1、108动量矩定理12-1 质量为 m 的点在平面 Oxy 内运动，其运动方程为： tbyax2sinco式中 a、b 和 为常量。求质点对原点 O 的动量矩。解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度 tbtyvax2cosdi质点对点 O 的动量矩为 tatmttamxvMLyx cos2sin)i(0 yxb3co212-3 如图所示，质量为 m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为 A，质心为C，AC = e；轮子半径为 R，对轴心 A 的转动惯量为 JA；C 、 A、 B 三点在同一铅直线上。（1）当轮子只滚不滑时，若 vA 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。 （2）当
2、轮子又滚又滑时，若 vA 、 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。解：（1）当轮子只滚不滑时 B 点为速度瞬心。轮子角速度 质心 C 的速度 )(eRvCvA轮子的动量 （方向水平向右）mep对 B 点动量矩 BJL由于 222 )( )( eRJAC 故 vemeLAB2（2）当轮子又滚又滑时由基点法求得 C 点速度。 evAA轮子动量 （方向向右）)(vpAC对 B 点动量矩 ) ( )( )(2emRJeRmv mJLAA A 12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为 50 mm，无初速地沿倾角 的轨道滚下，20设只滚不滑，5 秒内轮心滚动的距离为 s = 3 m。试求轮子对
3、轮心的惯性半径。解：取轮子为研究对象，轮子受力如图（a）所示，根据刚体平面运动微分方程有（1）FgCsinJC = Fr （2）因轮子只滚不滑，所以有 aC = r （3）109将式（3）代入式（1） 、 （2）消去 F 得到 gmrJC2sin上式对时间两次积分，并注意到 t = 0 时 ，则0 ,)(2si)(sin)(sin222 rgtmrgrJmgtC把 r = 0.025 m 及 t = 5 s 时， 代入上式得 3m 90 .130sin58.90.1isi 2222 t12-17 图示均质杆 AB 长为 l，放在铅直平面内，杆的一端 A 靠在光滑铅直墙上，另一端B 放在光滑的水
4、平地板上，并与水平面成 角。此后，令杆由静止状态倒下。求（1）杆0在任意位置时的角加速度和角速度；（2）当杆脱离墙时，此杆与水平面所夹的角。解：（1）取均质杆为研究对象，受力分析及建立坐标系 Oxy 如图（a） ，杆 AB 作平面运动，质心在 C 点。刚体平面运动微分方程为 )3( sin2cos22 )1( NNlFlJmgyxABCA由于 ,yxC将其对间 t 求两次导数，且注意到 ，得到,)5( )sinco(24 si2lyC将式（4） 、 （5）代入式（1） 、 （2）中，得 mgmlFBA)sinco(i2N再将 FNA， FNB 的表达式代入式（ 3）中，得 sin)cosi(4
5、s)incos(4 2222 lglmlJC即 gl把 代入上式得12lJCcos23l而 td分离变量并积分得 dcs2d00lg110)sin(i30lg（2）当杆脱离墙时 FNA = 0，设此时 1则 )cosi(21NmA将 和 表达式代入上式解得 01sin3i)sin3arc(0112-19 均质实心圆柱体 A 和薄铁环 B 的质量均为 m，半径都等于 r，两者用杆 AB 铰接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为 ，如图所示如杆的质量忽略不计，求杆 AB的加速度和杆的内力。解：分别取圆柱 A 和薄铁环 B 为研究对象，其受力分析如图（a） 、 （b）所示，A 和 B 均作平面
6、运动，杆 AB 作平动，由题意知。T,FA对圆柱 A 有 )2( 1sin11TJrFmga对薄铁环 B 有 )4( 3i22F联立求解式（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4） ，并将 ，以及根据只T22,FmrJrBA滚不滑条件得到的 a = r 代入，解得 （压力）及 sin71Tgsin74ga12-21 图示均质圆柱体的质量为 m，半径为 r，放在倾角为 的斜面上。一细绳缠绕在60圆柱体上，其一端固定于点 A，此绳与 A 相连部分与斜面平行。若圆柱体与斜面间的摩擦系数为 ，试求其中心沿斜面落下的加速度 aC。31f解：取均质圆柱为研究对象，其受力如图（a）所示，圆柱作平面运动，则其
