 )z z zzzJ J J Jm r m rmrr r m r h m r r mrr r h r r
4、h r r hr m r h m rrhJmmr r h r r hhhrrrr h z x y O r 西安建筑科技大学 理学院 力学系 理论力学题解 3 12.3 如图所示。 计算下列情况下系统对固定轴 O 的动量矩。 （ a）质量为 m ，半径为 R 的均质圆盘以匀角速度 0 作定轴转动运动 ； （ b）质量为 m ，长为 l 的均质杆在某瞬时以角速度 绕 固定 轴 O 作定轴转动运动 。 解 （ a） 定轴转动运动 动量矩计算： 202022OOOOmRmRLJLJ（ b） 定轴转动运动 动量矩计算： 02233OOOOmlJmJlLL0 O R ( a ) l O A ( b ) 西
5、安建筑科技大学 理学院 力学系 理论力学题解 4 12.4 如图所示 。 均质圆盘半径为 R 、 质量为 m ， 无重 细长 OA杆 的杆长 为 l ，绕 O 轴 作定轴转动运动 ， 转动 角速度为 。求下列三种情况下圆盘对固定轴 O 的动量矩。 （ a）圆盘固结于 OA杆 ， OA杆 连同圆盘 绕 O 轴 以 角速度 作定轴转动运动 ； （ b）圆盘 绕 A 轴 作定轴转动运动的 ，相对于杆 OA的角速度为 ； （ c）圆盘绕 A 轴 作定轴转动运动的 ，相对于杆 OA的角速度为 。 解： 运动学分析： 如图所示。 （ a） OA 杆连同圆盘绕 O 点作定轴转动运动。 2222)22(OOR
6、mRJmmlLl（ b） 圆盘刚体平面运动。 其速度分析不适用基点法 （动系作定轴转动运动，而非刚体平动运动） 。因此采用点的合成运动分析圆盘上 动 点的速度。 为简化圆盘平面运动分析，动点取为圆盘 （或其延伸部分） 上 OA 线上任意给定 B 点： 2( ) ; ( )( ) (;0)Aa e r AO O AerAaL M m v l m v mOA OB AB l v OA lv v v OB AB lvOvB v ABl （ c） 圆盘刚体平面运动。其速度分析不适用基点法 （动系作定轴转动运动，而非刚体平动运动） 。因此采用点的合成运动分析圆盘上 动 点的速度。为简化圆盘平面运动分析，
7、动点取为圆盘 （或其延伸部分） 上 OA 线上 l / 2 处 给定 B 点： ( ) ; (2;)20AaerervOO A O B A B l vBvO A lAvvBv B 点为平面运动圆盘的速度瞬心。 22 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( 22) ( )2 2 2 2OABaAal m R l lL J m m m m R l O A R vA B ve vr O A R vA B ve vr O A R 西安建筑科技大学 理学院 力学系 理论力学题解 5 12.5 如图所示。 小球重 G ，系于绳子一端。绳子的另一端穿过光滑水平面上的一个小孔，并以匀速 u 向下拉动。开始
8、时 小球与孔的距离为 r ， 且 与绳垂直速度分量为 0v ， 试求 经过一段 时间 后的小球速度 ?v 解 ： 运动学分析： 如图所示。 小球 在 光滑 水平 面内 受绳子拉力、小球重力、水平面支撑力。绳子拉力、小球重力、水平面支撑力对过 O 点铅垂轴的力矩为零 。即 小球在 光滑水平面内 关于过 O 点铅垂轴的 动量 矩 守恒。 设切线方向为 ；发现方向为 。 220000220|()()()|O t O tr r ur m v r m vr v r vvLLvrvvur r urvuvuuv u v0 v r r u O 西安建筑科技大学 理学院 力学系 理论力学题解 6 12.6 如图
9、所示 ， 质量为 m 的质点 M 在有心力 F 作用下 作 椭圆 曲线 运动 。已知 ： 1OA r 、 2OB r 、 215rr ， 质点 M 在 距椭圆心 最近点 A 处 的速度为 1v 30cm/s 。试求 质点 M 在 距椭圆心 最 远点 处 的速度 2 ?v 解 ： 运动学分析： 如图所示。 质点 M 仅受有心力 F 作用，有心力 对过 O 点 垂直于椭圆曲线所在平面 轴的力矩为零。即 质点 M 关于过 O 点垂直于椭圆曲线所在平面轴 的动量矩守恒。 121112211 1 2 22 30 c m / s5 130( ) (|56)/|c m s|vrrO A O Brvvrrvr
10、 m v r m vLLrF v1 v2 O A B M r1 r2 西安建筑科技大学 理学院 力学系 理论力学题解 7 12.7 如图所示 。 滑轮重 1G 、半径为 R ，对转轴 O 的回转半径为 ；绳索 （忽略绳的质量） 一端 系在滑轮上，另一端系一重为 2G 的物 块 A ；滑轮上作用 不变转矩 M 。试求 重物 A 上升的加速度和绳 索 的拉力。 解 一 ： 受力分析；运动学分析 ：如图所示。 系统动力学分析 （ 质点系动量矩定理 ） ： 22 2 2 21 2 1 2221222122212221222()()d()dd()dd()dOOzzzzzzG G R G G RJg g
11、gG G RLgGGM G R gG G RMGtLMtLMRM G RRRggaG G Rt LMFFF物块 A 动力学分析 （牛顿第二定律） ： 22 221222() 1 TTyyGF G agM G R RFGG G Rm F m a FaM A O a A a FT B a a x y Fy Fx mg mg 西安建筑科技大学 理学院 力学系 理论力学题解 8 解二： 受力分析；运动学分析：如图所示。 滑轮 动力学分析 （刚体定轴转动微分方程） ： 2211()()()TOTOaRGM F RgM F R R gMaaJG F物块 A 动力学分析 （牛顿第二定律） ： 222( 1
12、) ( )yTyTGaFGm F mbFaggaG Fa联立求解 ： 2122221222 2212()()1()1)TTTM G R R gaG G RMGM F R R gaGRRFGGFRGGag M A O A a FT B a a x y Fy Fx mg FT 西安建筑科技大学 理学院 力学系 理论力学题解 9 12.8 如图所示 均质圆轮重 G 、半径为 r ，对 水平 转轴 O 的回转半径为 ，以角速度 0 绕水平轴 O 作定轴转动运动的 。 若在 AB 闸杆 上施加制动力 F ， 使得圆轮 在 t 秒 内停止 运动 ， 试求 所 需 施加制动力 ?F （ 设动摩擦因数 f d
13、是常数 ；轴承摩擦略去不计。 ） 解 ： 受力分析；运动学分析：如图所示。 圆轮 ： 定轴转动运动； AB ： 平衡。 运动学分析： 00000ddddtttttt圆轮 动力学分析 ：定轴转动运 动微分方程、动摩擦定律： 22200|()d d Nd F f F d NOOddNNdNdGF r f F rgGGJMf F rgFFgF f Ftf r t Fb l F r O A B b l F r O A B 0 FN O FN O Fd O Fd O 西安建筑科技大学 理学院 力学系 理论力学题解 10 12.9 如图所示。 两个重物 1M 、 2M 各重 1G 、 2G ，分别系在两条
14、绳上，两绳又分别围绕在半径为 1r 、 2r 并装在同一轴的两鼓轮上。 重物受重力的作用而运动。求鼓轮的角加速度 。 （鼓轮和绳子的质量略去不计。） 解 ： 运动学分析 ； 受力分析 ：如图所示。 鼓轮定轴转动运动； M 1 、 M 2重物直线运动。 动力学分析 ： 1122121 1 2 21 1 2 21 1 2 2221 1 1 2 2 2 1 1 21 1 2 21 2 1 1 1 2 2 21 1 221 1 2 2 1 121 1 2 2;dd()( ) ( ) () ( )(ddarOarOOG G G r v G r vr v r vggGGvvggrrGGG r a G r
15、agtG r G rt g grG p j p js i s iG j G jLkkL s p s pispjisjpiLspjksp2 2 1 1222 2 2 2 1 1221 1 2 22211 1 221) ( ) ( )()r G r GgGrr G r G r GG r G rr G rgGGr i j kkkG 1 O O O M 1 O M 2 O r1 O r2 O v1 O v2 O G 2 O x y 西安建筑科技大学 理学院 力学系 理论力学题解 11 12.10 如图所示 。 均质细杆 AB 长 为 l ，重为 1G ， B 端刚 性 连 接一个 重为2G 的小球 （