7、平面运动微分方程为 )3( 60sin2 co01 )(TNTFmgaFrJC而 F = fFN （4）圆柱沿斜面向下滑动，可看作沿 AD 绳向下滚动，且只滚不滑，所以有 aC= r把上式及 代入式（3） 、 （4）解方程（1）至（4） ，得1faC = 0.355g （方向沿斜面向下）111习题 98 图AAvarCTFgm(a)12-23 均质圆柱体 A 和 B 的质量均为 m，半径为 r，一绳缠在绕固定轴 O 转动的圆柱 A 上，绳的另一端绕在圆柱 B 上，如图所示。摩擦不计。求：（1）圆柱体 B 下落时质心的加速度；（2）若在圆柱体 A 上作用一逆时针转向，矩为 M 的力偶，试问在什么
8、条件下圆柱体B 的质心加速度将向上。解：（1）分别取轮 A 和 B 研究，其受力如图（a） 、 （b）所示，轮 A 定轴转动，轮 B 作平面运动。对轮 A 运用刚体绕定轴转动微分方程（1）rFJT对轮 B 运用刚体平面运动微分方程有(2)Bmag（3）T再以 C 为基点分析 B 点加速度，有（4）raBACB联立求解式（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4） ，并将及 代入，解得TF2JBgaB542）若在 A 轮上作用一逆时针转矩 M，则轮 A 将作逆时针转动，对 A 运用刚体绕定轴转动微分方程有 （5）rFJAT以 C 点为基点分析 B 点加速度，根据题意，在临界状态有（6）0tt ra
9、BABC联立求解式（5） 、 （6）和（2） 、 （3）并将 及 代入，得2rmJAmgrM故当转矩 时轮 B 的质心将上升。98 图示圆柱体 A 的质量为 m，在其中部绕以细绳，绳的一端 B 固定。圆柱体沿绳子解开的而降落，其初速为零。求当圆柱体的轴降落了高度 h 时圆柱体中心 A 的速度 和绳子的拉力 FT。解：法 1：图（a）（1）TmgA（2）rJ（3）21A解得 （拉）mgF3T（常量） （4）aA由运动学 （）ghavA32法 2：由于动瞬心与轮的质心距离保持不变，故可对瞬心 C 用动量矩定理：（5）mgrJC23rA又 ra112习题 911 图rDNFagmMf(a)（同式（4
10、） ）gaA32再由 TFm得 （拉）F1T（）ghavA32910 图示重物 A 的质量为 m，当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子 C 沿水平轨道滚动而不滑动。绳子跨过不计质量的定滑轮 D 并绕在滑轮 B 上。滑轮 B 与滚子 C 固结为一体。已知滑轮 B 的半径为 R，滚子 C 的半径为 r，二者总质量为 m，其对与图面垂直的轴 O 的回转半径为 。求：重物 A 的加速度。解：法 1：对轮：（1）FrTRJO（2）am对 A：（3）g又： tH绳以 O 为基点：tnnt OOHaa（）)(t rR（） （4）)(rRA由上四式联立，得（注意到 ）2mJO1)()()( 22 rRgrR
11、rmga法 2：对瞬心 E 用动量矩定理（本题质心瞬心之距离为常数） )(rTJgaA又 R)(22rmrOE可解得： 1)(2rRaA911 图示匀质圆柱体质量为 m，半径为 r，在力偶作用下沿水平面作纯滚动。若力偶的力偶矩 M为常数，滚动阻碍系数为 ，求圆柱中心 O 的加速度及其与地面的静滑动摩擦力。 解： （1）fMJDNfFmg23rJDa代入（1） ，得 mrgM3)(2又： Far)( tHOaOHanat(b)gmF绳HaTgmaO(a)aAFNE g113D A B C 习题 912 图912 跨 过 定 滑 轮 D 的 细 绳 ， 一 端 缠 绕 在 均 质 圆 柱 体 A 上 ， 另 一 端 系 在 光 滑 水 平 面 上 的 物 体B 上 ， 如 图 所 示 。 已 知 圆 柱 A 的 半 径 为 r， 质 量 为 m1； 物 块 B 的 质 量 为 m2。 试 求 物 块 B 和 圆 柱 质心 C 的 加 速 度 以 及 绳 索 的 拉 力 。 滑 轮 D 和 细 绳 的 质 量 以 及 轴 承 摩 擦 忽 略 不 计 。解：对轮 C： rFJT1gma对物块 B： 2且： ；rC21rC解得： ；gaB213ga23mFT ABC题 9-12 解图 m1gm2gFTTFTTFNT