16、小球可看作质点） ，在 O 点连 接 一 个 弹簧常数为 k 的弹簧，使杆在水平位置保持平衡。 若给小球 微小 的 初位移 0 和初始速度 0 0 ，试求 AB 杆的运动规律。 解 ： 运动学分析；受力分析：如图所示。 动力学分析 （ AB 定轴转动运动 ） ： 21022 1 0210222 2 21212222122122 2221263()3 2 3( 3 )( 6 3 2 ) 06632d33()2 3 93d( ) ; ( )dd( 3 )3 (9 d )d;30kA A AAKAAG l G l lJ G Gg g gG l F l lM G ll G G llG G kGGkKt
17、F k kJ M J MkgkKGGtllGkgtAG FFF2000010:c o s ( ) c o s d;0dc o s ( ) sin(3(3)0)AlgkKtK t B K tttGBlltlG k 3 l l G1 O G2 O A O Fk x y 西安建筑科技大学 理学院 力学系 理论力学题解 12 12.11 如图所示 卷扬机。轮 B 、 C 半径分别为 R 、 r ，轮 B 、 C 对 各自转轴 的转动惯量为 1J 、 2J ； 重物 A 重为 G 。设在 C 轴上作用 不变力矩 M ，试求重物 A 上升的加速度。 解 一 ： 运动学分析；受力分析：如图所示。 动力学分析
18、 ： A + B 定轴转动运动 （ B 处约束反力未画出） ： 2121()()()BBBBBJ g G R aF G aRgGRJ F R GJRgRRMa FC 定轴转动运动 （ C 处约束反力未画出） ： 2222)()(C C CCCJ M F rM r J aJFbarrrM F联立求解（ a）、（ b） ： 21222 2 222212()J g G R aFGR g RM r J aFrrM G r R r gaJ r g G R r J R g R r M C B A F F B C a G 西安建筑科技大学 理学院 力学系 理论力学题解 13 解 二： 运动学分析；受力分析：
19、如图所示。 动力学分析 ： A 直线 运动 ： 11 ) ( );(1GF G agaFm F m aGagFaB 定轴转动运动 （ B 处约束反力未画出） ： 11 2 121 2()()B B BBBJFJMR F RJaFFRaRb FC 定轴转动运动 （ C 处约束反力未画出） ： 22 2222()CCCCCJMMrFrJaFrrJacMr F联立求解（ a）、（ b）、（ c） ： 22 2 2 2121121 222 22( 1 )aFGgJaFFRM r J aM G r R r gaJ r g G RFr J Rrgr R r M C B A FT FT B C a G FT
20、 FT 西安建筑科技大学 理学院 力学系 理论力学题解 14 12.12 如图所示 。 质圆柱重 1.96kNG ，半径为 30cmR 。在垂直中心面上，沿圆周方向挖有狭槽， 狭槽 半径为 15cmr 。今在狭槽内绕以绳索，并在绳端施以 向右 水平力 100NF ，使圆柱在水平面上纯滚动。如圆柱对其中心 的转动惯量可近似地按实心圆柱体计算，并忽略滚动摩擦 。 试求圆柱自静止开始运动 4st ，圆 柱中 心的加速度和速度。 解 ： 运动学分析；受力分析：如图所示。 动力学分析 ： O 圆 柱 ： 平面 运动。 23240022 ( ) 2 ( ) 2 100 0.45 9.80.5 m / s3
21、 3 3 1.90;26dd03d210 0.CxCyssvC x xC y yCCs d NsNss d NaaaaRmm a Fm a FJMF f Fm a FF R r F R r gam R Ga F Fm R aF R F rRvFFGm R aF R F rRFfaRFtv 40()d| 2 m / svtaatx y a R r F G O FN Fs 西安建筑科技大学 理学院 力学系 理论力学题解 15 12.13 如图所示。 小车上放置 半径为 r ，质量为 M 的钢管 （钢管的厚度可以略去不计） ，钢管与小车平面之间有足够的摩擦力，防止钢管 与 小车之间发生 相对滑动。
22、当 小车以加速度 a 向右运动 时 （不计滚动摩擦） 。试求 钢管中心的加速度 ?Ca 解 ： 运动学分析； 如图所示。 动系：小车；动点：钢管中心 C 。 0 0 0C a x C e x C r x C a C e C rC a y C eCeC r CC a C e C rCCayCCyCra a a a a aa a araaaaraaa a a a受力分析：如图所示。 动力学分析 （ 平面运动微分方程 ） ： C 钢管 ： 平面 运动。 20()2Cs CsCxyC C CsCCCsM a F M a FM r a aaaM a FFJFrFMM r r x Mg FN aC C a
23、 r Fs C ae ar y 西安建筑科技大学 理学院 力学系 理论力学题解 16 12.14 如图所示 。 重为 G 的 矩形薄片 ABCD ， 其 两个 边长 分别 为 a 、 b ，且 矩形薄片以初速度 0 绕铅垂轴 AB 作定轴转动运动的 。 矩形薄片 每一 点上 均受到空气阻力，其方向垂直于薄片平面， 空气阻力 大小与面积 和 角速度平方 的乘积 正比 （比例常数为 k） 。 试求 经过多少时间后，薄片角速度减为初角速度的二分之一。 解 ： 运动学分析； 受力分析：如图所示。 动力学分析 （ 定轴转动微分方程 ） ： ABCD 薄板 ： 定轴转动 运动。 0000222222002
24、220:221()3( ) 12d2dd23( ) ( )3232d3AABB A BttttG a a G aJggG a ak a bgF k a bJMGtt k bGtkbbggkGg a b A B C C F x y z 西安建筑科技大学 理学院 力学系 理论力学题解 17 12.15 如图所示 。 鼓轮的质量 1 100kgm ，半径 0.2mr / 0.5mR ， 鼓轮 在水平面上作纯滚动，鼓轮对中心 C 的回转半径 0.25m ，弹簧的刚度系数60N/mk ，开始时弹簧为自然长度，弹簧 、 EH 段绳与水平面平行 （ 定滑轮 H的质量不计 ） 。若在轮上加 力偶矩 为 20
25、N mM 的常力偶，当质量 2 20kgm 的物 块 D 无初速下降 0.4mS 时，试求鼓轮的角速度 ?C 解 ： 运动学分析；受力分析：如图所示。 动力学分析 （ 平面运动 微分 方程 ） ： 鼓轮 ： 平面 运动。 弹簧 （ D 向下降 S） ： ()kkkSrrrSF k k aRR 物块 D ： 22 ()Tm a m g F b 鼓轮 将（ a）、（ b）结果带入 ： 1022CEyCCxCCm a FFJMaa a a R R oRRr k E Fk y r R C D H M m1g m2g FN Fs Fk FT FT FT FT a x P 西安建筑科技大学 理学院 力学系
26、 理论力学题解 18 2221 2 1 212122121222112221()2 4 2()()( ) ( ) 22( 4 ) 2 4 2 (22()s T kT k sssk r Sm g aRk r Sm g aRa k r S a k r SmMm R F F Fm M F R F r F RmFm g a R r m m g am M R r F RRRR R Rm m R m R aM m g R k rR M m g R k r S RaaRS R rmra 2 2 22122 2 2002242 0.5 20 4 20 9.8 0.5 2 60 0.2 0.7100 0.25 4 20 0.5 100 0.5216 16.851.25216 16.8251.25d 216 16.8d 51.25d d 216 16.8d d 51.25216 16.8dd51.25216 8.42 51.2|5vSm R m RSSSRvStv S SStSv v Sv S Sv 20.4 m432 0.4 16.8 0.41.822 8 m / s51.25S C 鼓轮 角 速度 计算 （ 速度瞬心 P：如图所示 。 ） ： 0 . 4 m0 . 4 m | 1 . 8 2 2 8| 1 . 8 2 2 8 ra d / s2 2 0 . 5SCS v R
